高等数学公式大全

昌航数信考研学生群共享精品 邹群老师倾情奉献 1 附录附录 高等数学公式高等数学公式大全大全 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1.映射与函数映射与函数 1.1 集合集合 1.1.1 集合的运算法则集合的运算法则 设 A、B、C 为任意三个集合，则有 (1)交换律交换律 ABBA，ABBA； (2)结合律结合律 (AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)； (3)分配律分配律 (AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)； (4)对偶律对偶律 (AB)CACBC，(AB)CACBC. 1.2 映射映射 1.2.1 映射映射 设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f，使得对 X 中每个元素 x， 按法则 f，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作 f：XY， 其中 y 称为元素 x(在映射 f 下)的像，并记作 f(x)，即 yf(x)，而元素 x 称为元素 y(在映射 f 下)的一个原像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 Df，即 DfX；X 中所有元素的像所组成 的集合称为映射 f 的值域，记为 Rf，或 f(X)，即 Rff(X)f(x)|xX. 1.2.2 满射、单射和双射满射、单射和双射 设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射，若 RfY，即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像， 则称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射； 若对 X 中任意两个不同元素 x1x2， 它们的像 f(x1)f(x2)，则称 f 为 X 到 Y 的单射；若映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为一一 映射(或双射). 1.3 函数函数 1.3.1 函数函数 设数集 D， 则称映射 f： D为定义在 D 上的函数， 记为 yf(x)， xD， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 Df，即 DfD. 1.3.2 函数的几种特性函数的几种特性 (1)函数的有界性函数的有界性 如果存在正数 M，使对任一 xX，有|f(x)|M，则称函数 f(x)在 X 上 有界； 如果这样的 M 不存在， 则称函数 f(x)在 X 上无界.即对任何 M， 总存在 x1X， 使|f(x)|M. (2)函数的单调性函数的单调性 设函数 yf(x)的定义域为 D，区间 ID.如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2，当 x1x2时，恒有 f(x1)N 时的一切 xn，不等式|xna|都成立，则称常数 a 是数 列xn的极限，或者称数列xn收敛于 a，记为lim n n xa或 xna(n) 如果数列没有极限，就说数列是发散的 N 语言表述：lim n n xa0，NN，当 nN 时，有|xna|. (2)数列的有界性数列的有界性 对于数列xn，如果存在着正数 M，使得对一切 xn都满足不等式 |xn|M，则称数列xn是有界的；如果这样的正数 M 不存在，就说数列xn是无界的. (3)子数列子数列 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序， 这样 得到的一个数列称为原数列xn的子数列 2.2 收敛数列的性质收敛数列的性质 (1)定理定理(极限的唯一性极限的唯一性) 如果数列xn收敛，那么它的极限唯一. 昌航数信考研学生群共享精品 邹群老师倾情奉献 4 (2)定理定理(收敛数列的有界性收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界 (3)定理定理(收敛数列的保号性收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于 a，且 a0(或 a0)，那么存在正整数 N，当 nN 时，有 xn0(或 xn0) 推论推论 如果数列xn从某项起有 xn0(或 xn0)，且数列xn收敛于 a，那么 a0(或 a0). *(4)定理定理(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于 a， 那么它的任一子数列 也收敛，且极限也是 a 3.函数的极限函数的极限 3.1 函数极限的概念函数极限的概念 3.1.1 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 (1)自变量趋于有限值时自变量趋于有限值时函数的极限函数的极限 设函数 f(x)在点 x0的某一去心邻域内有定义如果 存在常数 A，对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正数，使得当 x 满足不等式 0|xx0|时， 对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)A|， 那么常数 A 就叫做函数 f(x)当 xx0 时的极限，记为 0 lim( ) xx f xA或 f(x)A(当 xx0) -语言表述： 0 lim( ) xx f xA0，0，当 0|xx0| 时，|f(x)A| (2)单侧极限单侧极限 1)左极限左极限 若当 x 0 x时，f(x)无限接近于某常数 A，则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0时 的左极限，记为 0 lim( ) xx f xA或 f( 0 x)=A； -语言表述： 0 lim( ) xx f xA0，0，当 x0xx0时，有|f(x)A| 2)右极限右极限 若当 x 0 x时，f(x)无限接近于某常数 A，则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0时 的右极限，记为 0 lim( ) xx f xA或 f( 0 x)=A -语言表述：0，0，当 x0xx0时，有|f(x)A|X 时，对应的函数数 值 f(x)都满足不等式|f(x)A|0，就说是关于的 k 阶无穷小 如果lim1 ，就说与是等价无穷小，记为. 7.2 等价无穷小的判断与代换等价无穷小的判断与代换 (1)定理定理 与是等价无穷小的充分必要条件为 ( ) (2)定理定理 设，且lim 存在，则limlim 8.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 8.1 函数函数的的连续连续 8.1.1 函数连续函数连续的概念的概念 (1)函数的连续函数的连续 设函数 y=f(x)在点 x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量的增量 0 xxx趋于零时，对应函数的增量 00 ()()yf xxf x也趋于零，即 0 lim0 x y ，那么 称函数 y=f(x)在点 x0处连续 (2)函数连续的函数连续的等价定义等价定义 设函数 y=f(x)在点 x0的某一个邻域内有定义，如果 0 0 lim( )() xx f xf x那么就称函数 y=f(x)在点 x0处连续 “-”语言表述：f(x)在点 x0连续 0， 0，当|x-x0|0，则 f(x)在a，b上的图形是凹的； (2)若在(a，b)内 f(x)a,如果极限lim( ) t at f x dx存 在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a，)上的反常积分,记作( ) a f x dx,即 ( )lim( ) t aat f x dxf x dx 在反常积分的定义式中，如果极限存在，则称此反常积分收敛；否则称此反常积分发散 类似地，连续函数 f(x)在区间(，b上和在区间(，)上的反常积分定义为 ( )lim( ) bb aa f x dxf x dx 0 0 ( )lim( )lim( ) b aab f x dxf x dxf x dx (2)计算计算法法 如果 F(x)是 f(x)的原函数，则 1)( )lim( )lim ( ) b b a aabb f x dxf x dxF xlim( )( )lim( )( ) bx F bF aF xF a 简记形式 ( ) ( )lim( )( ) a ax f x dxF xF xF a 2)( ) ( )( )lim( ) b b x f x dxF xF bF x 3)( ) ( )lim( )lim( ) xx f x dxF xF xF x 4.2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分 4.2.1 瑕点瑕点 如果函数 f(x)在点 a 的任一领域内都无界,那么点 a 称为函数 f(x)的瑕点. 4.2.2 瑕瑕积分积分 设函数 f(x)在区间(a，b上连续，点 a 为 f(x)的瑕点取 ta,如果极限 lim( ) b t ta f x dx存在,则称此极限为函数 f(x)在(a，b上的反常积分,仍然记作( ) b a f x dx,即 ( )lim( ) bb at ta f x dxf x dx 昌航数信考研学生群共享精品 邹群老师倾情奉献 18 在反常积分的定义式中，如果极限存在，则称此反常积分收敛；否则称此反常积分 发散 类似地，函数 f(x)在a，b)(b 为瑕点)上的反常积分定义为 ( )lim( ) bt aa tb f x dxf x dx 函数 f(x)在a，c)(c，b(c 为瑕点)上的反常积分定义为 ( )lim( )lim( ) btb aat tctc f x dxf x dxf x dx 4.2.3 计算计算法法(简记形式简记形式) 如果 F(x)为 f(x)的原函数，则有 (1)当 a 为瑕点时，( ) ( )( )lim( ) b b a a xa f x dxF xF bF x (2)当 b 为瑕点时，( ) ( )lim( )( ) b b a a xb f x dxF xF xF a (3)当 c(acb)为瑕点时： ( )( )( )lim( )( ) ( )lim( ) bcb aac xcxc f x dxf x dxf x dxF xF aF bF x 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 1.定积分的元素法定积分的元素法 为求某一量 U，先将此量分布在某一区间a，b上分布在a，x上的量用函数 U(x)表示， 再求这一量的元素 dU(x).设 dU(x)u(x)dx，然后以 u(x)dx 为被积表达式，以a，b为积分区 间求定积分即得( ) b a Uf x dx.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). 2.定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 2.1 平面图形的面积平面图形的面积 2.1.1 直角坐标情形直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线 yf上(x)与 yf下(x)及左右两条直线 xa 与 xb 所围成， 则面 积元素为f上(x)f下(x)dx.平面图形的面积为( )( ) b a Sfxfx dx 上下 类似地由左右两条曲线 x左(y)与 x右(y)及上下两条直线 yd 与 yc 所围成设平面图 形的面积为( )( ) d c Syy dy 右左 2.1.2 极坐标情形极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素 由曲线()及射线，围成的图形称为曲边扇 形，曲边扇形的面积元素为 21 ( ) 2 dSd ，曲边扇形的面积为 21 ( ) 2 Sd . 2.2 体积体积 2.2.1 旋转体的体积旋转体的体积 (1)旋转体旋转体 由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋 转轴. 常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球体. (2)旋转体的体积公式旋转体的体积公式 旋转体若是由连续曲线 yf(x)、直线 xa、ab 及 x 轴所围成的 曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，则 2 ( ) b a Vf xdx. 其它情形可类似推导. 2.2.2 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在 x 轴的投影区间为a，b，过点 x 且垂直于 x 轴的平面与立体相截，截面面积 为 A(x)，则体积元素为 A(x)dx 立体的体积为( ) b a VA x dx. 2.3 平