高考数学 易错点点睛与高考突破 02 函数和反函数

2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题02 函数和反函数1已知定义域为0，1)的函数f(x)同时满足对任意x0，1，总有f(x)0；f(1)=1；若x10，x20，x1+x21，则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2) (1)求f(0)的值； (2)求函数f(x)的最大值2设f(x)是定义在(0，+)上的函数，k是正常数，且对任意的x(0，+)，恒有ff(x)=kx成立若f(x)是(0，+)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x(2)对于任意的x1、x2(0，+)，当x2x1时，有f(x2)-f(x1)x2-x1成立，如果k=2，证明：难点2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 1设f(x)是定义在-1，1上的偶函数当x-1，0时，f(x)=g(2-x)，且当x2,3时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3， (1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由【解析】 (1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式(2)利用导数可求得f(x)的最大值令最大值等于12可知是否存在正实数a【答案】 (1)当x-1，0时，2-x2，3f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax得f(x)=4x3-2ax(x-1，0)2函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x2，3时,f(x)=x-1在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间1，3上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a2)，求ABC面积的最大值当2，即a3时，函数S在1，2上单调递增，S有最大值S(2)=a-2难点3 反函数与函数性质的综合1在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当xMR+函数值f(x)的集合为0，2且f()=1；又对M中的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)(1)求证：M，而M；(2)证明:f(x)在M上的反函数f-1(x)满足f-1(x1)f-1(x2)=f-1(x1+x2)(3)解不等式f-1(x2+x)f-1(x+2)(x0，2)【解析】 由给定的函数性质，证明自变量x是属于还是不属于集合，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式【答案】 (1)证明：M，又=,f()=1f()=f()=f()+f()=1+1=20，2， M，【学科思想与方法】2.函数中的数形结合思想“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论【例1】设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是()【变式】函数y的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8解析：令1xt，则x1t.【易错点点睛】易错点1 函数的定义域和值域 1(2013模拟题精选)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=(1)若函数f(x)=,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域【错误答案】 (1)f(x)的定义域Df为(-，1)(1，+)，g(x)的定义域Dg为2(2013模拟题精选)记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定义域为B.(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围3(2013模拟题精选)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=的定义域为集合N求 集合M，N； 集合MNMN. x3或x1N=x|x3或x0对一切实数x恒成立，=（-2m）2-4(m+2)0,解得-1m0h(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立则有 当a，+时，f(x)在-1，1上是单调函数2(2013模拟题精选)已知函数f(x)=ax+(a1)(1)证明：函数f(x)在(-1，+)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根即不存在0x0-1的解当x0-1时x0+100矛盾即不存在x0-1的解3(2013模拟题精选)若函数f(x)=l0ga(x3-ax)(a0且a1)在区间(-，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( ) A.，1 B.，1 C.，+ D.(1，-) 【特别提醒】1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域2函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a，b)与(c，d)上都是增(减)函数，不能说 f(x)在(a，b)(c，d)上一定是增(减)函数3设函数y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=fg(x)在其定义域上也是单调函数若y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=fg(x)是增函数；若y=f(u)，u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=fg(x)是减函数列出下表以助记忆y=f(u)u=g(x)y=fg(x)上述规律可概括为“同性则增，异性则减”【变式探究】1 函数f(x)对任意实数x都有f(x)f(x+1)那么 ( )A.f(x)是增函数B.f(x)没有单调减区间C.f(x)可能存在单调增区间，也可能不存在单调减区间Df(x)没有单调增区间 答案：C 解析：根据函数单调性定义进行判断.2 函数y=(x2-3x+2)的单调增区间是_.单调递减区间是_. 解析：(-,1),(2,+ )根据复合函数单调性法则进行求解。3 如果函数f(x)的定义域为R，对于任意实数a，b满足f(a+b)=f(a)f(b)(1)设f(1)=k(k0)，试求f(n)(nN*)解析(1)设当x0时,f(x)1，试解不等式f(x+5).答案：(2)对任意的易错点3 函数的奇偶性和周期性的应用1(2013模拟题精选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x3，4时,f(x)=x-2则 ( )Af(sin)f(cos) Bf(sin)f(cos)Cf(sin1)f(cos1) D.f(sin)f(cos)【错误答案】 A 由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期设x-1，0知x+43，4f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2f(x)在-1，0上是增函数又f(x)为偶函数f(x)=f(-x)2(2013模拟题精选)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)0的x的取值范围是 ( ) A(-，2) B(2，+) C(-，-2)(2，+) D(-2，2)4(2013模拟题精选)设函数f(x)在(-，+)上满足f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间-2005，2005上根的个数，并证明你的结论f(3)=f(13)=f(2003)=0f(x)=0在0，2005上共有402个解同理可求得f(x)=0在-2005，0上共有400个解f(x)=0在-2005，2005上有802个解【特别提醒】1函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断有时需要将函数进行化简2要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(-x)之间的转化关系和图像的对称性解决有关问题 3解题中要注意以下性质的灵活运用. (1)f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)(2)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0.【变式探究】 1 f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)是奇函数，已知g(x)=f(x-1)，若g(-1)=2006，则f(2006)的值为 ( )A2005 B-2005C.-2006 D2006 答案：D 解析：由题设条件易得f(x+4)=f(x), f(2006)=f(2).又f(-2)=g(-1)=2006. f(2006)=2006.2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x)当x0，2时，f(x)=2x+x2 (1)求证:f(x)是周期函数；3.设a、bR，且a2定义在区间(-b，b)内的函数f(x)=lg是奇函数，求b的取值范围解析：f(x)=lg是奇函数，等价于，对任意x(-b,b)都有：式即为lg即a2x2=4x2.此式对任意x(-b,b)都成立相当于a2=4, a2, a=-2.代入(2)得即易错点4 反函数的概念和性质的应用1(2013模拟题精选)函数f(x)=x2-2ax-3在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是 ( )Aa(-，1)Ba2，+Ca1，2 Da(-，1)2，+x-1=1+x、y对换得y=1+ 又y=(1x2)0y1即原函数值域为0，1所以反函数为y=1- (0x1).选B. 3(2013模拟题精选)设f-1(x)是函数f(x)=(ax-a-x)(a1)的反函数，则使f-1(x)1成立的x的取值范围为 ( )A(，+) B(-，)C(,a) D(a，+)4.(2013模拟题精选)设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=_【错误答案】 填0 y=f(x)的图像关于点(1，2)对称，又f(4)=0，f(0)=4，f-1(4)=0【错解分析】 上面解答错在由图像过点(4，0)得到图像过点(4，0)上，因为f(x)图像关于点(1，2)对称不是关于y=x对称，因此应找出图像过点(-2，4)是关键【正确解答】 填-2【特别提醒】1.求反函数时必须注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y)，如求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域2分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成3若点(a，b)在原函数y=f(x)的图像上，则(b，a)在反函数y=f-1(x)的图像上【变式探究】1 函数y=3x2-1(-1x0)的反函数是 ( ) Ay=(x) By=- (x) Cy= (x1)D.y=- (x1) 答案：D 解析：由y=3x2-1得x2-1=log3y -1x0, x=-2 (2013模拟题精选)定义在R上的函数y=f(x)为周期函数，最小正周期为T，若函数y=f(x)，x(0,T)时E有反函数y=f-1,xD则函数y=f(x)，x(2T,3T)的反函数为 ( ) A.y=f-1(x)，xD By=f-1(x-2T),xD C.y=f-1(x+2T)，xD D.y=f-1(x)+2TxD 答案：D 解析：x(2T,3T), x-2T=(0,T).又f(x)的周期为2T，y=f(x)=f(x-2T). x-2T=f-1(y)+2T,x,y互换，得y=f-1(x)+2T.当x(2T,3T)的反函数为y=f-1(x)+2T,xD.3 已知f(x)=的反函数f-1(x)的图像的对称中心是(-1，3)，求实数a的值2 已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4)当x2时，f(x)单调递增，如果x1+x24且(x1-2)(x2-2)0，则f(x1)+f(x2)的值为 ( )A.可能为0 B恒大于0C.恒小于0 D可正可负 答案：C 解析：不妨设x1x2,则x12x2,且x1+x24,由f(-x)=-f(x+4)可知，函数f(x) 的图象关于点（2，0）成中心对称，函数在（2，+）上单调递增，f(x1)+f(x2)f(x1)+f(4-x1)=f(x1)-f(x1)=0,故选C.3 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=()x，那么f(x)=()x，那么f-1(0)+f-1(-8)的值为 ( )A2 B-3 C3 D-2 答案：C解析：f(x)=f-1(-8)=3.故选 C.4.符号x表示不超过x的最大整数，如=3，-108=-2，定义函数x=x-x，那么下列命题中正确的个数是 ( )函数x的定义域为R，值域为0，1；方程x=有无数解；函数x是周期函数；函数x是增函数A.1个 B2个 C3个 D4个 答案：C解析：f(x)的周期为3，f(2)=f(-1)=-f(1)-1.即1a.故选C.5 设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1,f(2)=，则 ( )Aa Ba且a-1C.-1a或m0|x-a|1a-1xf(1-a2)求a的取值范围； 答案：解析：由牺件可得10.若f(x)满足：在(0，+)上f(xy)=f(x)+f(y)，且对x1，f(x)0恒成立，求证：f(x)存在反函数f-1(x)并比较f-1与 f-1(a)+f-1(b)的大小 故11.已知集合A=2，log2t，集合B=x|x2-14x+240，x1tR，且AB (1)对于区间a，b，定义此区间的“长度”为b-a 若A的区间“长度”为3，试求t的值 (2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)A的概率不小于06，试确定t的取值范围 12集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的，对任的x0,f(x)-2，4，有f(x)在0，+上是增函数(1)试判断f1(x)=-2及f2(x)=4-6()(x0)是否在集合A中?若不在集合A中，试说明理由；答案：解析：（1）log2t-2=3t=32;（2）对于(1)中你认为是集合A中的函数f(x)不等式f(x)+f(x+2)2f(x+1)是否对于任意的xD总成立?证明你的结论答案：B=2,12,由题意及概率的意义得即t256,4096.12 集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的，对任意的x0，f(x)-2，4，有f(x)在0，+8上地增函数。试判断f1(x)=-2及f2(x)=4-6