高三数学指数函数、对数函数与幂函数苏教知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学高三数学指数函数、对数函数与幂函数指数函数、对数函数与幂函数苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 指数函数、对数函数与幂函数 教学目标： 1、理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂的运算；理解指数函数的概 念和意义；理解指数函数的图象、单调性与特殊点。 2、理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或 常用对数；了解对数函数的概念；理解对数函数的图象、单调性与特殊点。 3、了解幂函数的概念；结合函数 y=x，y=x2，y=x3， 了解幂函数的图象 1 2 1 ,yyx x 变化情况。 4、能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 教学重点：指、对数函数的图解与性质。 教学难点：指、对数函数的性质的运用。 二二. . 知识点归纳知识点归纳 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 1. 根式的运算性质： 当 n 为任意正整数时， （）n=a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头n a 当 n 为奇数时，=a；当 n 为偶数时，=|a|=。 nn a nn a )0( )0( aa aa 根式的基本性质：， （a0） 。 nm np mp aa 2. 分数指数幂的运算性质： )()( ),()( ),( Qnbaab Qnmaa Qnmaaa nnn mnnm nmnm 3. 的图象和性质：) 10(aaay x 且 a101， 当 x0 时，0y0 时，0y 0 ，a 1 ，m 0 ，m 1，N0） 。 a N N m m a log log log 8. 两个常用的推论： ，。1loglogab ba 1logloglogacb cba （ a，b 0 且均不为 1） 。b m n b a n am loglog 9. 对数函数的性质： a101） （4）logaf（x）logbg（x）logaf（x）logag（x）/logab（换底法） 13. y=xa（其中 a 为常数） ， 当 a0 时图象过点（0，0）与（1，1） ；在上是增函数), 0 当 a0 时，图象过点（1，1） ，在上是减函数。), 0 【典型例题典型例题】 例例 1 1 计算： （1）； 1213 1 6324 (12422 3)27162(8) （2）； 2 (lg2)lg2 lg50lg25 （3）。 3948 (log 2log 2) (log 3log 3) 解：解：（1）原式 1213 3( 1)24 6324 (113)322 8 21 3 3 32 113322 211338811 （2）原式 22 (lg2)(1 lg5)lg2lg5(lg2lg5 1)lg22lg5 (1 1)lg22lg52(lg2lg5)2 用心 爱心 专心 （3）原式 lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3 () ()() () lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2 3lg2 5lg35 2lg3 6lg24 例例 2 2 已知，求的值。 11 22 3xx 22 33 22 2 3 xx xx 解：解：， 11 22 3xx 11 2 22 ()9xx 1 29xx 1 7xx ， 1 2 ()49xx 22 47xx 又， 3311 1 2222 () (1)3 (7 1)18xxxxxx 22 33 22 2472 3 183 3 xx xx 例例 3 3 已知，且，求的值。 35 ab c 11 2 ab c 解：解：由得：，即，；3aclog 31 a c log 31 c a 1 log 3 c a 同理可得，由 得 ， 1 log 5 c b 11 2 ab log 3log 52 cc ，log 152 c 2 15c 0c 15c 例例 4 4 设，且，求的最小值。1x 1y 2log2log30 xy yx 22 4Txy 解：解：令 ，logxty1x 1y 0t 由得，2log2log30 xy yx 2 230t t 2 2320tt ，即，(21)(2)0tt0t 1 2 t 1 log 2 x y 1 2 yx ， 2222 44(2)4Txyxxx ，当时，1x 2x min 4T 例例 5 5 设、为正数，且满足。abc 222 abc 用心 爱心 专心 （1）求证： 22 log (1)log (1)1 bcac ab （2）若，求、的值。 4 log (1)1 bc a 8 2 log () 3 abcabc 证明：证明：（1）左边 222 logloglog () abcabcabc abc abab ； 2222222 2222 ()22 loglogloglog 21 abcaabbcabcc ababab 解：解：（2）由得， 4 log (1)1 bc a 14 bc a 30abc 由得 8 2 log () 3 abc 2 3 84abc 由得2ba 由得，代入得，3cab 222 abc2 (43 )0aab ， 0a 430ab 由、解得，从而 6a 8b 10c 例例 6 6 （1）若，则，从小到大依次为 ； 2 1abalogb b a logbalogab （2）若，且，都是正数，则，从小到大依次为 235 xyz xyz2x3y5z ； （3）设，且（，） ，则与的大小关系是（ ）0 x 1 xx ab0a 0b ab A. B. C. D. 1ba1ab1ba1ab （4） （全国 2 理 4）以下四个数中的最大者是 （A） （ln2）2（B） ln（ln2）（C） ln（D） ln22 （5） （山东理 4） 设，则使函数的定义域为 R 且为奇函数的所 1 1,1,3 2 a a xy 有 a 值为 （A） （B） （C） （D） 1,31,11,31,1,3 解：解：（1）由得，故 2 1aba b a a logb b a logba1 logab （2）令，则，235 xyz t1t lg lg2 t x lg lg3 t y lg lg5 t z 用心 爱心 专心 ，； 2lg3lglg(lg9lg8) 230 lg2lg3lg2 lg3 ttt xy 23xy 同理可得：，250 xz25xz325yxz （3）取，知选 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1x B （4） ， ln（ln2）0， （ln2）2 ln2，而 ln=ln2ln2，0ln212 2 1 最大的数是 ln2，选 D。 （5）答案：答案：A A 分析分析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 例例 7 7 已知函数 f（x），g（x）， 5 3 1 3 1 xx 5 3 1 3 1 xx （1）证明 f（x）为奇函数，并求 f（x）的单调区间。 （2）分别计算 f（4）5f（2）g（2） ，f（9）5f（3）g（3）的值，由此概括出涉 及函数 f（x）和 g（x）的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式，并加以证明。 解：解：（1）f（x）的定义域为（，0）（0，）关于原点对称。 又 f（x）= =f（x） ，f（x）为奇函数。 11 33 () 5 xx (- ) 5 3 1 3 1 xx 设 0x1x2，则 f（x1）f（x2）) xx 1 1)(xx( 5 1 5 xx 5 xx 3 1 2 3 1 1 3 1 2 3 1 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1 3 1 1 ，0 xx3 1 2 3 1 1 0 xx 1 1 3 1 2 3 1 1 0)x(f)x(f 21 f（x）为（0，）增函数，又为奇函数，单调增区间为（，0） ， （0，） （2）计算得 f（4）5f（2）g（2）0，f（9）5f（3）g（3）0 由此可以概括出对所有不为零的实数 x 都有 f（x2）5f（x）g（x）0 证明如下： 5 xx 5 xx 5 5 xx )x(g)x(f5)x(f 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 2 0)xx( 5 1 )xx( 5 1 3 2 3 2 3 2 3 2 用心 爱心 专心 说明：说明：问题的结论是开放的，要我们去探求，利用从特殊到一般的方法得到结论，当 然还要证明所得的结论是否正确。这是我们探求新问题常用的方法之一。 例例 8 8 已知函数， 2 ( ) 1 x x f xa x (1)a 求证：（1）函数在上为增函数；( )f x( 1,) （2）方程没有负数根。( )0f x 证明：证明：（1）设， 12 1xx 则 12 12 12 12 22 ()() 11 xx xx f xf xaa xx ， 1212 1212 1212 223() 11(1)(1) xxxx xxxx aaaa xxxx ， 12 1xx 1 10 x 2 10 x 12 0 xx ； 12 12 3() 0 (1)(1) xx xx ，且， 12 1xx 1a 12 xx aa 12 0 xx aa ，即， 12 ()()0f xf x 12 ()()f xf x 函数在上为增函数；( )f x( 1,) 另法：另法：，1a ( 1,)x 2 23 ( )()ln0 1(1) xx x fxaaa xx 函数在上为增函数；( )f x( 1,) （2）假设是方程的负数根，且，则， 0 x( )0f x 0 1x 0 0 0 2 0 1 x x a x 即， 0 00 000 23(1)3 1 111 x xx a xxx 当时， 0 10 x 0 01 1x 0 3 3 1x 0 3 12 1x 用心 爱心 专心 而由知 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 式不成立； 1a 0 1 x a 当时，而 0 1x 0 10 x 0 3 0 1x 0 3 11 1x 0 0 x a 式不成立 综上所述，方程没有负数根( )0f x 例例 9 9 已知函数（且）( )log (1) x a f xa0a 1a 求证：（1）函数的图象在轴的一侧；( )f xy （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于。( )f x0 证明：证明：（1）由得：，10 x a 1 x a 当时，即函数的定义域为，1a 0 x ( )f x(0,) 此时函数的图象在轴的右侧；( )f xy 当时，即函数的定义域为，01a0 x ( )f x(,0) 此时函数的图象在轴的左侧( )f xy 函数的图象在轴的一侧；( )f xy （2）设、是函数图象上任意两点，且， 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy( )f x 12 xx 则直线的斜率，AB 12 12 yy k xx ， 1 12 2 12 1 log (1)log (1)log 1 x xx aaa x a yyaa a 当时，由（1）知，1a 12 0 xx 12 1 xx aa 12 011 xx aa ，又，； 1 2 1 01 1 x x a a 12 0yy 12 0 xx0k 当时，由（1）知，01a 12 0 xx 12 1 xx aa ， 12 110 xx aa 用心 爱心 专心 ，又， 1 2 1 1 1 x x a a 12 0yy 12 0 xx0k 函数图象上任意两点连线的斜率都大于( )f x0 【模拟试题模拟试题】 1. 已知集合，若，则，则运算可能是,16, 9, 4, 1PPaPbPba （ ） （A）加法 （B）减法 （C） 除法 （D）乘法 2. 已知集合，则满足条件的映射1,2,3A 1,0,1B (3)(1)(2)fff 的个数是 （ ）:fAB （A）2 （B）4 （C）5 （D）7 3. 某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本 正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能 反映出小鹏这一天（0 时24 时）体温的变化情况的图是 （ ） 4. 定义两种运算：，则函数为ab 22 ab 2 ()abab 2 ( ) (2)2 x f x x （ ） （A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数 5. 偶函数 在上单调递增，则与的大小关系是 （ ( )log | a f xxb(,0)(1)f a(2)f b ） （A）（B）(1)(2)f af b(1)(2)f af b （C） （D）(1)(2)f af b(1)(2)f af b 6. 如图，指出函数y=ax;y=bx;y=cx;y=dx的图象，则 a，b，c，d 的大小关系是 A. ab1cd B. ba1dc C. 1abcd D. ab10，则下列不等式恒成立的是 （ ） A. y1/3 B. 1b0） ，若 x （1，+）时， f（x）0 恒成立，则（ ） A. ab1 B. ab1 C. ab1 D. a=b+1 9. 如图是对数函数 y=logax 的图象，已知 a 取值，4/3，3/5，1/10，则相应于3 ，的 a 值依次是 10. 已知 y=loga（2ax）在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是 11. 已知函数，且正数 C 为常数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头对于任意的 ，存在一,),(Dxxfy RyDx 1 个，使，则称函数在 D 上的均值为 C。试依据上述定Dx 2 Cxfxf 21 )(xfy 义，写出一个均值为的函数的例子：_ 12. 设函数 f（x）=lg，其中 aR，如果当 x（，1）时，f（x）有 3 4a21 xx 意义，求 a 的取值范围。 13. a 为何值时，关于 x 的方程 2lgxlg（x1）=lga 无解？有一解？有两解？ 14. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零 售价定为每瓶 4 元，每月可销售 400 瓶；若每瓶售价每降低 0.05 元，则可多销售 40 瓶。 请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购 进多少瓶时，才可获得最大的利润？ 15. 已知定义域为0，1的函数 f（x）同时满足： （1）对于任意 x0，1，总有 f（x）0；（2）f（1）=1 （3）若，则有0 1 x0 2 x1 21 xx)()()( 2121 xfxfxxf （）试求 f（0）的值； （）试求函数 f（x）的最大值； （）试证明：满足上述条件的函数 f（x）对一切实数 x，都有 f（x）2x。 用心 爱心 专心 16. 设、为常数，：把平面上任意一点（abFxbxaxfxfM;sincos)(| )( ，）映射为函数ab.sincosxbxa （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当时，这里 t 为常数；M)x(f0Mtxfxf)()( 01 （3）对于属于 M 的一个固定值，得，在映射 F 的作用)( 0 xf),( 01 RttxfM 下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？ 用心 爱心 专心 参考答案参考答案 1. D2. D3. C4. A5. D 6. B 7. D 8. A 9. ，4/3，3/5，1/10， 3 10. （1，2） 11. ， （）9)(xf x exf9)( x axf sin 9)(10 a 12. a3/4 13. 0a4 时，方程有两解 14. 3.75，600，450 15. （I）令，0 21 xx 依条件（3）可得 f（0+0） f（0）+f（0） ，即 f（0）0 又由条件（1）得 f（0） 0，则 f（0）=0 （）任取，可知，10 21 xx 1 , 0( 12 xx 则，)()()()( 1121122 xfxxfxxxfxf 即，故0)()()( 1212 xxfxfxf)()( 12 xfxf 于是当 0x1 时，有 f（x）f（1）=1 因此，当 x=1 时，f（x）有最大值为 1， （）证明： 研究当时，f（x）12x 1 , 2 1 (x 当时， 2 1 , 0(x 首先，f（2x） f（x）+f（x）=2f（x） ，)2( 2 1 )(xfxf 显然，当时， 2 1 , 2 1 ( 2 x 成立 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 1 2( 2 1 ) 2 1 ()(fffxf 假设当时，有成立，其中 k1，2， 2 1 , 2 1 ( 1kk x k xf 2 1 )( 那么当时， 2 1 , 2 1 ( 12 kk x 111 2 1 2 1 2 1 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 2( 2 1 ) 2 1 ()( kkkkk fffxf 用心 爱心 专心 可知对于，总有，其中 n=1，2， 2 1 , 2 1 ( 1nn x n xf 2 1 )( 而对于任意，存在正整数 n，使得， 2 1 , 0(x 2 1 , 2 1 ( 1nn x 此时，xxf n 2