公共卫生学院-康楚云卫生统计2集中趋势和离散趋势

第二章集中趋势、离散趋势、正态分布及其应用,组段,频数f,一、频数表,100名2岁男童身高的频数表,组段是若干个从小到大顺序排列的数据范围，每一个组段包括上限和下限组距，相邻组段之间的距离称为组距。,上限和下限，上限指某个组段数据范围的最大值，下限指最小值。相邻后一组的下限即是前一组的上限。,每个组段的数据范围是：包括下限但不包括上限，因此只写出下限的大小。,组距i=相邻两组段下限之差,最后一组既包括上限也包括下限。,频数是指在所有观察值中，数值大小落在某一组段范围内的数据有多少个。,所有组频数总和是观察值的总个数f=n,100个人中有13个人身高在8183cm范围内,将原始数据整理成频数表的步骤,1.找出最大值和最小值，求全距R=Xmax-Xmin,2.确定组数、计算组距、写组段组数=815组,第一组段包括数据中的最小值，最后一组段包括数据中的最大值。,3.计数频数，完成频数表,所有组的频数之和应该等于总观察值的个数。,由于取整的关系，频数表的组数可以和最初确定的组数不等。,绘制频数表举例,100名18岁健康女大学生身高165.1165.1159.5166.10,找出最大值和最小值，求全距Xmax=173.6Xmin=154.7R=Xmax-Xmin=173.6-154.7=18.9,2.确定组数、计算组距、写组段组数=10组i=R/n=18.9/10=1.89取整i=2第一组段:154(包含数据中的最小值)第二组段:156(每隔组距2写一组段)最后一组:172174(包含数据中的最大值),3.计数频数，完成频数表,频数表的作用,观察频数的分布规律,计算统计指标、进行分析,发现可疑值,f,身高,100名2岁健康男童身高的频数分布,200例正常成人血铅含量,血铅,f,某地健康成人的第一秒肺通气量,f,通气量,频数分布类型,对称分布,偏态分布,正偏态,负偏态,频数分布的特征,1.集中趋势2.离散趋势,集中趋势指计量资料数据的平均水平，统计学上用一系列平均数指标来表示。,二、数值变量集中趋势的描述指标,常用的集中趋势指标有三个：算术均数、几何均数、中位数,不同的平均数指标用于表示不同分布类型资料的集中趋势；不同分布类型的资料应该用相应的指标来描述。,（一）均数（算术均数）,1.表示符号：总体样本,2.适用资料：对称分布资料（正态分布资料）,3.计算方法：直接法和加权法,观察值数量较少时用直接法；观察值数量多时用加权法。,直接法计算均数,例：P11,其中X表示所有观察值之和n表示观察值的个数或样本量,加权法计算均数(利用频数表计算均数）,X表示频数表各组的组中值。,组中值计算：,或：,f为各组频数,计算100名2岁男童的平均身高（身高的集中趋势）,步骤：求组中值X求各组fXfX求和代入公式计算均数,=84.84cm,某研究者调查了101名30-49岁正常成年男子血胆固醇含量(mmol/L)，整理成如下频数表，请计算其均数。,=4.735mmol/L,（二）几何均数,1.符号表示G,2.适用资料：数据为等比数列，或对数正态分布资料,等比数列：后面数除以前面数总是等于一个常数，如2、4、8、16,3.计算方法：直接法和加权法,观察值数量较少时用直接法；频数表资料用加权法。,直接法计算几何均数,例：P12,或,加权法计算几何均数(利用频数表计算几何均数）,步骤：求lgX求各组flgXflgX求和代入公式计算均数对数用反对数求几何均数,=4,计算几何均数的注意事项：观察值中不能有观察值符号相同，不能同时有正值和负值,（三）中位数,1.概念把一组变量值按大小顺序排列，位置在最中间的数值称为中位数。,2.符号：M,3.适用资料：偏态分布资料、资料一端或两端无确定数值、分布类型未知的资料,4.计算方法：直接法和频数表法,直接法计算中位数,根据样本量n不同分成两种情况,n为奇数,n为偶数,求1,2,3,4,5这五个数的中位数,求1,2,3,4,5,6这六个数的中位数,用频数表计算中位数(利用频数表计算中位数）,累计频数和累计频率,L：中位数所在组段下限i：中位数所在组段的组距fx：中位数所在组段的频数C：中位数所在组段前一组累计频数,关键要先找出中位数位于频数表中哪一组。,方法：累计频率累计频率刚刚等于或大于50%的组累计频数累计频数刚刚等于或大于n/2的组,计算公式,步骤：求累计频数求累计频率判断中位数所在组段代入公式计算中位数,23.8小时,右表中是300名健康成年人尿汞含量测量的结果，计算其平均尿汞水平。,（1）判断频数分布类型：偏态分布,（2）找出中位数所在组段,中位数在累计频数刚到150（300/2）的组，或累计频率刚达到50的组。,（3）代入公式计算,=16.5ug/L,5.百分位数,中位数是一个特殊的百分位数，是50百分位数计算方法和中位数相同,用x表示,求P95，95百分位数,57.8小时,三、离散趋势,离散趋势指计量资料数据距离平均位置的分散程度，统计学上用一系列离散趋势的指标来表示。,4681045678,数据分散程度大数据分散程度小,表示数据离散趋势（变异程度、离散程度、分散趋势）的指标：,全距,标准差,变异系数,不同的指标用于表示不同分布类型资料的离散趋势；不同分布类型的资料应该用相应的指标来描述。,四分位数间距,方差,（一）全距（极差）R,R=XmaxXmin,优点：计算简单、可用于所有类型资料,缺点：没有将所有数据的分散程度考虑在内,（二）四分位数间距Q,上四分位数QU：第75百分位数P75下四分位数QL：第25百分位数P25四分位数间距：上四分位数和下四分位数之差Q=QU-QL,比全距稳定，但仍然没有考虑到每个观察值的变异度。,P25MP75,0%,100%,（三）方差,1.符号：总体样本S,2.适用资料：对称分布资料（和均数一样）,3.原理,考虑每个数据和均数间的差,差值可能会有正有负,将所有的差值加起来求平均,校正,S2,（四）标准差,1.符号：总体样本S,2.适用资料：对称分布资料（和均数一样）,3.来源:标准差是方差的算术平方根,4.优点：全面考虑了所有数据的变异程度,5.意义：单位相同，均数相近的情况下，标准差越大，说明数据越分散，离散程度越大；标准差越小，说明数据越集中，离散程度越小。,6.计算方法：直接法和加权法,观察值数量较少时用直接法；频数表资料用加权法。,直接法计算标准差,S=,S=,4681045678,计算以下两组数据的标准差,=3.16,=1.58,加权法计算标准差（利用频数表计算标准差）,S=,f：频数表中的频数,X：频数表各组的组中值,注意：fX2和(fX)2,例：100名岁男孩身高，求离散趋势,2.计算各组fX,1.求组中值X,3.计算各组fX2,4.将fX和fX2代入公式计算,S=,=3.79cm,例2101名30-49岁正常成年男子血胆固醇(mmol/L),S=,=0.882mmol/L,（五）变异系数,符号：CV,计算公式：,适用情况：当两组计量资料比较离散程度时,-两组资料度量衡单位不同,-两组资料均数相差悬殊,优点：没有单位，可以进行不同指标之间的比较,例某地2岁男孩100人，身高的均数为84.8cm，标准差为3.8cm；体重均数为13.0kg，标准差为1.43kg。比较身高和体重的变异程度。,身高和体重用不同的度量衡单位，因此不能直接比较标准差。,身高,体重,通过比较CV，结果是体重的变异程度大。,小结：集中趋势指标和离散趋势指标的应用,四、正态分布和医学正常值范围的估计,（一）正态分布,1.正态图形特点：,单峰峰值的位置是均数的位置,左右对称以均数位置为对称轴，向两侧逐渐降低，不会与横轴相交,具有两个参数：,位置参数决定曲线在横轴上的相对位置越大，曲线越向右移,形状参数S决定曲线的形状S越大，曲线越矮越宽(数据越分散),2.正态分布的表示方法：如果某变量X的分布服从均数为，标准差为的正态分布，通常记为,XN（,）,例：100名女大学生的身高服从（163.84cm，3.79cm）的正态分布,3.标准正态分布,标准正态分布又称z分布，是指均数为0，标准差为1的正态分布。,正态分布可以转换成标准正态分布：将所有观察值减均数除以标准差。,标准正态分布表示方法：N(0，1),或,0,S=1,身高,163.84cm,S=3.79cm,4.735mmol/L,胆固醇含量,S=0.882mmol/L,标准正态分布（z分布）,4.正态曲线下面积,正态曲线以下，横轴以上的面积称为正态曲线下面积，用P表示。,正态曲线下面积为100%（1），表示所有观察对象都包括在正态曲线的面积内。,正态曲线下面积左右对称，各占50%。,当正态分布的参数值固定后，正态曲线固定，正态曲线下面积由横轴上的界值来决定。横轴上X1X2之间的曲线下面积P可表示组段X1X2的频率。,身高,标准正态分布曲线下面积与界值,双侧95%：-1.961.96,双侧99%：-2.582.58,单侧95%：-1.6451.645,单侧99%：-2.332.33,z值表,双侧95%正态曲线下面积：,双侧99%正态曲线下面积：,常用正态曲线下面积和界值：,估计频率分布：,例1：100名2岁男童平均身高84.84cm，标准差3.79cm。计算占总人数95%的男童身高范围。,=84.84-1.963.7984.84+1.963.79,=77.4cm92.3cm,身高在77.4cm92.3cm范围内的人占总人数的95%。,77.484.8492.3,例2：身高小于80cm的人占总人数的比例,=-1.27,（1）正态分布转化为标准正态分布，计算z值,（2）查z值表,-1.27对应曲线下面积P是0.1020，即-1.27占总面积的10.2%，故身高不足80cm的人占总人数的10.2%,（二）医学参考值范围,1.什么是医学参考值范围？,2.双侧医学参考值范围和单侧医学参考值范围,有些指标要求有上限和下限，计算双侧参考值范围。例如：血压、血红蛋白、体重等,只要求有上限或下限的指标计算单侧参考值范围。其中：,上限：可以很小，过大不正常例如：尿蛋白,下限：可以很大，过小不正常例如：肺活量,绝大多数正常人某项研究指标数值所在的范围。常用95%和99%的正常值范围。,3.计算方法,正态分布法：要求资料服从正态分布例：100名2岁男孩身高的均数是84.84cm，标准差是3.79cm，计算100名男孩身高的95%和99%正常值范围,=84.84-1.963.79=77.4cm,=84.84+1.963.79=92.3cm,100名2岁男孩身高95%正常值范围是77.4cm92.3cm,95%正常值范围:,=84.84-2.583.79=75.1cm,=84.84+2.583.79=94.6cm,100名2岁男孩身高99%正常值范围是75.1cm94.6cm,99%正常值范围:,用百分位数法确定正常值范围,双侧95%：P2.5P97.5,双侧99%：P0.5P99.5,单侧95%上限：0P95单侧95%下限：P5P100,单侧99%上限：0P99单侧99%下限：P1P100,百分位数法：资料不服从正态分布时用,练习一：101名正常成年男子血胆固醇平均4.735mmol/L，标准差为0.882mmol/L，求其95%和99%正常值范围。,95%正常