空间解析几何课件ppt课件

数量关系,第七章,第一部分向量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间形式点,线,面,基本方法坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,.,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,机动目录上页下页返回结束,向量及其线性运算,第七章,.,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为1的向量,零向量:,模为0的向量,有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束,.,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k,个向量共面.,机动目录上页下页返回结束,.,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,.,2.向量的减法,三角不等式,机动目录上页下页返回结束,.,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,机动目录上页下页返回结束,.,定理1.,设a为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,机动目录上页下页返回结束,.,则,例1.设M为,解:,机动目录上页下页返回结束,.,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,机动目录上页下页返回结束,.,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点M的坐标),原点O(0,0,0);,机动目录上页下页返回结束,.,坐标轴:,坐标面:,机动目录上页下页返回结束,.,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,机动目录上页下页返回结束,.,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,机动目录上页下页返回结束,.,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,23,得,代入得,机动目录上页下页返回结束,.,例3.已知两点,在AB直线上求一点M,使,解:设M的坐标为,如图所示,及实数,得,即,机动目录上页下页返回结束,.,说明:由,得定比分点公式:,点M为AB的中点,于是得,中点公式:,机动目录上页下页返回结束,.,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,机动目录上页下页返回结束,.,例4.求证以,证:,即,为等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,为顶点,机动目录上页下页返回结束,.,例5.在z轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?,离的点.,机动目录上页下页返回结束,.,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例6.已知两点,和,解:,求,机动目录上页下页返回结束,.,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,机动目录上页下页返回结束,.,方向余弦的性质:,机动目录上页下页返回结束,.,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,机动目录上页下页返回结束,.,例8.设点A位于第一卦限,解:已知,作业P3003,5,13,14,15,18,19,角依次为,求点A的坐标.,则,因点A在第一卦限,故,于是,故点A的坐标为,向径OA与x轴y轴的夹,第二节目录上页下页返回结束,.,备用题,解:因,1.设,求向量,在x轴上的投影及在y,轴上的分向量.,在y轴上的分向量为,故在x轴上的投影为,机动目录上页下页返回结束,.,2.,设,求以向量,行四边形的对角线的长度.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,机动目录上页下页返回结束,.,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,机动目录上页下页返回结束,数量积向量积*混合积,第七章,.,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1.定义,设向量,的夹角为,称,数量积,(点积).,机动目录上页下页返回结束,.,故,2.性质,为两个非零向量,则有,机动目录上页下页返回结束,.,3.运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,事实上,当,时,显然成立;,机动目录上页下页返回结束,.,例1.证明三角形余弦定理,证:,则,如图.设,机动目录上页下页返回结束,.,4.数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,机动目录上页下页返回结束,.,例2.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,机动目录上页下页返回结束,.,为).,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度,例3.设均匀流速为,的流体流过一个面积为A的平,面域,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,机动目录上页下页返回结束,.,二、两向量的向量积,引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,机动目录上页下页返回结束,.,1.定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,引例中的力矩,思考:右图三角形面积,S,机动目录上页下页返回结束,.,2.性质,为非零向量,则,3.运算律,(2)分配律,(3)结合律,(证明略),证明:,机动目录上页下页返回结束,.,4.向量积的坐标表示式,设,则,机动目录上页下页返回结束,.,向量积的行列式计算法,(行列式计算见P339P342),机动目录上页下页返回结束,.,例4.已知三点,角形ABC的面积,解:如图所示,求三,机动目录上页下页返回结束,.,一点M的线速度,例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上,的表示式.,解:在轴l上引进一个角速度向量,使,其,在l上任取一点O,作,它与,则,点M离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径,机动目录上页下页返回结束,.,*三、向量的混合积,1.定义,已知三向量,称数量,混合积.,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,机动目录上页下页返回结束,.,2.混合积的坐标表示,设,机动目录上页下页返回结束,.,3.性质,(1)三个非零向量,共面的充要条件是,(2)轮换对称性:,(可用三阶行列式推出),机动目录上页下页返回结束,.,例6.已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积.,解:已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,机动目录上页下页返回结束,.,例7.证明四点,共面.,解:因,故A,B,C,D四点共面.,机动目录上页下页返回结束,.,内容小结,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,机动目录上页下页返回结束,.,混合积:,2.向量关系:,机动目录上页下页返回结束,.,思考与练习,1.设,计算,并求,夹角的正弦与余弦.,答案:,2.用向量方法证明正弦定理:,机动目录上页下页返回结束,.,证:由三角形面积公式,所以,因,机动目录上页下页返回结束,.,作业P3103,4,6,7,9(1);(2),10,12,第三节目录上页下页返回结束,.,备用题,1.已知向量,的夹角,且,解：,机动目录上页下页返回结束,.,在顶点为,三角形中,求AC边上的高BD.,解：,三角形ABC的面积为,2.,而,故有,机动目录上页下页返回结束,.,四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,机动目录上页下页返回结束,曲面及其方程,第七章,.,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,机动目录上页下页返回结束,.,定义1.,如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:,(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;,则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,机动目录上页下页返回结束,.,故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为R的轨迹,表示上(下)球面.,机动目录上页下页返回结束,.,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,机动目录上页下页返回结束,.,定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,例如:,机动目录上页下页返回结束,.,建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕z轴旋转时,若点,给定yoz面上曲线C:,则有,则有,该点转到,机动目录上页下页返回结束,.,思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？,机动目录上页下页返回结束,.,例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L的方程为,绕z轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动目录上页下页返回结束,.,例4.求坐标面xoz上的双曲线,分别绕x,轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕x轴旋转,绕z轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动目录上页下页返回结束,.,三、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在xoy面上，,表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束,.,定义3.,平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于z轴;,准线为xoy面上的抛物线.,z轴的椭圆柱面.,z轴的平面.,表示母线平行于,(且z轴在平面上),表示母线平行于,C叫做准线,l叫做母线.,机动目录上页下页返回结束,.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于x轴;,平行于y轴;,平行于z轴;,准线xoz面上的曲线l3.,母线,柱面,准线xoy面上的曲线l1.,母线,准线yoz面上的曲线l2.,母线,机动目录上页下页返回结束,.,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为0),机动目录上页下页返回结束,.,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动目录上页下页返回结束,.,与,的交线为椭圆：,(4)当ab时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc时为球面.,(3)截痕:,为正数),机动目录上页下页返回结束,.,2.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q同号),(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.,(p,q同号),机动目录上页下页返回结束,.,3.双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x轴；,虚轴平行于z轴）,平面,上的截痕情况:,机动目录上页下页返回结束,双曲线:,.,虚轴平行于x轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z轴;,机动目录上页下页返回结束,相交直线:,双曲线:,.,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18目录上页下页返回结束,图形,.,4.椭圆锥面,椭圆,在平面x0或y0上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换,得到,见书P316),机动目录上页下页返回结束,.,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕z轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行z轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,机动目录上页下页返回结束,.,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动目录上页下页返回结束,.,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方程,平行于y轴的直线,平行于yoz面的平面,圆心在(0,0),半径为3的圆,以z轴为中心轴的圆柱面,平行于z轴的平面,思考与练习,1.指出下列方程的图形:,机动目录上页下页返回结束,.,2.P318题3,10,机动目录上页下页返回结束,题10答案:,在xoy面上,.,第七章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,机动目录上页下页返回结束,空间曲线及其方程,.,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线C.,机动目录上页下页返回结束,.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动目录上页下页返回结束,.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为螺距.,机动目录上页下页返回结束,.,例1.将下列曲线化为参数方程表示:,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,机动目录上页下页返回结束,.,例2.求空间曲线:,绕z轴旋转,时的旋转曲面方程.,解:,点M1绕z轴旋转,转过角度后到点,则,机动目录上页下页返回结束,这就是旋转曲面满足的参数方程.,.,例如,直线,绕z轴旋转所得旋转曲面方程为,消去t和,得旋转曲面方程为,机动目录上页下页返回结束,.,绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为,又如,xoz面上的半圆周,说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如,机动目录上页下页返回结束,.,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线C的一般方程为,消去z得投影柱面,则C在xoy面上的投影曲线C为,消去x得C在yoz面上的投影曲线方程,消去y得C在zox面上的投影曲线方程,机动目录上页下页返回结束,.,例如,在xoy面上的投影曲线方程为,机动目录上页下页返回结束,.,又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在xoy面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy面上的投影曲线所围之域.,机动目录上页下页返回结束,.,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如,圆柱螺线),机动目录上页下页返回结束,思考与练习,P324题1，2，7（展示空间图形）,.,P324题1,(2),(1),答案:,机动目录上页下页返回结束,.,(3),机动目录上页下页返回结束,.,P324题2(1),机动目录上页下页返回结束,.,思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,P324题2(2),机动目录上页下页返回结束,.,P325题7,机动目录上页下页返回结束,.,备用题,求曲线,绕z轴旋转的曲面与平面,的交线在xoy平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向xoy面的投影柱面方程为,此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动目录上页下页返回结束,.,第五节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动目录上页下页返回结束,平面及其方程,第七章,.,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动目录上页下页返回结束,.,例1.求过三点,即,解:取该平面的法向量为,的平面的方程.,利用点法式得平面的方程,机动目录上页下页返回结束,.,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,机动目录上页下页返回结束,.,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动目录上页下页返回结束,.,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动目录上页下页返回结束,.,特殊情形,当D=0时,Ax+By+Cz=0表示,通过原点的平面;,当A=0时,By+Cz+D=0的法向量,平面平行于x轴;,Ax+Cz+D=0表示,Ax+By+D=0表示,Cz+D=0表示,Ax+D=0表示,By+D=0表示,平行于y轴的平面;,平行于z轴的平面;,平行于xoy面的平面;,平行于yoz面的平面；,平行于zox面的平面.,机动目录上页下页返回结束,.,例2.求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过x轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(P327例4,自己练习),机动目录上页下页返回结束,.,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动目录上页下页返回结束,.,特别有下列结论：,机动目录上页下页返回结束,.,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动目录上页下页返回结束,.,外一点,求,例5.设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动目录上页下页返回结束,.,例6.,解:设球心为,求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,从而,机动目录上页下页返回结束,.,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动目录上页下页返回结束,.,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,机动目录上页下页返回结束,.,思考与练习,P330题4,5,8,第六节目录上页下页返回结束,作业P3302,6,7,9,.,备用题,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解:已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,机动目录上页下页返回结束,.,第六节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动目录上页下页返回结束,空间直线及其方程,第七章,.,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),机动目录上页下页返回结束,.,2.对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,机动目录上页下页返回结束,.,3.参数式方程,设,得参数式方程:,机动目录上页下页返回结束,.,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,机动目录上页下页返回结束,.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动目录上页下页返回结束,.,二、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,机动目录上页下页返回结束,.,特别有:,机动目录上页下页返回结束,.,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角的余弦为,(参考P332例2),从而,的方向向量为,的方向向量为,机动目录上页下页返回结束,.,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面夹角满足,直线和它在平面上的投影直,机动目录上页下页返回结束,.,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,机动目录上页下页返回结束,.,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动目录上页下页返回结束,.,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,机动目录上页下页返回结束,.,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线L:,机动目录上页下页返回结束,.,作业P3353，4，5，7，9,P335题2,10,习题课目录上页下页返回结束,思考与练习,.,解：,相交,求此直线方程.,的方向向量为,过A点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,机动目录上页下页返回结束,.,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2利用所求直线与L2的交点.,即,故所求直线方程为,则有,机动目录上页下页返回结束,.,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,机动目录上页下页返回结束,.,习题课,一、内容小结,二、实例分析,机动目录上页下页返回结束,空间解析几何,第七章,.,一、内容小结,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1.空间直线与平面的方程,机动目录上页下页返回结束,.,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式,参数式