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2020年备考最新6套数学压轴题之四1.小题满分12分)已知函数f(x)=(1)当时, 求的最大值;(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由(2)存在符合条件 解: 因为=不妨设任意不同两点，其中则 由 知: 1+又 故故存在符合条件 12分解法二:据题意在图象上总可以在找一点使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在 故存在符合条件2.小题满分13分）在平面直角坐标系中，线段AB与y轴交于点，直线AB的斜率为k，且满足（1）证明：对任意的实数，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；（2）对（1）中的抛物线C，若直线与其交于M、N两点，求MON的取值范围解：（1）由已知设又设抛物线由得 设，则由弦长公式得 而，所以，即抛物线方程为6分（2）设，由而则，7分不妨设，由于，则令，则ON到OM的角为，且满足令，则，且 函数与在上皆为增函数 则，又时， 13分3.小题满分14分)设数列的前项和为，已知(nN*).（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意nN*且n2，都有成立，求的最大值；3）令，数列的前项和为，求证：当nN*且n2时，.解（1）由，得(n2).两式相减，得，即(n2). 于是，所以数列是公差为1的等差数列 又，所以. 所以，故.4分 （2）因为，则. 令，则.所以.即，所以数列为递增数列. 所以当n2时，的最小值为.据题意，即.又为整数，故的最大值为18. 8分（3）因为，则当n2时，. 下面证方法一：先证一个不等式，当时，令，则，在时单调递增，即当时，令， ，以上个式相加，即有 14分 方法二：先用数学归纳法证明一个加强不等式。时， 成立，故时不等式成立。假设时成立，即则当时，下面用分析法证即证即证， 故即证即证上式显然成立。（可以从到时引导学生发现中的
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