黑龙江省双鸭山一中2015届高三9月月考数学(理)试题含解析

高三数学（理科）月考试题（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）第卷（12题：共60分）【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。一、 选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 【题文】1.已知集合，则（ ） A. B. C. D.【知识点】集合的包含关系判断及应用A1【答案解析】B 解析：集合M=x|y=lg（2x）=（，2），N=y|y=+=0，故选B【思路点拨】由题意先化简集合M，N；再确定其关系【题文】2.下列说法正确的是（ ） A.命题“若，则”的否命题为“若，则”B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定是“”D.命题“若，则”的逆否命题为真命题【知识点】四种命题A2【答案解析】D 解析：对于A，该命题的否命题为：“若x21，则x1”，A错误；对于B，x=1时，x25x6=0，充分性成立，x25x6=0时，x=1或x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“xR，均有x2+x10，C错误对于D，x=y时，sinx=siny成立，它的逆否命题也为真命题，D正确故选：D【思路点拨】本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题【题文】3.若复数，则 （ ） A. B. C. D.不存在 【知识点】复数代数形式的乘除运算L4 【答案解析】B 解析：=i2014=（i2）1007=（1）1007=1ln|z|=ln1=0故选：B【思路点拨】利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位i的运算性质化简，代入ln|z|得答案【题文】4.在等差数列中，则数列的前项和等于（ ） A. B. C. D.【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式D2【答案解析】A 解析：在等差数列an中，2a3+a9=3，2（a1+2d）+（a1+8d）=3，3a1+12d=3，a1+4d=1，数列an的前9项和：S9=9（a1+4d）=9故选：A【思路点拨】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解【题文】5.已知，则的值为（ ） A. B. C. D.【知识点】二倍角的余弦C6【答案解析】A 解析：，sin2=1cos2=，则=12sin2+sin2=1sin2=1=故选：A【思路点拨】由cos的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin2的值，原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简合并后，将sin2的值代入计算即可求出值【题文】6. 的值为 （） A. B. C. D.【知识点】定积分B13【答案解析】C 解析：=（ex+）|=e=e+，故选：C【思路点拨】根据微积分定理直接求函数的积分【题文】7.已知是定义在上的奇函数，当时，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质B5【答案解析】C 解析：，对称轴为x=1，在0，+）上单调递增；是奇函数，在（，0上也单调递增，在定义域R上单调递增；由原不等式得：2x2x，解得x2，或x1；实数x的取值范围为（，2）（1，+）故选C【思路点拨】根据已知条件可得在R上单调递增，所以由得，2x2x，解该不等式即得原不等式中实数x的取值范围【题文】8.设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（ ） A.是偶函数 B.的最小正周期为 C.在区间上是增函数 D.的图象关于点对称 【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断B3 B4【答案解析】C解析：f（）=|sin2（）+|=，f（）=|sin2（）+|=0，f（）f（），f（x）不是偶函数，选项A错误；f（x+）=|sin2（x+）+）|=|sin（2x+）|=|sin（2x+）|，f（x）的最小正周期为，选项B错误；当x时，2x，2x+，g（x）=sin（2x+）在上为减函数，f（x）=|sin（2x+）|在上为增函数，选项C正确；函数f（x）=|sin（2x+）|的图象恒在x轴上方，f（x）的图象不关于点对称，选项D错误故选：C【思路点拨】举例说明A不正确；由f（x+）=f（x）说明B不正确；由x得范围得到相位的范围，说明g（x）=sin（2x+）在上为减函数，f（x）=|sin（2x+）|在上为增函数；由f（x）=|sin（2x+）|的图象恒在x轴上方说明f（x）的图象不关于点对称【题文】9.已知圆的半径为，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为 （ ）A. B. C. D.【知识点】圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算F3 H4【答案解析】D 解析：如图所示：设PA=PB=x（x0），APO=，则APB=2，PO=，=x2（12sin2）=，令=y，则，即x4（1+y）x2y=0，由x2是实数，所以=（1+y）241（y）0，y2+6y+10，解得或故（）min=3+2此时【思路点拨】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度，和夹角，并将表示成一个关于X的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答【题文】10.已知函数在定义域内有零点，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.【知识点】函数的零点B9【答案解析】B 解析：函数f（x）=+lnx1（a0）的定义域为（0，+），函数f（x）=+lnx1（a0）在定义域内有零点，方程+lnx1=0有解，即a=xxlnx的值域，a=1lnx1=lnx，则a11ln1=1，故0a1，故选B【思路点拨】将函数的零点化为方程的解，进而转化为函数的值域，问题得解.【题文】11.已知正实数满足，若对任意满足条件的都有恒成立，则实数的取值范围为 （ ）A. B. C. D.【知识点】函数恒成立问题B14【答案解析】A 解析：因为正实数满足，而4xy（x+y）2，代入原式得（x+y）2（x+y）20，解得（x+y）2或（x+y）1（舍去）由恒成立得恒成立，令t=x+y2，+），则问题转化为m时恒成立，因为函数y=在1，+）递增，所以要使原式成立只需m=2故选A【思路点拨】由可得，再令t=x+y，则a恒成立，求出t的范围，问题即转化为求函数a=的最小值问题【题文】12.对于函数和区间，如果存在，使得，则称是函数与在区间上的“互相接近点”。现给出两个函数： ； ； ； 。则在区间上存在唯一“相互接近点”的是 （ ）A. B. C. D.【知识点】函数的最值及其几何意义；命题的真假判断与应用B3 A2【答案解析】D 解析：对于：由f（x）g（x）=x22x+2=（x1）2+1，显然，当x=1时，取得最小值1，符合题意，显然只有x=1符合“相互接近点”定义，所以符合题意；对于：由f（x）g（x）=x2=，则当x0时，|f（x）g（x）|恒成立，故x0时不存在“相互接近点”，所以不符合题意；对于：令h（x）=xlnx，则h（x）=1，令h（x）0，则x1，令h（x）0，得0x1，所以函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+）递增，所以x=1时，h（x）min=h（1）=1，故当x0时，存在唯一的“相互接近点”，故符合题意；对于：因为当x0时，ex0，则ex+11，而此时，故f（x）g（x）1当x0时恒成立，故在（0，+）不存在“相互接近点”，所以不符合题意故选D【思路点拨】由“互相接近点”的概念可知，只要是能找到一个x0，使得|f（x0）g（x0）|1即可，因此只需构造函数h（x）=f（x）g（x），利用单调性求其最大值或最小值和1比较，则问题即可解决第卷（10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）【题文】13. 已知向量，且三点共线，则= 。【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线F2【答案解析】 解析：向量，又A、B、C三点共线，故（4k，7）=（2k，2），k=故答案为【思路点拨】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k【题文】14. 数列满足，则通项 。【知识点】数列递推式D1【答案解析】 解析：数列an满足a1=1，an+1=，nN*，=，又，是首项为1，公差为2的等差数列，=1+（n1）2=2n1，an=故答案为：【思路点拨】由已知得是首项为1，公差为2的等差数列，从而能求出an=【题文】15.已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点，若，则的取值范围是 。【知识点】简单线性规划E5【答案解析】 解析：作出其平面区域如图：u=2+，可看成点P（x，y）与点A（1，1）构成的直线的斜率，kAC=1，kAB=5，15，32+7，故答案为3，7【思路点拨】作出其平面区域，化简u=2+，可看成点P（x，y）与点A（1，1）构成的直线的斜率，从而求u的取值范围【题文】16.若函数为定义在上的减函数，函数的图象关于点对称， 满足不等式为坐标原点，则当时，的取值范围为 。【知识点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质B3 F3【答案解析】 解析：设P（x，y）为函数y=f（x1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2x，y），f（2x1）=f（x1），即f（1x）=f（x1）不等式f（x22x）+f（2yy2）0化为f（x22x）f（2yy2）=f（112y+y2）=f（y22y），函数y=f（x）为定义在R上的减函数，x22xy22y，化为（x1）2（y1）2，即或又1x4，画出可行域M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，=x+2y=t化为由图可知：当直线经过点A（4，2）时，t取得最小值0当直线经过点B（4，4）时t取得最大值4+24，即12综上可得：的取值范围是0，12故答案为：0，12【思路点拨】设P（x，y）为函数y=f（x1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2x，y），可得f（2x1）=f（x1），即f（1x）=f（x1）由于不等式f（x22x）+f（2yy2）0化为f（x22x）f（2yy2）=f（y22y），再利用函数y=f（x）为定义在R上的减函数，可得x22xy22y，即或由于1x4，可画出可行域由M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，利用数量积运算可得=x+2y=t进而得出答案 三、解答题（包括6小题，共70分）【题文】17. （本题10分）【来.源：全,品中&高*考*网】 已知集合。（1）求集合；（2）若不等式的解集为，求的值。【知识点】交集及其运算；一元二次方程的根的分布与系数的关系A1B5【答案解析】（1）；（2）.解析：（1）A=x|x24=x|2x2，B=x|0=x|3x1，AB=x|2x1；（2）由题意及（1）有3，1是方程2x2+ax+b=0的两根【思路点拨】（1）分别求出集合A和集合B中的不等式的解集，然后求出两集合的交集即可；（2）由题意和（1）中的结论可知3和1为方程的两个根，把3和1分别代入方程中得到关于a与b的方程，求出方程的解即可得到a与b的值【题文】18. （本题12分）已知函数。（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域C5 C3 【答案解析】（1）；（2）当时，；当时，。解析：（1）化简可得=（2分）=（4分）所以（7分）（2）因为，所以（9分）所以，所以1f（x）2，当，即时，f（x）min=1，当，即时，f（x）max=2，（14分）【思路点拨】（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，进而可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值【题文】19. （本题12分）已知等差数列的前项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中不大于的项的个数记为，求数列的前项和。【知识点】数列的求和；等差数列的前n项和；等差数列的性质D2 D4【答案解析】（1）；（2）。解析：（1）由已知得：解得a1=7，d=7，所以通项公式为an=7+（n1）7=7n（2）由，得n72m1，即=49bm是公比为49的等比数列，【思路点拨】（1）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a1，d，从而可求通项；2）由（1）及已知可得，则可得，可证bm是等比数列，代入等比数列的求和公式可求。【题文】20.（本题12分）已知向量（1）若，求的值；（2）设的三边满足，且边所对应的角为，若关于的方程有且仅有一个实数根，求的值。【知识点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算C7F3【答案解析】（1）；（2）或。 解析：（1），=又，；由于，可得，由此可得：=；（2）b2=ac，由余弦定理可得：，B是三角形的内角，即由（I）可得=，由，可得，当x（0，时，y=为单调增函数；当x（，时，y=为单调减函数当时，y=1；当时，y=，此时只有一个x与y=对应，即直线y=m和有一个公共点若关于x的方程有且仅有一个实数根，实数m的值为1或【思路点拨】（1）根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简，得到，结合同角三角函数的关系算出，再进行配角，利用两角和的余弦公式即可算出cos4x的大小（2）根据余弦定理与基本不等式算出，从而可得，即函数y=的定义域为再利用正弦函数的图象研究y=的单调性，可得当或时，有唯一的x与y=对应，由此即可得到满足条件的实数m的值【题文】21. （本题12分）已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求证：。【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合.D2 D3 D5【答案解析】（1）；（2）见解析解析：（1）解：设数列an的公差为d（d0），由已知得：即：（2分）解之得：（4分）所以an=2n5，（n1）（6分）（2）证明：