大学线性代数试题及答案

Page 1 of 4 2006 学年第学年第 2 学期学期线性代数线性代数（ A A 卷卷 ） 一、填空题 (本题共有 30 分, 每小题 3 分) 1.已知 120 1 130 2 001 A ，则 1 A. 2.设A为 4 阶方阵，且1A ,则3A _. 3.已知 1 (2,3,4,5)T, 2 (3,4,5,6)T, 3 (4,5,6,7)T, 4 (5,6,7,8)T，则向量组 1234 , 的秩为. 4.设A是n阶方阵，且满足 2 50AAE, 则 1 2AE _. 5.已知方程组 1 2 3 1211 2323 121 x ax ax 无解，则实数a _. 6.设 123 (1 ,1) ,(2, 1,2) ,(0,1,2) TTT x，当x时， 123 , 线性无关. 7.设向量(2,3,4,1),(1, 3,2, ) x，且与正交，则x . 8.若 4 阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为 1 1 1 1 , 2 3 4 5 ，则行列式 1 BE _ . 9.二次型 2 123213 ,2f x x xxx x的负惯性指标为. 10.在 MATLAB 软件中，inv(A) 表示求_. 二、单项选择题（本题共 21 分，每小题 3 分） 1. 设n维向量和的模分别是 4 和 8，与的距离是4 3， 则与的夹角为 () （A） 3 （B） 3 （C） 2 3 （D） 2 3 2. 设A为 5 阶方阵， 且( )4R A ， 12 , 是0Ax 的两个不同的解向量， 则0Ax 的 通解为（） （A） 1 k（B） 2 k（C） 12 ()k（D） 12 ()k 3. 下列命题中与命题“n阶方阵A可逆”不等价 的是（） （A）0A （B）A的列向量组线性无关 (C）方程组0Ax 有非零解（D）A的行向量组线性无关 4. 已知 123 24 369 Qt ，P为 3 阶非零矩阵，且满足PQ 0,则（） （A）6t 时P的秩必为 1（B）6t 时P的秩必为 2 （C）6t 时P的秩必为 1（D）6t 时P的秩必为 2 5. 当下列哪一个命题成立时，n阶方阵A与B相似（） （A）AB（B）( )( )R AR B（C）A与B有相同的特征值 （D）A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同 Page 2 of 4 6. 设 321 , , 是齐次线性方程组0Ax的基础解系，则下列向量组不能 作为 0Ax的基础解系的是（） （A） 11213 , ，（B） 123123 , ， （C） 112123 , ，（D） 121331 , ， 7. 设A与B均是n阶正定矩阵， * ,A B分别为A，B的伴随矩阵，则下列矩阵必为 正定矩阵的是（） （A） * 3AB+（B） * A B（C） * 12 k Ak B（ 12 kk，为任意常数）（D） * AB 三、计算n阶行列式 211 121 112 n D L L MMMM L 的值.(本题 8 分) 四、设线性方程组 123 123 2 123 (1)0 (1) (1) xxx xxx xxx ，当等于何值时，方程组 (1) 有惟一解； （2）无解； （3）有无穷多解，并用基础解系表示方程组的通解. （本题 12 分） 五、设有向量(0,4,2,5)T, 1 (1,2,3,1)T, 2 (2,3,1,2)T, 3 (3,1,2, 2)T，问可否表示成 1 ， 2 ， 3 的线性组合?若可以,请给出一种表 达式. （本题 9 分） 六、证明若n阶方阵A满足 2 430AAE,则A的特征值只能是 1 或 3.(本题 8 分) 七、已知二次型 222 12312323 ( ,)2332(0)f x x xxxxax x a通过正交变换化成标 准型 222 123 25fyyy，求参数a及所用的正交变换矩阵.(本题 12 分) Page 3 of 4 2006 学年第学年第 2 学期线性代数（学期线性代数（ A 卷卷 ）答案）答案 一. 1. 200 022 046 2.813.24. -(A+ 3 E)5.3 或-1 6.x 2 1 7. -18. 249.010.10 二.1.A2. D3. C4. C5. D6. B7. B 三. Dn = 211 121 111 n n n （4 分）=（n+1） 211 121 111 (6 分) =（n+1） 100 010 111 = n+1(8 分) 四 （12 分） 111 111 111 = （+3） 2 .（2 分） （1）.当0 且-3 时，方程组有唯一解.(4 分) （2）.当=-3 时 A= 9211 3121 0112 12000 6330 9211 (7 分) R(A)=2R(A)=3方程组无解.(8 分) （3）.当=0 时 A= 111 111 111 000 000 111 （9 分） R(A)=13 故方程组有无穷多解(10 分) x1+x2+x3=01= 011 2 =101.(11 分) 通解x=k1 1 +k 22 ，其中k1，k 2 为任意实数（12 分） 五 （9 分）设= 332211 kkk 522 223 432 032 321 321 321 321 kkk kkk kkk kkk (2 分) Page 4 of 4 0000 1100 4510 0321 5221 2213 4132 0321 A（4 分） R(A)=R(A)=3方程组有解（5 分） 1 45 032 3 32 321 k kk kkk （7 分）1, 1, 1 321 kkk（8 分） 321 （9 分） 六 （8 分） 证明： 设为 A 的特征值，034)( 2 EAAA (2 分) 则)(为)(A的特征值（4 分） 即EA)()(=0 (6 分) 而0)(A0)()(0 n E 034)( 2 A=1 或 3 （8 分） 七 （12 分） 30 020 02 a a A（1 分）A 的特征值为 1,2,5（2 分） 521A即A= 30 20