概率ch1-4-1

1.4 条件概率,如在事件B已经发生的条件下,在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件下求事件的概率.,将此概率记作P(A|B).,求事件A发生的概率，,先看一个古典概型的例子，考察有两个小孩的家庭，样本空间=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).假定一个小孩是男是女为等可能的，那么上述4个样本点是等可能的. 设A=有一男一女的家庭，B=至少有一个女孩的家庭，,易见，P(A)= 2/4=1/2，P(B)=3/4.,求P(A|B)=？,已知事件B 发生，此时试验所有可能结果构成的集合,B中只有3个等可能样本点，使A 发生的有,就是B，,其中2个，于是,P(A|B)= 2/3.,P(A|B)的实质是样本空间起了变化.,由此可见， 条件概率,原样本空间,缩成为,事件B 发生,新样本空间B = (男,女), (女,男), (女,女),在中计算A的概率就是P(A), 在SB中计算A的概率就是 P(A|B).,注意：在上例中有,在古典(几何)概率场合下都是成,立的.,这就启发我们以P(AB)与P(B) 之比作为条件概,率的一般定义.,设A、B是两个事件，且 P(B)0,则称,为在事件B已发生的条件下，事件A的条件概率.,(1.2),二、 条件概率的定义,(二) 条件概率的性质,满足概率所有的基本性质.,特别地,条件概率的计算,(1) 用定义计算(在原样本空间中计算P(B), P(AB),(2) 由题意，在缩减的样本空间中直接根据古典 概型求出.,例1.20 一袋中有a+b个球，其中a个黑球，b个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）. （1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的仍是黑球的概率.,解,（1）显然,令Ai 为事件“第i 次取到的是黑球”( i =1, 2 ).,（2）,可以利用古典概型求出.,利用抽签与顺序无关求出.,问题：,尽管（1）（2）两问不同，但结果却相同.,为什么？,解释如下：,尽管第一次取球时，可能,但当我们得知第二次取,我们反过来就知道第一次取球必定,取到的是a+b个球中的一个，,到的是黑球之后，,是从 a-1 个黑球、b 个白球共 a+b-1 个球中取一个，,从而（1）（2）结果相同.,法1:,法2:,AB=(6, 4), (6, 5), (6, 6),基本事件总数n=66=36, kB=6, kAB=3,=(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6),B=第一颗掷出6点,设A=掷出点数之和不小于10,=(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6),解:,在B发生后的缩减样本空间中计算,应用定义,补例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,所求为P (AB ),补例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：,依题意，P(A)=0.8, P(B)=0.4,故所求为P(B|A) .,设A=能活20年以上，B=能活25年以上,显然A、B 之间有先后关系，即A先发生，B后发生，,在B中6个样本点中只有3个在A中,（三）乘法公式（定理）,由条件概率的定义：,若 P(B) 0, 则P(AB)=P(B)P(A|B) （乘法公式）,由对称性得 若 P(A)0, 则P(AB)=P(A)P (B|A),P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1),特例：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB), P(AB)0,当P(A1 A2An-1)0 时，有,注意积事件概率 P(AB)与条件概率 P(A | B)的区别！,推广到多个事件的乘法公式:,例1 市场上出售的灯泡来自甲乙两厂.甲乙两厂的市场份额分别为70%，30%，灯泡的合格率分别是90%，85%. 求从市场上买一个甲厂生产的合格灯泡的概率.,设A表示“甲厂产品”，B表示“合格灯泡”，则,解:,那么所求概率为,例2 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决. 问：抽签先后是否影响抽到“入场券”的概率？,用Ai 表示“第i个人抽到入场券”，i1, 2, 3, 4, 5.,解:,则 表示“第i 个人未抽到入场券”,对于第2个人，,同理,第3个人要抽到“入场券”必须第1, 2个人都没抽到.,(4/5) (3/4) (1/3)=1/5,继续做下去会发现,每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,全概率公式 和 贝叶斯公式,例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从任一箱中任意摸出一球，求取得红球的概率.,记Bi=球取自i 号箱,i =1,2,3; A=取得红球,即A= AB1AB2 AB3，且AB1、AB2、AB3两两互斥,A发生当且仅当AB1,AB2,AB3 之一发生，,P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3),解：,B1, B2, B3 两两互不相容且 B1B2 B3= S，则称B1,B2, B3为样本空间S的一个划分. 这种将复杂事件概率计算转化为简单事件概率计算的方法称为全概率公式.,在求一个比较复杂事件的概率时，往往可以先把,它分解成两个（或若干个）互不相容的比较简单事件,的并. 从而有下列的定理.,（全概率公式）,定理 设B1, B2 , 是一列互不相容的事件, 且有,则对任一事件A，有,证明,这个公式通常称作全概率公式.,全概率公式的说明：,1 所谓全概率公式即“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组 Bi 往往可以简化计算.因此在使用全概率公式时，适当确定样本空间的一个划分是关键.,2 全概率公式还可以从另一个角度去理解：,某一事件A的发生有各种可能的原因Bi (i=1,2,n)，如果A是,由原因Bi引起,则A发生的概率是,P (ABi )=P (Bi )P (A| Bi ),每一个原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 由此把全概率公式看成为,“由原因推结果”， 每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.,贝叶斯定理,定理 设B1, B2 , 是一列互不相容的事件, 且有,则对任一事件A，有,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bi 的概率.,例1 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,已知 P(C)=0.005,求P(C | A).,解,由贝叶斯公式，可得,A=试验结果是阳性，,设 C =抽查的人患有癌症，,则 表示“抽查的人不患癌症”.,P(A|C)=0.95,代入数据计算得: P(CA)= 0.1066,解 以 Ai 记抽到 i 地区，i =1, 2, 3，,由抽取的随机性知,以 Bj 记第 j 次抽到女生表，j =1, 2, 则,（1）,（2）,因此,另一方面,首先利用抽签与顺序无关知,所求问题是,例3 12个兵乓球中有9个新球，3 个旧球. 第一,次比赛，取出3个球，用完以后放回去，第二次比赛,（1）第二次取出的3 个球中有2个新球；,（2）若第二次取出的3 个球中有2个新球，第一,次取出的3个球中恰有1个新球.,又从中取出3个球.求下列事件的概率：,解,令 Ai 表示第一次取出的3个球中恰有i个新球，,( i=0, 1, 2, 3 )，,B 表示第二次取出的3 个球中有2个新球.,则第二次取