2018年考研数学三试题及全面解析

超级狩猎者整理2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题与全面解析（Word版）一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 下列函数中在处不可导的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】()【解析】根据导数定义，A. ，可导；B., 可导； C. ，可导；D. ，极限不存在。故选（）. 2. 设函数在上二阶可导。且，则 （ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，【答案】（）【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为 。将函数在处展开，有，其中。两边积分，得，由于 ，所以，应选（D）.【解析二】排除法。（A）错误。令，易知，但是。（B）错误。令，易知，但是。（C）错误。令，易知，但是。故选 （D）.3. 设，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。，令，则，当时，当时，故 对，有，因而，故。应选（）.4. 设某产品的成本函数可导，其中为产量。若产量为时平均成本最小，则 （ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】平均成本 ，由于产量为时平均成本最小，因此，故选（ ）5. 下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】记矩阵，则秩，迹,特征值（三重）。观察四个选项，它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：,，, 。如果矩阵与矩阵相似，则必有与相似（为任意常数），从而），故选（A）,6. 设是阶矩阵，记为矩阵 的秩，表示分块矩阵，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】把矩阵 按列分块，记，则向量组 可以由向量组线性表出，从而与，等价，于是，故选（）。7. 设随机变量的概率密度满足，且则 ( )（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.5【答案】（）【解析】由可知概率密度函数关于对称，结合概率密度函数的性质及已知条件，容易得出，故选（）。8. 设是来自总体的简单随机样本。令 ，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（）【解析】由 ，且 与 相互独立，所以，故选 （）。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9. 曲线在其拐点处的切线方程为 。【答案】.【解析】函数的定义域为，；。令 ，解得 ，而，故点 是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率，所以切线方程为 。10. 。【答案】【解析】11、差分方程的通解是。 【答案】，其中为任意常数。【解析】 由于，原方程化为 ，即 。该一阶线性非齐次差分方程对应的齐次差分方程为 ，其通解为。设原方程的特解为 ,代入原方程得 .故原方程的通解为 。12. 设函数满足，且，则。【答案】。【解析】由 可得两边取极限得 ，即 解一阶线性齐次微分方程，有，代入，故 。由轮换对称性可得 ：。13. 设为3阶矩阵，是线性无关的向量组,若，则。【答案】.【解析】已知因为 线性无关，所以矩阵可逆，,.，14. 设随机事件,相互独立，,，则。 【答案】.。【解析】,三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本题满分10分）已知实数满足.，求。【解析一】令 ，可得 .（1）于是 对（1）式使用洛必达法则，有 故 。【解析二】令 ，可得 ，于是 。16. （本题满分10分）设平面区域由曲线与直线及轴围成，计算二重积分。【解析】积分区域如图示， ，其中 ， 故 。17. （本题满分10分）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【答案】面积之和存在最小值，。【解析】设圆的半径为，正方形的边长为，三角形的边长为，则，三个图形的面积之和为 ，则问题转化为 “在条件，下，求三元函数 的最小值”。 令 解方程组，得到唯一驻点由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和 为.18. （本题满分10分）已知，求。【解析】将 和展开成幂级数， ，于是 ，比较等式两边同次项系数 ，可得 ，综上，。19. （本题满分10分）设数列满足 。证明收敛，并求。【证明一】因为 ，所以 。根据拉格朗日中值定理，存在，使得 ，即，因此 。完全类似，假设 ，则，即 ，故数列单调减少且有下界，从而数列收敛。设 ，在等式 两边取极限，得 ，解方程得 唯一解 ，故 。【证明二】首先证明数列有下界，即证明：当时， 。根据题设 ，由 可知 ；假设当时， ；则当时， ，其中，可知 。根据数学归纳法，对任意的， 。再证明数列的单调性：，(离散函数连续化)设 ，则当时，单调递减，即 。从而 ，故，即数列的单调递减。综上，数列的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知收敛。设 ，在等式 两边同时令，得 ，解方程得 唯一解 ，故 。20. （本题满分11分）设二次型 ，其中是参数。（I）求 的解；（II）求 的规范型。【解析】（I）由 可得对上述齐次线性方程组的系数矩阵作 初等行变换得当时， 只有零解：。当时， 有非零解：， 为任意常数。（II）当时，若不全为0，则二次型 恒大于 0，即二次型为正定二次型，其规范型为。当 时，二次型对应的实对称矩阵 ，其特征方程为解得特征值 ，可知二次型的规范型为。21.（本题满分11分）设是常数，且矩阵 可经过初等列变换化为矩阵。(I)求；（II）求满足的可逆矩阵？【解析】（I）由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故 。对矩阵作初等行变换，得，显然，要使，必有 。（II）将矩阵 按 列 分块：，求解矩阵方程可化为解三个同系数的非齐次线性方程组：。对下列矩阵施以初等行变换得，易知，齐次线性方程组的基础解系为 ：,三个非齐次线性方程组的特解分别为：。因此，三个非齐次线性方程组的通解为，从而可得可逆矩阵 ，其中。（22）（本题满分11分）设随机变量相互独立，的概率分布为，服从参数为的泊松分布。令，（I）求；（II）求的概率分布。【解析】（I）由相互独立，可得.。由协方差计算公式可知,其中 ，代入上式可得 。（II）由于是离散型随机变量，因此也是离散型随机变量。的可能取值为1，-1，的概率分布为 ，故的可能取值