2016年苏科版数学八年级上3.1勾股定理同步练习含答案解析

第 1 页（共 25 页） 股定理 一选择题（共 14 小题） 1（ 2016荆门）如图， ， C， 平分线已知 ， ，则 长为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 第 1 题 第 2 题 2（ 2016漳州）如图，在 ， C=5， ， D 是线段 的动点（不含端点 B、 C）若线段 为正整数，则点 D 的个数共有（ ） A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 3（ 2016株洲）如图，以直角三角形 a、 b、 c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足 2=形个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4（ 2016杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为 m 和 n（ m n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ） A mn+ B 2mn+ C D 2 5（ 2016济南）如图，直线 腰直角 两个顶点 A、 B 分别落在直线 0，若 1=15，则 2 的度数是（ ） A 35 B 30 C 25 D 20 第 5 题 第 6 题 6（ 2016黔东南州） 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积为 1，直角三角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么（ a+b） 2 的值为（ ） A 13 B 19 C 25 D 169 第 2 页（共 25 页） 7（ 2016青海）如图，正方形 边长为 2，其面积标记为 斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此规律继续下去，则 值为（ ） A（ ） 6 B（ ） 7 C（ ） 6 D（ ） 7 8（ 2016淄博）如图，正方形 边长为 10， H=8， H=6，连接 线段 长为（ ） A B 2 C D 10 5 9如图，将一边长为 a 的正方形（最 中间的小正方形）与四块边长为 b 的正方形（其中 b a）拼接在一起，则四边形 面积为（ ） A b a） 2 B b2+ C（ b+a） 2 D 9 题 第 10 题 10如图， ， 0， A=55，将其折叠，使点 A 落在边 A处，折痕为 则 A ） A 40 B 30 C 20 D 10 二填空题（共 8 小题） 11（ 2016安顺）如图，直线 m n， 等腰直角三角形， 0，则 1=_度 12如图，在 ， 0， B=40， D 为线段 中点，则 _ 第 3 页（共 25 页） 第 11 题 第 12 题 第 13 题 13（ 2016绥化）如图，在四边形 ，对角线 交于点 E， 0， 5， 0， ，则 _（提示：可过点 A 作 垂线） 14如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短的直角边长为 a，较长的直角边长为 b，那么（ a+b） 2 的值为 _ 第 13 题 第 15 题 第 16 题 15如图， 周长为 ，以 边向外作正方形 正方形 这两个正方形的面积之和为 25 面积是 _ 16如图，在 ， 0， ， ，点 D 在 ， C， D 交 点 E，交 点 F，则 长是 _ 17如图，在 ， 0， 0， ，以 斜边作 0， 面积为 以 斜边作 0， 面积记为 ，以此类推，则 _（用含 n 的式子表示） 18如图， 两个全等的等腰直角三角形，点 G 在直角边 ， ，将 顶点 D 放在直角边 ，直角边 过点 G，斜边 过点 B，则 _ 第 4 页（共 25 页） 三解答题（共 6 小题） 19（ 2016益阳）在 ， 5， 4， 3，求 面积 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程 20作图题：如图，在 6 6 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在所给网格中按下列要求画出图形 （ 1）从点 A 出发的一条线段 它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 5； （ 2）以（ 1）中的 边的一个等腰三角形 点 C 在格点上，请画出所有满足条件的点 C 21问题背景： 在 ， 边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中 第 5 页（共 25 页） 画出格点 个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求 高，而借用网格就能计算出它的面积 （ 1）请你将 面积直接填写在横线上 _； （ 2）若 边的长分别为 、 、 2 （ m 0， n 0，且m n），运用构图法可求出这三角形的面积为 _ 22一、阅读理解： 在 ， BC=a， CA=b， AB=c； （ 1）若 C 为直角，则 a2+b2= （ 2）若 C 为锐角，则 a2+ 关系为： a2+ （ 3）若 C 为钝角，试推导 a2+ 关系 二、探究问题：在 ， BC=a=3， CA=b=4， AB=c，若 钝角三角形，求第三边 c 的取值范围 23在 ， C=90，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过 C 作 B 于 H，延长 点 I （ 1）如图（ 1）若 ， ，试通过计算证明：四边形 面积等于正方形面积 （ 2）请利用图（ 2）证明直角三角形勾股定理： 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 参考答案与解析 一选择题（共 14 小题） 1（ 2016荆门）如图， ， C， 平分线已知 ， ，则 长为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 【分析】 根据等腰三角形的性质得到 D，根据勾股定理即可得到结论 【解答】 解： C， 平分线， D， ， ， =4， ， 故选 C 【点评】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 2（ 2016漳州）如图，在 ， C=5， ， D 是线段 的动点（不含端点 B、 C）若线段 为正整数，则点 D 的个数共有（ ） A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 【分析】 首先过 A 作 D 与 E 重合时， 短，首先利用等腰三角形的性质可得 C，进而可得 长，利用勾股定理计算出 ，然后可得 取值范围，进而可得答案 【解答】 解：过 A 作 C， E= ， =3， D 是线段 的动点（不含端点 B、 C） 3 5， 或 4， 线段 为正整数， 点 D 的个数共有 3 个， 故选： C 第 8 页（共 25 页） 【点评】 此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出最小值，然后求出 取值范围 3（ 2016株洲）如图，以直角三角形 a、 b、 c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足 2=形个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 根据直角三角形 a、 b、 c 为边，应用勾股定理，可得 a2+b2= （ 1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出 3 个三角形的面积；然后根据 a2+b2=得 2= （ 2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出 3 个半圆的面积；然后根据 a2+b2=得 2= （ 3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出 3 个等腰直角三角形的面积；然后根据 a2+b2=得 2= （ 4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出 3 个正方形的面积；然后根据a2+b2=得 2= 【解答】 解：（ 1） a2+b2= 2= （ 2） a2+b2= 2= （ 3） 第 9 页（共 25 页） a2+b2= 2= （ 4） S1=S2=S3= a2+b2= 2= 综上，可得 面积关系满足 2=形有 4 个 故选： D 【点评】 （ 1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 （ 2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握 4（ 2016杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为 m 和 n（ m n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ） A mn+ B 2mn+ C D 2 【分析】 如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得 m2+ n m） 2，整理即可求解 【解答】 解：如图， m2+ n m） 2， 2m2=2mn+ 故选： C 【点评】 考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系 5（ 2016济南）如 图，直线 腰直角 两个顶点 A、 B 分别落在直线 0，若 1=15，则 2 的度数是（ ） A 35 B 30 C 25 D 20 【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得 5，根据平行线的性质可得 2= 3，进而可得答案 【解答】 解： 等腰直角三角形， 第 10 页（共 25 页） 5， 2= 3， 1=15， 1=45 15=30， 故选： B 【点评】 此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等 6（ 2016黔东南州） 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积为 1，直角三角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么（ a+b） 2 的值为（ ） A 13 B 19 C 25 D 169 【分析】 根据题意，结合图形求出 a2+值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值 【解答】 解：根据题意得： c2=a2+3， 4 3 1=12，即 22， 则（ a+b） 2=ab+3+12=25， 故选 C 【点评】 此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键 7（ 2016青海）如图，正方形 边长为 2，其面积标记为 斜边作等腰直角三 角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此规律继续下去，则 值为（ ） 第 11 页（共 25 页） A（ ） 6 B（ ） 7 C（ ） 6 D（ ） 7 【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得出 2=出部分 值，根据数的变化找出变化规律 “ ） n 3”，依此规律即可得出结论 【解答】 解：在图中标上字母 E，如图所示 正方形 边长为 2， 等腰直角三角形， E， 2= 观察 ， 发现规律 ： 2=4， ， ， ， ， ） n 3 当 n=9 时， ） 9 3=（ ） 6， 故选： A 【点评】 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律 “ ） n 3”本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分 值，根据数值的变化找出变化规律是关键 8（ 2016淄博）如图，正方形 边长为 10， H=8， H=6，连接 线段 长为（ ） A B 2 C D 10 5 【分析】 延长 点 E，根据正方形的性质证明 得E 、 H 、 0，由勾股定理可得 长 【解答】 解：如图，延长 点 E， 第 12 页（共 25 页） 在 ， ， 1= 5， 2= 6， 0， 1+ 2=90， 5+ 6=90， 又 2+ 3=90， 4+ 5=90， 1= 3= 5， 2= 4= 6， 在 ， ， G=8， G=6， 0， E 6=2， 同理可得 ， 在 ， = =2 ， 故选： B 【点评】 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出 等腰直角三角形是解题的关键 9如图，将一边长为 a 的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为 b 的正方形（其中 b a）拼接在一起，则四边形 面积为（ ） A b a） 2 B b2+（ b+a） 2 D 分析】 先求出 长，再根据三角形的面积公式求解即可 第 13 页（共 25 页） 【解答】 解： DE=b a， AE=b， S 四边形 S （ b a） b = b a） 2 故选： A 【点评】 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 10如图， ， 0， A=55，将其折叠，使点 A 落在边 A处，折痕为 A ） A 40 B 30 C 20 D 10 【分析】 在直角三角形 ，由 A 的度数，利用三角形的内角和定理求出 B 的度数，再由折叠的性质得到 = A，而 为三角形 A外角，利用三角形的外角性质即可求出 A度数 【解答】 解：在 ， 0， A=55， B=180 90 55=35， 由折叠可 得： = A=55， 又 为 A外角， = B+ A 则 A5 35=20 故选： C 【点评】 此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键 二填空题（共 8 小题） 11（ 2016安顺）如图，直线 m n， 等腰直角三角形， 0，则 1= 45 度 第 14 页（共 25 页） 【分析】 先根据等腰直角三角形的性质求出 度数，再由平行线的性质即可得出结论 【解答】 解： 等腰直角三角形， 0， 5， m n， 1=45； 故答案为： 45 【点评】 此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：两直线平行，同位角相和等腰直角三角形的性质；关键是求出 度数 12如图，在 ， 0， B=40， D 为线段 中点，则 50 【分析】 由 “直角三角形的 两个锐角互余 ”得到 A=50根据 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”得到 D，则等边对等角，即 A=50 【解答】 解：如图， 在 ， 0， B=40， A=50 D 为线段 中点， D， A=50 故答案是： 50 【点评】 本题考查了直角三角形的性质在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 13（ 2016绥化）如图，在四边形 ，对角线 交于点 E， 0， 5， 0， ，则 2 （提示：可过点 A 作 垂线） 【分析】 过 A 作 点 F，由三角形 等腰直角三角形，利用三线合一得到 中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 长，在直角三角形 ，利用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出 长即可 【解答】 解：过 A 作 点 F， B， 0， 第 15 页（共 25 页） 上的中线， D= ， 根据勾股定理得： =2 ， ， 在 ， 0， 设 EF=x，则 有 x， 根据勾股定理得： =4 解得： x=1， 则 故答案为： 2 【点评】 此题考查了勾股定理，含 30 度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键 14如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短的直角边长为 a，较长的直角边长为 b，那么（ a+b） 2 的值为 25 【分析】 根据勾股定理可以求得 a2+于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到 值，然后根据（ a+b） 2=ab+可求解 【解答】 解：根据勾股定理可得 a2+3， 四个直角三角形的面积是： 4=13 1=12，即： 22 则（ a+b） 2=ab+3+12=25 故答案是： 25 【点评】 本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得 a2+ 值是关键 第 16 页（共 25 页） 15如图， 周长为 ，以 边向外作正方形 正方形 这两个正方形的面积之和为 25 面积是 5 【分析】 根据正方形的面积公式，勾股定理求得 a2=c2+5，据此可以求得 a=5又由 周长为 可以求得 b+c=3 ，所以 面积 = （ c+b） 2（ c2+ 【解答】 解：如图， a2=c2+5，则 a=5 又 周长为， a+b+c=5+3 ， b+c=3 （ 面积 = （ c+b） 2（ c2+ 2= （ 3 ） 2 25 2=5（ 故答案是： 5 【点评】 本题考查了勾股定理的应用解答此题时，巧妙地运用了完全平方公式的变形来求 面积 16如图，在 ， 0， ， ，点 D 在 ， C， D 交 点 E，交 点 F，则 长是 【分析】 连接 勾股定理求出 ，由等腰三角形的性质得出 E，由线段垂直平分线的性质得出 F，由 明 出 0，设 F=x，则 x，在 ，由勾股定理得出方程，解方程即可 【解答】 解：连接 图所示： 在 ， 0， ， ， 第 17 页（共 25 页） =5， C=3， E， B ， F， 在 ， ， 0， 0， 设 F=x，则 x， 在 ，由勾股定理得： 即 2=（ 4 x） 2， 解得： x= 故答案为： 【点评】 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键 17如图，在 ， 0， 0， ，以 斜边作 0， 面积为 以 斜边作 0， 面积记为 ，以此类推，则 （用含 n 的式子表示） 【分析】 首先计算得出 面积，进一步利用含 30角的直角三角形的特性以及勾股定理求得 面积，找出规律得出结论 【解答】 解： 0， 0， ， 第 18 页（共 25 页） ， ， S C=2 ， 在 ， 0， ， 0， =（ ） 2=（ ） 2= ， S 理可得， ） 2S ） 3S 根据此规律可得， ） nS ， 故答案为 【点评】 此题考查勾股定理、含 30角直角三角形的性质以及三角形的面积等知识点，规律型题目，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会找规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型 18如图， 两个全等的等腰直角三角形，点 G 在直角边 ， ，将 顶点 D 放在直角边 ，直角边 过点 G，斜边 过点 B，则 2 或 3 第 19 页（共 25 页） 【分析】 作 M，设 CD=x，由等腰直角三角形的性质得出 C=6， A=5， C=90， ， x，证出 等腰直角三角形，得出（ 6 x），因此 （ 6 x），证明 出对应边成比例，得出方程，解方程即可 【解答】 解：作 M，如图所示： 设 CD=x， 两个全等的等腰直角三角形， ， ， C=6， A= 5， C=90， ， x， 等腰直角三角形， （ 6 x）， （ 6 x）， A+ 又 0= C， ， 即 = ， 解得： x=2，或 x=3， 或 3； 故答案为： 2 或 3 【点评】 本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解决问题的关键 三解答题（共 6 小题） 19（ 2016益阳）在 ， 5， 4， 3，求 面积 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程 第 20 页（共 25 页） 【分析】 根据题意利用勾股定理表示出 值，进而得出等式求出答案 【解答】 解：如图，在 ， 5， 4， 3， 设 BD=x，则 4 x， 由勾股定理得： 52 32（ 14 x） 2， 故 152 32（ 14 x） 2， 解之得： x=9 2 S D= 14 12=84 【点评】 此题主要考查了勾股定理，根据题意正确表示出 值是解题关键 20作图题：如图，在 6 6 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在所给网格中 按下列要求画出图形 （ 1）从点 A 出发的一条线段 它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 5； （ 2）以（ 1）中的 边的一个等腰三角形 点 C 在格点上，请画出所有满足条件的点 C 【分析】 （ 1）每个小正方形的边长都为 1，容易得出结果； （ 2）分两种情况： 当 等腰三角形的一腰时，分两种情况： a：以 A 为圆心， 网络有两个格点； b：以 B 为圆心， 为半径画弧，交网络有两个格点； 当 等腰三角形 的底边时，顶角顶点在 垂直平分线上，交点不在格点处，不合题意；即可得出结果 第 21 页（共 25 页） 【解答】 解：（ 1）如图 1 所示： 由勾股定理得： =5， 即 为所求的线段； （ 2）分两种情况： 当 等腰三角形的一腰时，分两种情况： a：以 A 为圆心， 为半径画弧，交网络有 3 个格点； b：以 B 为圆心， 为半径画弧，交网络有 2 个格点； 当 等腰三角形的底边时，顶角顶点 C 在 垂直平分线上，交点不在格点处，不合题意； 综上所述：满足条件的点 C 有 5 个，如图 2 所示 【点评】 本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握勾股定理，并能进行推理作图是解决问题的关键 21问题背景： 在 ， 边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积小辉 同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中 第 22 页（共 25 页） 画出格点 个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求 高，而借用网格就能计算出它的面积 （ 1）请你将 面积直接填写在横线上 ； （ 2）若 边的长分别为 、 、 2 （ m 0， n 0，且m n），运用构图法可求出这三角形的面积为 5 【分析】 （ 1） 是直角边长为 1， 2 的直角三角形的斜边； 是直角边长为 1， 3 的直角三角形的斜边； 是直角边长为 2， 3 的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积； （ 2）结合（ 1）易得此三角形的 三边分别是直角边长为 m， 4n 的直角三角形的斜边；直角边长为 3m， 2n 的直角三角形的斜边；直角边长为 2m， 2n 的直角三角形的斜边同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得 【解答】 解：（ 1） S 3 1 2 2 3 1 3= ； （ 2）构造 图所示， S m 4n m 4n 3m 2n 2m 2n=5 故答案为：（ 1） 3；（ 2） 5 【点评】 此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积 进行解答 2