2019届江苏省苏州市高三上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题(解析版)

2019届江苏省苏州市高三上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题一、填空题1已知集合A1，3，5，B3，4，则集合AB_【答案】【解析】根据集合交集的运算，即可求解。【详解】由题意，因为集合，所以。【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中熟记集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。2复数（i是虚数单位）的虚部是_【答案】-1【解析】由题意，根据复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部。【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为。【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。3某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在6080分的学生人数是_ 【答案】25【解析】由频率分布直方图求出成绩中的频率，由此能求出成绩在分的学生人数，得到答案.【详解】频率分布直方图得成绩的频率为，所以成绩在分的学生人数为.故答案为25.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质等基础知识，合理应用求解是解答的关键，着重考查了运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.4连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为 【答案】【解析】试题分析：先求出基本事件总数，再用列举法求出出现朝上的点数之和等于8的基本事件个数，由此能求出出现朝上的点数之和等于8的概率解：连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n=66=36，出现朝上的点数之和等于8的基本事件有：（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，出现朝上的点数之和等于8的概率为p=故答案为：5已知，则的值是_【答案】【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式，化简已知可求得，再利用诱导公式化简，即可求解。【详解】因为，可得，可得，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式和同角的三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，合理化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力。6如图所示的流程图中，若输入的a，b分别为4，3，则输出的n的值为_【答案】3【解析】由已知中的程序可知，该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出相应变量的值，模拟程序的运用过程，分析循环中各变量的变化情况，即可得到答案。【详解】模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，此时，不满足条件，推出循环，输出的值为3.【点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.7在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3，1)，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】由双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线经过点，由此可求双曲线的离心率.【详解】由题意，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，设双曲线的方程为，由双曲线的一条渐近线过点，即，可得，可得双曲线的离心率为.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)8曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_【答案】【解析】利用导数的几何意义，求得切线方程，求得与坐标轴的交点，即可利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.【详解】由函数，可得导数为，当时，所以曲线在点处的切线方程为，即，令，可得，令，可得，所以曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求切线方程，即切线方程的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理、准确求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_【答案】【解析】设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO平面ABC，角AD于点O，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=，由此能求出挖去的正三棱锥的体积，得到答案.【详解】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC构成的几何体，该正三棱锥P-ABC的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上，设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO平面ABC，交AD于点O，则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=，所以，所以挖去的正三棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.10在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线上的圆的标准方程为_【答案】【解析】根据题意，圆心在线段AB的垂直平分线上，求得线段AB的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心坐标和圆的半径，即可得到圆的标准方程。【详解】根据题意，圆经过点，则圆心在线段AB的垂直平分线上，又由点，则线段AB的垂直平分线方程为，则有，解可得，即圆心为，圆的半径，故圆的方程为。【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中合理利用圆的性质，确定AB的垂直平分线的方程，列出方程组，求得圆的圆心坐标和半径是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。11设是等比数列的前n项和，若，则_【答案】【解析】根据等比数列的求和公式，以及，可得，再根据求和公式，即可计算得到答案.【详解】设是等比数列的前n项和，所以，因为，所以，整理得，即的，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，其中解答中根据等比数列的前n项和公式和题设条件，求得，进而求解的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】由题意，若方程，即有三个相异的实根，即函数和的图象由三个不同的交点，又由直线和必有一个交点，且与的图象有两个交点，联立方程组，即可求解。【详解】由题意，若方程，即有三个相异的实根，即函数和的图象由三个不同的交点，如图所示，又由直线和必有一个交点，所以0，则与的图象有两个交点，联立方程组 ，整理得，由，解得或，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把方程的根的个数，转化为两个函数的图象的交点个数，借助图象和方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.13如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BMDNMN，则的最小值是_【答案】【解析】由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14设函数，若对任意(，0)，总存在2，)，使得 ，则实数a的取值范围_【答案】【解析】由题意，对任意(，0)，总存在2，)，使得 ，转化为当任意(，0)，总存在2，)，使得 恒成立，分类讨论，即可求解。【详解】由题意，对任意(，0)，总存在2，)，使得 ，即当任意(，0)，总存在2，)，使得 ，当时，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为极小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满足题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为极小值点，且为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是。【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，注意运用转化思想，以及分类讨论思想的应用，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，其中解答中把对任意(，0)，总存在2，)，使得 ，转化为任意(，0)，总存在2，)，使得 恒成立是解答的关键。二、解答题15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，E，F分别是A1C1，BC的中点（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求证：C1F/平面ABE【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证明面面垂直，关键是用到面面垂直的判定定理，只要证明面EAB内的直线AB平面B1BCC1就可以了；（2）取AC的中点G，连结C1G、FG，只要证明平面C1GF/平面EAB，就可以得到C1F/平面EAB试题解析：证明：（1）BB1平面ABCAB平面ABCABBB1又ABBC，BB1BC=BAB平面B1BCC1而AB平面ABE平面ABE平面B1BCC1（2）取AC的中点G，连结C1G、FGF为BC的中点FG/AB又E为A1C1的中点C1E/AG，且C1E=AG四边形AEC1G为平行四边形AE/C1G平面C1GF/平面EAB而C1F平面C1GFC1F/平面EAB【考点】面面垂直的判定定理和线面平行的判定定理16在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知2bcosA2ca（1）求B；（2）设函数，求的最大值【答案】（1）（2）.【解析】（1）在中，利用正弦定理，化简整理得,再利用三角恒等变换的公式，得，即可求解；（2）由三角恒等变换的公式，求得，得到，进而利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的最大值。【详解】（1）在中，因为，由正弦定理，所以,又因为中，,即，所以，又因为中，所以，又因为，所以.（2）所以，因为在中，且,所以，所以，所以当，即时，的最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用正弦定理，熟记三角函数的图象与性质，准确运算是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。17如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标【答案】（1）（2）【解析】（1）设椭圆方程为，由椭圆的离心率，求得，再根据点到右准线的距离为6，求得，进而得到椭圆的方程；（2）直线AB的方程为，联立方程组，求得或，得到点B的坐标，得出直线BF方程，联立方程组，即可求解点M坐标。【详解】（1）设椭圆方程为，半焦距为c，因为椭圆的离心率为，所以，即a=2c,又因为A到右准线的距离为6，所以，解得a=2，c=1,所以，所以椭圆E的标准方程为.（2）直线AB的方程为，由得，解得或，则B点的坐标为由题意，右焦点F（1,0），所以直线BF方程为，由得，解得或，所以，点M坐标为.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及把直线与椭圆的方程联立方程组，转化为根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。18如图，长途车站P与地铁站O的距离为千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45，OP与l1的夹角满足tan（其中0)，现要经过P修条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点（1）已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；（2）考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置【答案】（1）（2）要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距点千米处.【解析】（1）以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，得到的方程，进而求得点P的坐标，法一：由题意得,求得B点的纵坐标为3，进而得到点的坐标，即可得到答案。法二：由题意得2mPAmPB，求得，根据向量相等，求得点的坐标，即可求解。（2）法一：由题意，得到造价的表达式，设，得到要使S最小，只要y最小，分类讨论，即可求解。法二：作交OB于M，交y轴于点Q，作交OA于N，求得OQ1，进而得到总造价，设,要使S最小，只要y最小，即可求解。【详解】以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，因为，所以，设P（2t,t）,由OP=，得t=1，所以P（2,1）法一：由题意得,所以BP=2PA,所以B点的纵坐标为3，有因为点B在直线上，所以B（3,3）所以.法二：由题意得2mPAmPB，所以.设A（a，0）（a0），又点B在射线yx（x0）上，所以可设B（b，b）（b0），由，得所以所以.答：A，B之间的距离为千米.（2）法一：设总造价为S则设,要使S最小，只要y最小当轴时，A（2，0），这时OA2,所以.当AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为，令y0，得点A的横坐标为，所以,令xy，得点B的横坐标为，因为且，所以k0或k1,此时, ,当k0时，y在上递减，在（-1,0）上递增，所以，此时;当k1时，综上所述，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距点千米处.法二：如图，作交OB于M，交y轴于点Q作交OA于N，困为P（2，1），所以OQ1 又因为BOQ45，所以,所以,由,得,所以,设总造价为S，则,设,要使S最小，只要y最小.当且仅当时取等号，此时.答：要使OA,OB段道路的翻修总价最少，位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，建立函数关系式，根据函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题。19已知函数(a，bR)（1）当ab1时，求的单调增区间；（2）当a0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围【答案】（1）f（x）的单调增区间是和（2） （3）【解析】（1）当ab1时，求得函数的导数，即可求解函数的单调区间；（2）法一：求得，令，得或，由函数f（x）有两个不同的零点，求得的方程，即可求解；法二：由得，设，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而可得函数的零点。（3）当时，可得，设，利用导数得到函数的单调区间和极值，转化为要使有解，和的解集（m,n）中只有一个整数，分别列出不等式组，即可求解。【详解】（1）当ab1时，令，解得或所以f（x）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或，因为函数f（x）有两个不同的零点，所以或，当时，得a0，不合题意，舍去：当时，代入得即，所以.法二：由于，所以，由得，设，令，得，当时，h(x)递减：当时，,递增当时，单调递增当时, 的值域为R故不论取何值，方程有且仅有一个根；当时，所以时，方程恰有一个根2，此时函数恰有两个零点-2和1（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满足，解得. 又因为，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得. 设,则,当时，,递增：当时，,递减所以,所以,所以由和得，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。20定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列为“回归数列”，且对于任意，均有成立求数列的通项公式；求所有的正整数s，t，使得等式成立【答案】（1）不是“回归数列”，说明见解析（2），使得等式成立的所有的正整数s，的值是s1，t3【解析】（1）假设是“回归数列”，则对任意，总存在，使成立，列出方程即可求解。（2）因为，所以，根据为“回归数列”，得，可得以数列为等差数列，即可求解；由，求得，分类讨论，根据数列的单调性，即可求解。【详解】（1）假设是“回归数列”则对任意，总存在，使成立，即，即，此时等式左边为奇数右边为偶数，不成立，所以假设不成立所以不是“回归数列”；（2）因为，所以，所以且，又因为为“回归数列”，所以，即，所以数列为等差数列.又因为所以.因为，所以因为，所以，又因为，所以，当时，式整理为，不成立，当时，式整理为，设，因为，所以时，时，所以，所以s无解当时，式整理，因为，所以s1综合所述，使得等式成立的所有的正整数s，的值是s1，t3【点睛】本题主要考查了数列问题的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，熟记数列问题的基本知识合理运用，列出相应的方程或不等式，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，试题有一定的综合性，属于难题。21选修42：矩阵与变换:已知矩阵M的逆矩阵M1，求实数m，n【答案】【解析】根据矩阵的变换进行化简，列出方程组，即可求解。【详解】由， 所以解得【点睛】本题主要考查了矩阵与变换的应用，其中解答中根据矩阵和变换，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。22选修44：坐标系与参数方程:在极坐标系中，圆C的方程为，在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数）若直线l与圆C相切，求实数m的值【答案】解：由，得，即圆的方程为，又由消，得，直线与圆相切，【解析】本试题主要是考查了极坐标方程与参数方程，以及直线与圆的位置关系综合运用。利用已知的极坐标和参数方程，化为直角坐标方程，然后利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到判定23选修45：不等式选讲: 设a，b，c都是正数，求证：【答案】见解析【解析】由 ，利用柯西不等式，即可作出证明。【详解】证：因为 所以.【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式的证明问题，其中解答中合理化简，利用柯西不等式证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。24已知知正四棱锥S-ABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为。（1）求概率P（2）；（2）求的分布列和数学期望。【答案】（1）（2）的分布列为2的数学期望为【解析】（1）由题意，可得三点是底面ABCD的四个顶点中的任三个，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。（2）根据题意，