北京大学量子力学课件_第11讲.ppt

,第十一讲.相干态A.湮灭算符的本征态已证得,这类态称为相干态。B.相干态性质：1.在该态中位置和动量满足最小测不准关系,于是有,2.相干态随时间的演化若处于谐振子势的粒子，在时，处于相干态，则时，体系的波函数为,于是有这表明的本征值在为，而在时刻为我们有平均值,我们也有平均值,所以，,其中,它随的演化很接近经典谐振子的运动。,C.本征值为实的相干态正是受迫振动的基态这时，体系的哈密顿量为于是，我们有其中,如令则令,它的基态满足而,所以即这表明这时,所以，是哈密顿量的相干态。,.表示力学量算符的性质（1）一般运算规则：一个力学量如以算符表示。它是一运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从,例：，于是,即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a.A.力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即,例如1.,例如2.对不显含时间的薛定谔方程若，则,量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，,方程就不行。因B.算符之和：表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即,C.算符之积:表示，对任意波函数，有，则D.逆算符：算符将任一波函数若有另一算符使则称为的逆算符，并表为，,显然，E.算符的函数：设：在x=0处，有各级导数则定义算符的函数,例如:它有各级导数，。于是如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。,（2）算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。若,，则,所以算符,引入对易子：和的对易子对易子有如下性质,并有证：成立设：n-1成立，即,例：求,在算符的运算时，要特别小心。例：如和对易，可证明所以,下面是一些有用的对易关系称为Levi-Civita符号。取值，为从123ijk的对换数。如123312的对换数2,例：用上述关系可证：例：,对易关系是与坐标选择无关例：,而另外，对易关系与表象选择无关如,（3）算符的厄密性（Hermiticity）A.算符复共轭：若对波函数（任意）有则称为的复共轭算符，以表示例所以,算符的复共轭就是将算符所有复数量取复共轭。显然，B.算符的转置1.标积定义：若体系有两个波函数，其标积为,显然，对于标积，有性质,则称这两波函数正交。,2转置定义：算符称为算符的转置算符即通常以算符表示算符的转置算符。即或,例：C.算符的厄密共轭定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以表示），,例可证,D.厄密算符:若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符。E.厄密算符的性质1.厄密算符相加，减仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符。,2.任何状态下，厄密算符的平均值必为实数3.在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。令,(),线性（1）实数（2）,两式相减得,由于取任意值，该式都成立，因此该式成立仅当，即由于是任意的，所以是厄密算符。易证：若是厄密算符，则。,4.2厄密算符的本征值和本征函数（1）算符的本征方程如对大量完全相同的体系作完全相同的测量，可以发现，测得A1，A2，A3等各有一定的几率。而对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一“涨落”来定义，即由方均根来定义。要使“涨落”为零，即测量值只取确定值，则,令这一特殊状态为我们称上述方程为算符的本征方程。显然，仅当体系处于本征态所描述的状态时，测量值才是唯一的，即为相应的本征值（这时“涨落”为0）。,就是体系的能量本征方程。量子力学第三个基本假设：在量子力学中，一个直接可观测的力学量，对应于一个线性厄密算符；当对体系进行该力学量的测量时，一切可能测得值，只能是算符的本征方程的本征值。,例1：求轨道角动量在z方向分量的本征值和本征函数。有解由于,得要求是厄密算符（保证本征值为实数）,例2求绕固定轴转子的能量本征值和本征函数。绕固定轴转子的能量本