中考16讲苏科版数学-第15讲-尺规作图

中考16讲苏科版数学第 15讲尺规作图一、填空题（本大题共5小题，共15.0分）1. 如图,ABC三个顶点的坐标分别为A（-1,3）,B（-2,-2）,C（4,-2）,则ABC外接圆半径的长度为_2. 如图,点A的坐标为（-1,5）,点B的坐标为（3,3）,点C的坐标为（5,3）,点D的坐标为（3,1）小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段你认为这个旋转中心的坐标是_3. 如图所示是某商品的商标,由七个形状、大小完全相同的正六边形组成我们称正六边形的顶点为格点若ABC的顶点都在格点上,且AB边的位置如图所示,则使ABC是直角三角形的格点个数有_个4. 在如图所示的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点O,则tanBOD=_5. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上,请完成下列各题： （1）作ADBC（D为格点）,连接CD,则CD=_ （2）请你在ACD的三个内角中任选一个锐角,若你所选的锐角是_,则它所对应的正弦函数值是_； （3）若E为BC中点,则tanCAE=_二、解答题（本大题共25小题，共200.0分）6. 如图，利用尺规，在ABC的边AC上方作CAE=ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CDAB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）7. 如图,已知在ABC中,D为AB的中点 （1）请用尺规作图法作AC边的中点E,并连接DE（保留作图痕迹,不要求写作法）； （2）在（1）的条件下,若DE=4,则BC的长为_8. 如图,在RtABC中,ACB=90 （1）请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹： 作ACB的平分线,交斜边AB于点D； 过点D作AC的垂线,垂足为E； （2）在（1）作出的图形中,若CB=4,CA=6,则DE的长为_9. 如图，ABC中，ACBABC（1）用直尺和圆规在ACB的内部作射线CM，使ACM=ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长10. 已知ABC（如图）,请用直尺（没有刻度）和圆规,作一个平行四边形,使它的三个顶点恰好是ABC的三个顶点（只需作一个,不必写作法,但要保留作图痕迹）11. 如图,已知在ABC中,ABAC试用直尺（不带刻度）和圆规在图中作一条直线l,使点C关于直线l的对称点E落在AB边上（在图上标出点E,并保留作图痕迹）12. 如图,用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法,保留作图痕迹）；13. 若P为AB上一点,把菱形ABCD沿过点P的直线a折叠,使点D落在BC边上,利用无刻度的直尺和园规作出直线a（保留作图痕迹,不必说明作法和理由）14. 如图,扇形AOB的圆心角AOB=2,将此扇形折叠使点O落在上的点P处,且折痕恰好经过点B（保留作图痕迹,不必说明作法和理由）15. 如图,矩形ABCD是由矩形ABCD旋转而成,请作出旋转中心点O（保留作图痕迹,不必说明作法和理由）16. 如图,已知等边ABC,请用直尺（不带刻度）和圆规,按下列要求作图（不要求写作法,但要保留作图痕迹）： （1）作ABC的外心O； （2）设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGH,使点F,H分别在BC和AC边上17. 如图,A,B,C,D为圆上四点,ABCD,AB 请只用无刻度的直尺,画出圆的一条直径EF（不写画法,保留画图痕迹） 18. 如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图（1）在图1中，画出ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出ABC中AB边上的高19. O为ABC的外接圆,请仅用无刻度的直尺,根据下列条件分别在图,图中画出条弦,使这条弦将ABC分成面积相等的两部分（保留画图痕迹,不写作法） （1）如图,AC=BC； （2）如图,直线l与O相切于点P,且lBC20. 如图,已知正七边形ABCDEFG,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图 （1）在图中,画出一个以AB为边的平行四边形； （2）在图中,画出一个以AF为边的菱形21. 如图,已知直线a,b,C,d,e,f,g,h是等距的一组平行线,正方形ABCD四个顶点都在平行线上,P是直线d与CD的交点,请你用无刻度的直尺利用现有平行线在直线d上找出所有满足条件PQ=PC的点Q,并作简要的画图说明22. 如图,将线段AB放在边长为1的小正方形网格中,点A,B均落在格点上请用无刻度直尺在线段AB上画出点P,使AP=2173并保留作图痕迹（备注：本题只是找点,不是证明,所以只需连接一对角线就行）23. 已知BAC,在角的内部有一点P,请作出M,使得M经过点P,且与AB,AC都相切24. 如图,在ABC中,作矩形DEFG,使其满足：点D在AB上,点E在AC上,点F,G在BC上,且DE：EF=2：125. （1）如图,已知D,E分别是ABC的AB,AC边上一点,DEBC,连接CD,BE,交于点F,连接AF并延长,分别交DE,BC于点H,G 求证：DHBG=HEGC； G是BC的中点； （2）如图,只用一把无刻度的直尺作出矩形ABCD的一条对称轴（不写作法,保留作图痕迹）26. 已知在RtABC中,C=90 （1）如图,若AC=4,BC=3,DEAC,且DE=DB,求AD的长； （2）如图,请利用没有刻度的直尺和圆规,在AB边上找一点F,使得点F到AC边的距离等于FB（注：不写作法,保留作图痕迹,对图中涉及的点用字母进行标注）27. 如图,已知线段AB,利用无刻度的直尺和圆规,作一个满足下列条件的ABC： ABC为直角三角形；tan=A=13（注：不要求写作法,但保留作图痕迹）28. （1）如图,在RtABC中,B=90,AB=2BC现以点C为圆心,CB为半径画弧,交AC边于点D,再以点A为圆心,AD为半径画弧,交AB边于点E求证：AEAB=5-12（这个比值5-12叫做AE与AB的“黄金比”） （2）如果一个等腰三角形的底边与其腰的比等于“黄金比”,那么这个等腰三角形叫做“黄金三角形”请你以图中的线段AB为腰,用直尺和圆规作一个“黄金三角形”（注：直尺没有刻度!作图不要求写作法,但要保留作图痕迹,并对作图中涉及的点用字母进行标注）29. 在ABC中,D为BC边上一点 （1）如图,在RtABC中,C=90,将ABC沿着AD折叠,点C落在AB边上请用直尺和圆规作出点D（不写作法,保留作图痕迹）； （2）如图,将ABC沿着过点D的直线折叠,点C落在AB边上的点E处, 若DEAB,垂足为E,请用直尺和圆规作出点D（不写作法,保留作图痕迹）； 若AB=42,BC=6,B=45,则CD的取值范围是_30. 如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径作A,与OA的延长线交于点C,过点A作OA的垂线,垂线与A的一个交点为B,连接BC （1）线段BC=_； （2）请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题： 以点_为圆心,以线段_的长为半径作弧,与射线BA交于点D,使线段OD=6； 连接OD,在OD上作出点P,使OP的长等于263,请写出作法,并说明理由答案和解析1.【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了三角形的外心，能够根据三角形外心的性质来判断出ABC外心的位置是解答此题的关键三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设ABC的外心为M）必在直线x=1上；由图知：AC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到M（1，0）；连接MB，过M作MDBC于D，由勾股定理即可求得M的半径长【解答】解：设ABC的外心为M；B（-2，-2），C（4，-2），M必在直线x=1上，由图知：AC的垂直平分线过（1，0），M（1，0）；过M作MDBC于D，连接MB，RtMBD中，MD=2，BD=3，由勾股定理，得，即ABC的外接圆半径为故答案为2.【答案】（1，1）或（4，4）【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键.分点A的对应点为C或D两种情况考虑：当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心，此题得解.【解答】解：当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3），E点的坐标为（1，1）；当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3），M点的坐标为（4，4）；综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）.故答案为（1，1）或（4，4）.3.【答案】10【解析】菁优网【分析】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，ABC是直角三角形的个数有6+4=10个故答案为：104.【答案】3【解析】【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tanBOD的值，本题得以解决【解答】解：平移CD到CD交AB于O，如下图所示，则BOD=BOD，tanBOD=tanBOD，设每个小正方形的边长为a，则，BD=3a，作BEOD于点E，则，tanBOD=3.故答案为3.5.【答案】解：(1)5(2)CAD，55(3)12【解析】【分析】试题分析：观察此图我们会发现，AD、AC、CD、AB等等许多直线都在直角三角形中，这样用勾股定理就可求出它们的值【解答】解：(1)如图：，线段CD正好和格线组成一个直角三角形，用勾股定理可知：CD=故答案为.(2)CAD，由网格组成的直角三角形我们可知：AD=5，AC=2，由勾股定理知此图正好是一个直角三角形，sinCAD=.故答案为.(3)由图可知tanCAE=故答案为.6.【答案】解：图象如图所示， EAC=ACB，ADCB，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，ABCD【解析】利用尺规作EAC=ACB即可，先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明CDAB即可 本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型7.【答案】解：（1）如图，DE为所作；（2）8.【解析】【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.（1）作AC的垂直平分线即可得到AC的中点E，然后连接DE即可；（2）利用三角形中位线性质求解【解答】解：（1）见答案；（2）D点为AB的中点，E点为AC的中点，ABC中位线定理，BC=2DE=8故答案为8.8.【答案】解：（1）如图所示；（2）125.【解析】【分析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出ECD=EDC，进而证得DE=CE，由DEBC，推出ADEABC，根据相似三角形的性质即可推得结论【解答】解：（1）如图所示；（2）解：DC是ACB的平分线，BCD=ACD，DEAC，BCAC，DEBC，EDC=BCD，ECD=EDC，DE=CE，DEBC，ADEABC，=，设DE=CE=x，则AE=6-x，=，解得：x=，即DE=，故答案为9.【答案】解：（1）如图所示，射线CM即为所求； （2）ACD=ABC，CAD=BAC，ACDABC，ADAC=ACAB，即AD6=69，AD=4【解析】（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在ACB的内部作ACM=ABC即可； （2）根据ACD与ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可 本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例10.【答案】解：如图：.【解析】本题主要考查尺规作图的知识以及平行四边形的判定.根据作已知ABC=BCD，再截取CD=AB即可.11.【答案】解：如图所示. 直线L即为所求图形.【解析】【分析】点C关于直线l的对称点在边AB上,根据对称的性质可知,l即为的平分线所在的直线,因为角平分线上的点到角两边的距离相等;【解答】解：如图所示.直线L即为所求图形.12.【答案】解：【解析】本题考查垂径定理，属基础题.13.【答案】如图所示【解析】【分析】本题主要考查的是尺规作图，轴对称的性质，根据轴对称的性质作出图形即可.【解答】连接DP,以点P为圆心,DP为半径画弧,交BC于点D；分别以D,D为圆心，大于DD为半径画弧，两弧相交一点，连接P与交点的直线就是所要求作的直线a14.【答案】解：如下所示，BC所在直线即为折痕.【解析】【分析】本题是一道关于轴对称变换的作图题，认真读题，明确题目要求是解答问题的关键.分析题意，由于要求点O落在弧AB上，且折痕过B点，因此我们可以先以点B为圆心，BO为半径画弧，交弧AB于点P，即O点的对应点，再连接OP，取OP的中点C，再连接BC，BC所在直线即为O点与P点的对称轴，则BC所在的直线就是所要求的折痕.15.【答案】解：如图，点O即为所求；解：（1）如图，点O即为所求；【解析】本题主要考查旋转变换的作图，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质：对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上）.连接AA、BB，再分别作AA、BB垂直平分线，两垂直平分线交点即为点O16.【答案】解：（1）如图所示：点O即为所求（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形【解析】本题考查了作图-复杂作图解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；（2）取BF=CH=AD构成等边三角形，作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边形17.【答案】解：如图：【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确利用垂径定理推论得出是解题关键.连接梯形对角线，并延长CA，DB，进而得出两交点，连线即为所求.18.【答案】解：（1）如图1，AD、BE、CF为所作；（2）如图2，CF为所作【解析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理（1）连结AD、BE，它们相交于点P，如图1，根据圆周角定理可判断AD、BE为ABC的高，然后根据三角形的三条高相交于一点可判断CF为高；（2）分别延长BC和AC分别交半圆于D、E，再延长AD和BE相交于点P，然后延长PC交AB于F，则CFAB.19.【答案】解：（1）如图1，直径CD为所求；（2）如图2，弦AD为所求【解析】本题主要考查复杂作图、垂径定理及其推论以及切线的性质.解决此类问题关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂图形拆解成基本图形，逐步操作.（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，由垂径定理的推论得CD垂直平分弦AB，所以CD将ABC分成面积相等的两部分，如图1直径CD即为所求.（2）连结PO并延长交BC于点E，过点A、E作弦AD，由于直线l与O相切于点P，根据切线性质得OPl，而lBC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将ABC分成面积相等的两部分，如图2，AD即为所求.20.【答案】解：（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N四边形ABNM是平行四边形；（2）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N，连接DF交BE于H，四边形MNHF是菱形【解析】本题考查复杂作图、平行四边形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N四边形ABNM是平行四边形；（2）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N，连接DF交BE于H，四边形MNHF是菱形.21.【答案】解：1.画直线AC交直线d于Q1;2.画直线Q1E交直线c于F,画直线PF交直线e于G;画直线CG交直线d于Q2.Q1,Q2即为所求.【解析】本题考查正方形的性质和等腰三角形的判定和平行线分线段乘比例即可解答.22.【答案】解：如图所示：【解析】本题主要考查作图应用与设计作图，利用勾股定理列式求出，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP=2：1即可23.【答案】解：如图，作BAC的平分线,在角平分线上任取一点D，以D为圆心作圆使其与角的两边相切，连接AP交圆D于点E,连接DE，作PFDE交角平分线于点F，以点F为圆心,FP为半径画圆，则圆F即为所求；类似地还可以作出圆M（如图）【解析】本题主要考查角平分线的性质，圆的切线的性质，根据性质作图即可.24.【答案】解：画法：在ABC内画矩形DEFG，使点D在AB上，点G在AC上，且DE：DG=1：2；连接AE并延长，交BC于点E，连接AF并延长交BC于点F，过点E作EDED交AB于点D，过点F作FGFG，交AC于点G；连接DG，则矩形DEFG是ABC的内接四边形【解析】本题考查了位似图形的作法，解题的关键是找到作符合条件的位似图形的思路.25.【答案】（1）证明：DEBC，ADHABG，DHBG=AHAG，同理HEGC=AHAG，DHBG=HEGC；DEBC，FDHFCG，DHCG=FHFG，同理EHGB=FHFG，DHCG=HEGB，DHHE=CGBG，由（1）得DHHE=BGGC，CGBG=BGGC，BG=CG，即点G是BC的中点；（2）如图所示，直线MO1即为所求【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确根据相似三角形的对应边的比相等，通过等量代换得到=是做题的关键（1）由DEBC，得到ADHABG和AHEAGC，即可得到结论；易证DENAEM，ONDOMB，则依据相似三角形的对应边的比相等，可以证得=，得到BG=CG，即点G是BC的中点；（2）连接AC，BD，两线交于点O1在矩形ABCD外任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H连接BG，AH，两线交于点O2作直线EO2，交AB于点M作直线MO1直线MO1就是矩形ABCD的一条对称轴26.【答案】（1）解：在RTABC中，AC=4，BC=3AB=5DEAC，C=90DEBC，ADEADCDEBC=ADAB5-AD3=AD5解得AD=258（2）解：如图2所示，做B的角平分线BG，交AC于G，作BG的垂直平分线MN，交AB于F，则点F为所求【解析】第一问该题目考点在于三角形的相似，对应边成比例，先证明三角形ADE和三角形ABC相似，然后列比例关系，进行边的替换，求得AD的值.第二问需要进行尺规作图利用垂直平分线的性质进行绘图.27.【答案】解：作图如下：【解析】本题考查尺规作图，解答的关键是熟练掌握尺规作图的方法.作射线AM，使得AM=3AB，过点M作MNAB，在射线AM上方截取MN=AB，连接AN，过点B作AB的垂线，交AN于点C，则RtABC为所求.28.【答案】（1）证明：RtABC中，B=90，AB=2BC，设AB=2x，BC=x，则AC=5x，AD=AE=（5-1）x，AEAB=(5-1)x2x=5-12；（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：过点B作EBAB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，以B为圆心AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，则ABC即为所求【解析】此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的