余弦定理及其证明

余弦定理及其证明 余弦定理的证明方法大全(共十法) 一、余弦定理 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在?ABC中,已知AB?c,BC?a,CA?b,则有 a2?b2?c2?2bosA, b2?c2?a2?2cacosB, c2?a2?b2?2abcosC. 二、定理证明 为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在?ABC中,已知AB?c,AC?b,及角A,求证:a2?b2?c2?2bosA. 证法一:如图1,在?ABC中,由CB?AB?AC可得: CB?CB?(AB?AC)?(AB?AC) ?AB?AC?2AB?AC ?b2?c2?2bosA 图1 2 2 即,a2?b2?c2?2bosA. 证法二:本方法要注意对?A进行讨论. (1)当?A是直角时,由b2?c2?2bosA?b2?c2?2bos90?b2?c2?a2知结论成立. (2)当?A是锐角时,如图2-1,过点C作CD?AB,交AB于点D,则 在Rt?ACD中,AD?bcosA,CD?bsinA. 从而,BD?AB?AD?c?bcosA. 在Rt?BCD中,由勾股定理可得:BC2?BD2?CD2 ?(c?bcosA)2?(bsinA)2 ?c2?2cbcosA?b2 A 图2-1 即,a2?b2?c2?2bosA. 说明:图2-1中只对?B是锐角时符合,而?B还可以是直角或钝角.若?B是直角,图中的 点D就与点B重合；若?B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上. (3)当?A是钝角时,如图2-2,过点C作CD?AB,交BA延长线于点D,则 在Rt?ACD中,AD?bcos(?A)?bcosA,CD?bsin(?A)?bsinA. 从而,BD?AB?AD?c?bcosA. 在Rt?BCD中,由勾股定理可得: BC?BD?CD ?(c?bcosA)2?(bsinA)2 ?c2?2cbcosA?b2 图2-2 222 即,a?b?c?2bosA. 综上(1),(2),(3)可知,均有a2?b2?c2?2bosA成立. 证法三:过点A作AD?BC,交BC于点D,则 BDAD 在Rt?ABD中,sin?,cos?. CDAD 在Rt?ACD中,sin?,cos?. bb 222 图3 由cosA?cos(?)?cos?cos?sin?sin?可得: ADADBDCDAD?BD?CD cosA? cbcbbc 2AD2?2BD?CDc2?BD2?b2?CD2?2BD?CD? 2bc2bcb2?c2?(BD?CD)2b2?c2?a2 ? 2bc2bc 2 可得a2?b2?c2?2bosA. 证法四:在?ABC中,由正弦定理可得 ab ?. sinAsinBsinCsin(A?B) 从而有bsinA?asinB, csinA?asin(A?B)?asinAcosB?acosAsinB. 将带入,可得acosB?c?bcosA. 将,平方相加可得a2?(c?bcosA)2?(bsinA)2?b2?c2?2bosA. 即,a2?b2?c2?2bosA. 证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2?(c?bcosA)2?(bsinA)2?c2?2cbcosA?b2. 即,a2?b2?c2?2bosA. 证法六:在?ABC中,由正弦定理可得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC. 于是,a2?4R2sin2A?4R2sin2(B?C) ?4R2(sin2Bcos2C?cos2Bsin2C?2sinBsinCcosBcosC) ?4R2(sin2B?sin2C?2sin2Bsin2C?2sinBsinCcosBcosC) ?4R2(sin2B?sin2C?2sinBsinCcos(B?C) ?4R2(sin2B?sin2C?2sinBsinCcosA) ?(2RsinB)2?(2RsinC)2?2(2RsinB)(2RsinB)cosA ?b2?c2?2bosA 即,结论成立. 证法七:在?ABC中,由正弦定理可得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC. 于是,a2?b2?c2?2bosA ?4R2sin2A?4R2sin2B?4R2sin2C?8R2sinBsinCcosA ?2sin2A?2sin2B?2sin2C?4sinBsinCcosA?2sin2A?2?cos2B?cos2C?4sinBsinCcosA ?2?2cos2A?2?2cos(B?C)cos(B?C)?4sinBsinCcosA 由于cos(B?C)?cos(?A)?cosA,因此 ?cos2A?cos(B?C)cos(B?C)?2sinBsinCcosA ?cosA?cos(B?C)?2sinBsinC ?cosA?cosBcosC?sinBsinC?cos(B?C). 这,显然成立. 即,结论成立. 证法八:如图5,以点C为圆心,以CA?b为半径作C,直线BC与C交于点D,E,延长 AB交C于F,延长AC交C于G. G A 则由作图过程知AF?2bcosA, 故BF?2bcosA?c. 由相交弦定理可得:BA?BF?BD?BE, 即,c?(2bcosA?c)?(b?a)?(b?a), 可得:a?b?c?2bosA. 2 2 2 图5 证法九:如图6,过C作CDAB,交?ABC的外接圆于D,则AD?BC?a,BD?AC?b.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AE?BF?bcosA,故CD?c?2bcosA. 由托勒密定理可得AD?BC?AB?CD?AC?BD, 即,a?a?c?(c?2bcosA)?b?b. 可得:a?b?c?2bosA. 证法十:由图7-1和图7-2可得a2?(c?bcosA)2?(bsinA)2, 可得:a2?b2?c2?2bosA. 222 图6 c-bcosA 余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询. 图7-1 图7-2 ABC中的三个内角A，B，C的对边，分别用a,b,c表示. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即 c2=a2+b2-2abcosC, b2=a2+c2-2aosB,a2=b2+c2-2bosA 证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之. (1)在Rt?ABC中，如图1-1 根据勾股定理: c=a+b 因为cosC=0,所以c=a+b-2abcosC 2 2 2 2 2 2 A a222 ,所以b=a+c-2aosB cb222 因为cosA=,所以a=b+c-2bosA c 因为cosB= （2）在锐角ABC中，如图1-2 作CD?AB于点D，有 b c C a B C CD=asinB,BD=acosB，AD=AB-BD=c-acosB b b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2aosB 同理可证： A c B D c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bosA （3）在钝角ABC中，如图1-3 作CD?AB，交AB的延长线于点D，则 CD=asin?CBD=asinB,BD=acos?CBD=-acosB， AD=AB+BD=c-acosB b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2aosB 按照（2）的方法可以证明： b a c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bosA 综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立. A B D ? 证明：在ABC中，令AB=c，AC=b，BC=a ? a?BC?BA?AC?b?c ?2?2?2?2?2? |a|?(b?c)?b?2b?c?c?|b|?2|b|?|c|?cosA?|c|2 即a=b+c-2bosA 同理可证：c=a+b-2abcosC, b=a+c-2aosB 证明：对于任意一个?ABC，建立直角坐标系如图所示， 那么A(bcosC,bsinC)，B(a,0) 因为余弦定理中涉及到c，我们自然想到计算AB的长度。 根据两点间的距离公式，我们有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A c B a b C c2?|AB|2?(bcosC?a)2?(bsinC)2?a2?b2?2abcosC， 即c?a?b?2abcosC 2 2 2 余弦定理公式的含义及其证明 少三(2) 宋伊辰 在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度”的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？ 我向爸爸提出了我的疑问。 “可以用余弦定理求啊。”他回答道。 “余弦定理是什么？”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻。 余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。 如左图所示，在ABC中，余弦定理可表示为： 同理，也可描述为： 那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。 法一（代数证明）： 如右图所示，ABC，在c上做高，将c边写作： 将等式两边同乘以c得到： 同理， +得： 法二（运用相交弦定理证明）： 如图，在三角形ABC中，A=，AB=a，BC=b，AC=c以B 为圆心，以长边AB为半径做圆（这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆 内）。 延长BC，交B于点D和E DC=a-b，CE=a+b，AC=c AG=2acos CG=2acos-c。 DCCE=ACCG (a-b)(a+b)=c(2acos-c) 化简得：b2?a2?c2?2ac(cos) ， 法三（平面几何）： 在ABC中，已知AC=b，BC=a，C=，求c。过点A作ADBC于D， AD=ACsin=bsin，CD=ACcos=bcos BD=BC-CD=a- bcos 在RtABD中，ADB=90 AB2?AD2?BD2?（bsin)2+（a- bcos)2 a?b?2abcos 法四(解析几何)： 以点C为原点O，AC为x轴，建立如右图所示的平 面直角坐标系。 在ABC中，AC=b， CB=a，AB=c，则A，B，C点的 坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0) |AB|2?(acosC?b)2?(asinC?0)2 222 ?acos2C?2abcosC?b?asin2C 22B D C ?a?b?2abcosC 即c?a?b?2abcosC 经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这个公式在实际的题目当中有什么应用呢？ 网上的资料给了我答案。 余弦定理可应用于以下两种需求： 1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。 2、当已知三角形的三边，可以由