公开课《二项式定理(一)》教学设计

公开课二项式定理(一)教学设计 二项式定理教案 xx-5-24 一:教学目标 1.掌握二项式定理及其归纳过程 2.培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力 3.养成严谨的思维习惯，培养对数学的兴趣 二 教学知识点 1.二项式定理： （a+b）n=C an+C an1b1+C abr+C bn（nN*） 2.通项公式： Tr+1=C an_ rbr（r=0,1,n） （二）能力训练要求 1.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式. 2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项. （三）德育渗透目标 1.提高学生的归纳推理能力. 2.树立由特殊到一般的归纳意识. 三:教学重点与难点： 重点： 分析的二次展开式，并归纳得到二项式定理 难点： 在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律 二项式定理（a+b）n=C an+C an1b+C abr+C bn有以下特征： （1）展开式共有n+1项. （2）字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n. （3）各项的系数C ,C ,C Cnn称为二项式系数. 2.展开式的通项公式Tr+1=C an_rbr,其中r=0,1,2,n表示展开式中第r+1项. 3.当a=1,b=x时，（1+x）n=1+C x+C x2+C xr+xn. 注意点: 1.展开式中某一项的二项式系数与该项的系数区别. 2.通项公式的灵活应用. 教学方法 启发引导法 教学过程 .课题导入 师在初中，我们学过两个重要公式，即 （a+b）2=a2+2ab+b2; （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3. 那么，将（a+b）4,以至于（a+b）5,（a+b）6展开后，它的各项是什么呢？ .讲授新课 师不妨，我们来研究一下这两式的特点，看它们的展开式是否有什么规律可循？ 不难发现，（a+b）2=a2+2ab+b2=C a2+C ab+C b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=C a3+C a2b+C ab2+b3. 即，等号右边的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项的次数相同. 这样看来，（a+b）4的展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4. 这些项在展开式中出现的次数，也就是展开式中各项的系数是什么呢？ 生（讨论） （a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b） 在上面4个括号中： 每个都不取b的情况有1种，即C 种，所以a4的系数是C ； 恰有1个取b的情况有C 种，所以a3b的系数是C ； 恰有2个取b的情况有C 种，所以a2b2的系数是C ; 恰有3个取b的情况有C 种，所以ab3的系数是C ； 4个都取b的情况有C 种，所以b4的系数是C . 也就是说，（a+b）4=C a4+C a3b+C a2b2+C ab3+C b4. 依此类推，对于任意正整数n，上面的关系也是成立的. 即：（a+b）n=Can+Can1b1+Canrbr+Cbn（nN*） 此公式所表示的定理.我们称为二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，它一共有n+1项，其中各项的系数C （r=0,1,2,n）叫做二项式系数.式中的C anrbr叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项： Tr+1=C anrbr. 另外，在二项式定理中，如果设a=1,b=x,则得到： （1+x）n=1+Cx+Cx2+Cxr+xn. 师下面我们结合几例来熟练此定理. 例1展开（1+）4. x 分析：只需设a=1,b=，用二项式定理即可展开. ）+C（）2+C（）3+C（）4 解：（1+）4=1+C （ . 例2 例3求（x+a）12的展开式中的倒数第4项. 分析：应先确定其项数，然后再利用通项公式求得. 解：（x+a）12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项，由通项公式得 . 例4（1）求（1+2x）7的展开式的第4项的系数； （2）求（xx）9的展开式中x3的系数. x）7的展开式的第4项是T3+1=C173（2x）3 解：（1）（1+2 3333=C 2x=358x=280x. 所以展开式第4项的系数是280. 注：（1+2x）7的展开式的第4项的二项式系数是C =35. （2）（x）9的展开式的通项是. 由题意得： 92r=3,即:r=3 x3的系数是（1）3C =84. 评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数的概念区别. .课堂练习 生 （自练）课本P121(B版) P117(A版) 练习16. 1.（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是（） A.4032 B.-4032C.126 D.-126 2. (1-2x)15的展开式中的各项系数和是 （） A.1 B.-1C.215 D.315 思考:试想一想所有二项式系数之和为多少? _ .课时小结 通过本节学习，要掌握二项式定理及其通项公式. .课后作业 （一）1.课本P117 5、6. (A版) ,P121(B版)5、6 （二）1.预习：课本P121P124. 二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明 内容解析：本节是高中数学人教A版选修23第一章第3节的内容二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备 由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值教学中应当引起充分重视 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理 （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用 （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法 （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径 （3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会 基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理 三、教学问题诊断分析 1教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上 2教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题这不仅是本节课的重点，也是教学难点解决方案：通过比较多项式(a1?b1)(a2?b2)(a3?b3)展开式中项与项的异同点，得出(a?b)n的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容 3教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明解决方案：通过对(a?b)3的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行刻画 基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律 四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台因此，在教学过程中使用TI-图形计算器既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点 在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试 五、教学过程与设计 课题：1.3.1二项式定理 （人教A版高中课标教材数学选修2-3） 二项式定理教学设计 一、教学内容解析 二项式定理是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程新课标要求：用计数原理分析(a?b)2，(a?b)3，(a?b)4的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感 三、学情分析 有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节(a?b)n展开式中各项系数的研究会有很大帮助 不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程 五、教学过程 引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题提出问题：(a?b)2?？ (a?b)3?？ (a?b)4?？那么(a?b)9?(a?b)n的展开式是什么？ 【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境数学的，一是数学外部现实社会的发展需要；二是数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫 （二）体验感知 探究归纳 1归纳特点规律 【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析 2项的结构特点 （学生叙述展开过程中各项是如何形成的如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？） 师：根据多项式乘法法则，(a?b)的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项 n 【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫 本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法 （三）知识建构 形成定理 0n1n?1kn?k knn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab ?Cnb(n?N*) 二项式定理 证明：(a?b)n是n个(a?b)相乘，每个(a?b)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ann?kbk(k?0,1,?n)的形式，对于每一项an?kbk，它是由k个(a?b)选了b，nk个(a?b)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(a?b) k中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理 二项式定理的公式特征： 展开式中每一项的次数都是n； 展开式共n?1项； 按照字母a降幂排列，次数由n递减到0，字母b升幂排列，次数由0递增到n； kn?kkkn?kkCnab是展开式的第k?1项； Cnab叫二项展开式的通项，用Tk?1表示 k各项的系数Cn(k?0,1,?n)叫二项式系数 【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数 （四）巩固新知 提升能力 【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平 （五）回顾反思 归纳总结 知识方面：二项式定理，通项，二项式系数； 思想方法：从特殊到一般；观察归纳类比猜想证明 【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法 （六）课下作业 思维延伸 一、P36: 13 二、1. 求12的展开式的中间一项； 31101)展开式中含5的项的系数 2xx 222.求(1?思维延伸： 探究(a?b?c)5的展开式中abc的系数 【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力 六、板书设计 教学设计说明 高中数学的学科价值在于以下三个方面：传递初等数学知识；进行逻辑推理训练；培养学科精神数学学习的关键在于理解，重视知识的形成过程，而不是死板的公式应用新课标指出：学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式因此，课堂教学中应该是“用教材”，而不是“教教材”，教师要敢于放手，营造宽松的教学氛围，关注学生的主体参与、师生互动、生生互动，着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力，提升学生提出问题、研究问题的能力，竭尽全力培养学生探索创新的意识在这过程中，要努力把表现的机会让给学生，让学生在直接体验中构建自己的知识体系 本节课堂教学中，遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，分为：创设情境、探究归纳、知识建构、巩固新知、归纳总结五个阶段努力使学生有足够的思维活动体验，教师根据学生的思维特征和认知规律，在学生数学学习经验的基础上去设置问题例如本节中，由特殊到一般的数学思维方法，需要对特殊情形进行观察归纳要想提高归纳的准确性，就需要较多的实例进行观察特别是“组合知识的运用”，当n较小时，学生意识不到用组合的知识解释项的系数只有当n较大时，各项系数的确定才能凸显出组合知识的优势因此，在题目设置时，准备了(a?b)2，(a?b)3，(a?b)4三个展开式让学生观察归纳，否则关于“组合知识的运用”就成了教师的告知 问题解决是数学教育的核心，课堂教学中，在学生原有认知的基础上，设置“好”的问题串是非常重要的，因为教师对问题设置如何，直接决定了学生的思维方向和思维深度，教学中以问题为主线，由问题驱动，激发学生探究结论的欲望，使学生的思维始终处于“提出问题、解决问题”的状态中本节课在“多项式乘法法则”“组合知识的运用”两个方面，学生无法自主完成思维方法的提升，教师通过设置恰当的问题引导学生分析思维过程，为学生在理论层面总结提升在探究的环节，教师的作用是“激 活”而不是“告知”，要把隐藏在学生思想深处的思维方法引导出来 教师作为学生数学探究活动的设计者、活动实施的调控者，直接影响和决定了学生的学习热情及课堂效果本节课中，课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性重视学生的参与过程，问题引导，师生互动重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力学生能学到很多数学经验：在二项展开式探究过程中，运用组合理解算理、利用数列知识理解通项、运用赋值法得到相关结论等，渗透数学学习的策略与方法，在组织学生数学探究中，积极动手、动脑，实现思维建构、不断积累数学经验，从而形成自主探究的学习习惯，达到理想的教育教学效果 点评 二项式定理作为一节命题课，更应该重视学生数学素养的培养，良好思维品质的生成何磊老师深读课标和教材，清晰制定了具体可测的教学目标，深刻挖掘了二项式定理的数学本质；结合学生的认知基础和心理特点