2020届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷（八）理

2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（八）本试题卷共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设为虚数单位，则下列命题成立的是（ ）A，复数是纯虚数B在复平面内对应的点位于第三象限C若复数，则存在复数，使得D，方程无解2在下列函数中，最小值为的是（ ）ABCD3从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报专业的人数为（ ）A BCD4已知曲线在点处切线的斜率为8，则（ ）A7B4C7D45已知，且，则向量在方向上的投影为（ ）ABCD6某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）ABCD7已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）AB1CD28九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题现执行该程序框图，输入的的值为33，则输出的的值为（ ）A4B5C6D79在中，若，则周长的取值范围是（ ）ABCD10一个三棱锥内接于球，且，则球心到平面的距离是（ ）ABCD11设等差数列满足：，公差，则数列的前项和的最大值为（ ）ABCD12已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（ ）ABCD第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13已知集合，且，则实数的值是_14已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于_15已知实数，满足，则的取值范围为_16已知在等腰梯形中，双曲线以，为焦点，且与线段，（包含端点，）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求18 2020年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区，消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数（）1020304050607080愿意整体搬迁人数（）817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望参考公式及数据：，19如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，（1）求证：平面平面；（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值20已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，两点（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切21已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点x0，且请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值23选修4-5：不等式选讲已知函数（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（八）答案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C2D3D4B5D6C7A8C9C10D11C12A第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。131431516三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17【答案】（1），；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，3分，6分（2）由（1）知，7分，9分12分18【答案】（1）线性回归方程为，当时，（2）【解析】（1）由已知有，3分，4分故变量关于变量的线性回归方程为，5分所以当时，6分（2）由题意可知的可能取值有1，2，3，47分，11分所以的分布列为123412分19【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在直三棱柱中，又，平面，平面，又平面，平面平面5分（2）由（1）可知，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系设，6分直线的方向向量，平面的法向量，可知，8分，设平面的法向量，10分设平面的法向量，11分记二面角的平面角为，二面角的平面角的正弦值为12分20【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设椭圆的焦距为2c（c0），依题意，解得，故椭圆C的标准方程为；5分（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，M，N两点关于x轴对称，点P（4，0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；7分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由得：，所以，9分，所以，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；综上所述，若圆与直线PM相切，则圆与直线PN也相切12分21【答案】（1）1；（2）见解析【解析】（1）解：因为，则等价于，求导可知1分则当时，即在上单调递减，所以当时，矛盾，故a03分因为当时，当时，所以，又因为，所以，解得a=1；5分（2）证明：由（1）可知，令，可得，记，则，令，解得：，所以在区间上单调递减，在上单调递增，所以，从而有解，即存在两根x0，x2，且不妨设在上为正、在上为负、在上为正，所以必存在唯一极大值点x0，且，8分所以，由可知；由可知，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；综上所述，存在唯一的极大值点x0，且12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22【答案】（1），（2）或【解析】（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：由曲线的极坐标方程得，曲线的直角坐标方程为5分（2）设曲线上任意一点