【赢在高考】2020届高考物理一轮配套练习 11.9 离散型随机变量的均值、方差、正态分布 理 苏教版

第九节 离散型随机变量的均值、方差、正态分布 1.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球的个数的数学期望是( ) A.B. C.D. 答案:A 解析:记”同时取出的两个球中含红球个数”为X, 则P .故选A. 2.设一随机试验的结果只有A和且P(A)=m,令随机变量X= 则X的方差D(X)等于 ( ) A.mB.2m(1-m) C.m(m-1)D.m(1-m) 答案:D 解析:显然X服从两点分布,D(X)=m(1-m),故选D. 3.已知随机变量X服从正态分布则P(X2)等于( ) A.B. C. D. 答案:D 解析:由题意知X的均值为2,因此P. 4.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数. (1)求方差D(X)的最大值; (2)求的最大值. 解:随机变量X的所有可能取值为0,1,并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, D(X). (1)D 0p1, 当时,D(X)取得最大值,且最大值为. 当时,原式取得最大值,且最大值为. 见课后作业B 题组一 离散型随机变量的均值的求法 1.已知随机变量X的分布列为,则E(6X+8)等于 ( ) A.13.2B.21.2C.20.2D.22.2 答案:B 解析:.4=0.2+0.8+1.2=2.2, E(6X+8)=6E.2+8=13.2+8=21.2.故选B. 2.已知一盒子中有散落的围棋棋子10粒,其中7粒黑子,3粒白子,从中任意取1粒,取后放回,共取2次.若X表示取得白子的个数,则E(X)= . 答案: 解析:X . 3.已知随机变量X满足E(X)=2,则E(2X+3)= . 答案:7 解析:根据解得E(2X+3)=7. 题组二 离散型随机变量的方差的求法 4.设导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事故的次数为X,则下列结论正确的是( ) A.E(X)=0.001 B.D(X)=0.099 C.P(X=k)=0. D.P(X=k)=C. 答案:B 解析:依题意,可知XB(10,0.01),从而有D(X)=np.99=0.099. 5.一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为X,则D(X)等于( ) A.0.2B.0.8 C.0.196 D.0.804 答案:C 解析:依题意,可知XB(10,0.02),从而有D(X)=np.98=0.196.故选C. 6.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b= . 答案: 解析:由题知解得. 7.若p为非负实数,随机变量X的概率分布列如下表,则E(X)的最大值为,D(X)的最大值为. 答案: 1 解析:E;D. 题组三 正态分布问题 8.设两个正态分布和)的密度函数图象如图所示,则有( ) A.B. C.D. 答案:A 解析:由正态分布性质知为正态密度函数图象的对称轴,故.又越小,图象越高瘦,故. 9.在正态分布中,数值落在)内的概率是( ) A.0.46B.0.997 4 C.0.03D.0.002 6 答案:D 解析:由题意知 P(-2X2.997 4. P(X2).997 4=0.002 6. 10.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且.682 6,则P(X4)等于( ) A.0.158 8B.0.158 7 C.0.158 6D.0.158 5 答案:B 解析:.341 3,P(X4)=0.5-0.341 3=0.158 7. 题组四 期望和方差的简单应用 11.某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T (单位:年)有关.若则销售利润为0元;若则销售利润为100元;若T3,则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间及T3这三种情况发生的概率分别为又知是方程的两个根,且. (1)求的值; (2)记X表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求X的期望. 解:(1)由已知得 . 、是方程的两个根, . . (2)X的可能取值为0,100,200,300,400. P P P P P. 因此X的分布列为 故. 12.已知某同学上学途中必须经过三个交通岗,且在每一个交通岗遇到红灯的概率均为假设他在3个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,用随机变量X表示该同学遇到红灯的次数. (1)求该同学在第一个交通岗遇到红灯,其他交通岗未遇到红灯的概率; (2)若则该同学就迟到,求该同学不迟到的概率; (3)求随机变量X的数学期望和方差. 解:(1)用事件3)表示该同学在第2个交通岗遇到红灯,事件B表示”在第一个交通岗遇到红灯,其他交通岗未遇到红灯”,则B= ,且事件3)两两相互独立. 所以P . (2)因为该同学经过三个交通岗时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3次独立重复试