福建省宁德市2020届高三数学第二次（5月）质量检查考试试题 文（含解析）

福建省宁德市2020届高三数学第二次（5月）质量检查考试试题 文（含解析）一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合A，B，利用并集概念及运算得到结果.【详解】解：集合，Bx|x22x0x|0x2，则x|0x2，故选：A【点睛】本题考查集合的并集的求法，考查二次不等式的解法、指数不等式的解法，属于基础题.2.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及两角差余弦公式即可得到结果.【详解】，故选：B【点睛】本题考查两角和与差余弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于基础题.3.若已知向量，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的充要条件得到，进而利用数量积的坐标运算得到结果.【详解】向量，且，即，故选：D【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.4.在一组数据为，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据相关系数的概念即可作出判断.【详解】这组样本数据的相关系数为，这一组数据，线性相关，且是负相关， 可排除D，B，C，故选：A【点睛】本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷（gu）影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即已知天顶距时，晷影长现测得午中晷影长度，则天顶距为（ ）（参考数据：，）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，先求出h的大小，进而可得结果.【详解】，且顶距时，晷影长，当晷影长度，故选：B【点睛】本题以九服晷影算法为背景，考查了公式的简单应用，属于基础题.6.已知平面区域：，：，则点是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】画出两个平面区域，然后判断充要条件即可【详解】平面区域，表示圆以及内部部分；的可行域如图三角形区域：则点P（x，y）1是P（x，y）2的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充要条件的应用，是基本知识的考查7.直三棱柱的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积【详解】解：由直三棱柱的底面边长为，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r，又由直三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距d，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2r2+d2，外接球的表面积S4R2故选：C【点睛】本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键8.若函数，则（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值为C. 函数的一个对称中心为D. 函数在上是增函数【答案】D【解析】【分析】由条件利用正弦函数的周期性、最大值、图象的对称性、单调性得出结论【详解】函数它的最小正周期为，故排除A；函数的最大值为，故排除B；令x，求得f（x），故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除C；，此时在上单调递增，函数在上是增函数故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的化简、正弦函数的周期性、图象的对称性、最值、单调性，属于基础题9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥中最长的棱长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出直观图，根据三视图的数据和勾股定理计算各棱长即可【详解】解：作出四棱锥ABCDE的直观图如图所示：由三视图可知底面BCDE是直角梯形， DEBC，BCBE，DE面ABE，AEBE，且AEBEDE4，BC2，ADAB4，AC6，CD，AC为四棱锥的最长棱故选：B【点睛】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题10.若过抛物线：焦点的直线与相交于，两点，且，过线段的中点作轴的垂线交抛物线的准线于点，则 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设的方程为： ，联立方程利用韦达定理表示弦长，求出m的值，进而得到的值，从而得到面积.【详解】抛物线：焦点为，设的方程为： ，代入抛物线方程可得：，设A（，）、B（，），则+， ，不妨取，则， 的面积为 故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到弦长、中点、面积等问题，属于中档题.11.函数的导函数满足在上恒成立，且，则下列判断一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数F（x），求出F（x）0，可得函数F（x）是定义在R上的增函数，故有F（1）F（0），推出f（1）ef（0）【详解】解：令函数F（x），则F（x），f（x）f（x），F（x）0，故函数F（x）是定义在R上的增函数，F（1）F（0），即 ，故有f（1）ef（0）；又，故选：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，考查转化能力与计算能力，属于中档题12.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的图像与性质即可得到结果.【详解】,而结合选项，故选：B【点睛】本题考查指数函数与对数函数图像与性质，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题把答案填在答题卡的相应位置13.复数的实部为_【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出【详解】解：复数，则复数z的实部为故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题14.已知直线是双曲线：的一条渐近线，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】由直线y2x为双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线，推导出2ab，由此能求出双曲线的离心率【详解】解：直线y2x为双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线，2ab，ca，e故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质，是基础题15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则，两点的距离为_【答案】【解析】【分析】ACD中求出AC，ABD中求出BC，ABC中利用余弦定理可得结果.【详解】解：由已知，ACD中，ACD15，ADC150，DAC=15由正弦定理得，BCD中，BDC15，BCD135，DBC=30，由正弦定理，所以BC；ABC中，由余弦定理，AB2AC2+BC22ACBCcosACB解得：AB，则两目标A，B间的距离为故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题16.若函数有最小值，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意可得在上的最小值为，当时，故即可得到结果.【详解】在上单调递增，当时，此时在上单调递减，在上单调递增，在上最小值为，若函数有最小值，则，即，故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的应用，根据函数值域的范围，利用导数法和数形结合判断函数的取值范围是解决本题的关键三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.已知等比数列的各项均为正数，且，（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前项和【答案】（）（）【解析】【分析】（）设数列的公比为，由题意布列方程组，即可得到数列的通项公式；（）由（）可得，利用裂项相消法即可得到数列的前项和【详解】解：（）设数列的公比为，依题设有，因为，所以，解得，所以（）由（）可得， 从而，所以， 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题18.在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，为的中点（）证明：平面平面；（）为线段上一点，且，求三棱锥的体积【答案】（）见证明（）【解析】【分析】（）要证平面平面，即证平面，转证（）利用等体积法即可得到三棱锥的体积【详解】解法一：（）因为 是边长为的正三角形，为的中点，所以，同理，又，因为，所以又，所以平面，又平面，所以平面平面（）由（）得平面，所以， 为直角三角形，所以，且，解得在 中，由，解得，即即,， 解法二：（）同解法一（）由（）可得平面，所以，即，所以，得，则，所以，又，所以平面，在中， 所以【点睛】本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题19.党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（）若将购买金额不低于元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取人，求这人中消费金额不低于元的人数；（）从（）中的人中抽取人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求人中至少有人购买金额不低于元的概率；（）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，方案一：每满元可立减元；方案二：金额超过元但又不超过元的部分打折，金额超过元但又不超过元的部分打折，金额超过元的部分打折若水果的价格为元/千克，某游客要购买千克，应该选择哪种方案【答案】（）2人 （）见解析；（）选择方案二更优惠【解析】【分析】（）根据频率分布直方图即可得到结果；（）由（）得，抽取的人中消费金额低于元的有人，记为，消费金额不低于元的有人，记为，所有基本事件共有种，其中满足题意的有种，根据古典概型概率公式得到结果；（）依题意得，该游客要购买元的水果，分别计算两种方案需支付的金额，从而作出判断.【详解】解：（）样本中“水果达人”的频率为所以样本中“水果达人”的人数为如图可知，消费金额在与的人数比为其中消费金额不低于元的人数为人所以，抽取的人中消费金额不低于元的人数（）由（）得，抽取的人中消费金额低于元的有人，记为，消费金额不低于元的有人，记为，所有基本事件如下：，共有种，其中满足题意的有种所以（）依题意得，该游客要购买元的水果，若选择方案一，则需支付元选择方案二，则需支付元，所以选择方案二更优惠【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型概率公式、方案决策问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.20.已知椭圆：的左焦点为，且过点，为坐标原点（）求椭圆的方程；（）点为椭圆上的动点，过点作平行于的直线交椭圆于，两点，求 面积的取值范围【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据题意可得，且从而得到椭圆的方程；（）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为联立方程利用韦达定理表示，求出函数的值域，即可得到 面积的取值范围【详解】解法一：（）依题意得，左焦点，则右焦点 即，且则得椭圆方程为 （）当直线的斜率不存在时，此时当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去得： 显然，设，则 故，因为，所以点到直线的距离即为点到直线的距离，所以 ， 因为，所以，所以综上， 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的定义以及方程的求解，同时也考查为韦达定理法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题21.若函数（）讨论函数的单调性；（）若在上存在两个零点，求的取值范围【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）求出导函数，函数的定义域，通过当a0时，当a0时，分别求解函数的单调区间即可；（）通过a0时，当a0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围【详解】解：（）函数的定义域为，当时，在单调递减 当时，令，其中舍去则当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增所以在上单调递减，在上单调递增 综上所述，当时，在单调递减，当时，所以在上单调递减，在上单调递增 （）由（）得，当时，在单调递减，不合题意，舍去 当时，由于在上有两个零点，又因为，所以是的一个零点因此问题等价于：在存在一个零点，又由（）得，当时，存在一个极值点，故，即 因此问题等价于：因为，令，在恒成立，所以在单调递减，所以成立，所以存在， 取，所以在存在一个零点综上所述，另解：当趋近于时，趋近于正无穷大，则【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的零点的求法，考查分析问题解决问题的能力22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；（）在（）的条件下，直线的极坐标方程为，设曲线与直线的交于点和点，曲线与直线的交于点和点，求的面积【答案】（1）极坐标方程为：.直线的极坐标方程为：（2）【解析】【分析】（1）消去参数可得曲线C的直角坐标方