北师大用公式法求解一元二次方程第二课时课件

北师大用公式法求解一元二次方程第二课时课件 3 用公式法求解一元二次方程 （第2课时） 江苏省兴化市唐刘学校初中部（225723） 姜冬锁 一、教学目标 1知识与技能目标： （1）理解判别公式，学会灵活运用判别公式； （2）学会运用公式法求解简单的实际应用问题. 2过程与方法目标： （1）结合方案设计训练，让学生不断探究，寻找问题的突破口，从而学会用公式法解决简单应用问题的方法，增强解决实际问题的能力； （2）强化数学分类思想 3情感、态度与价值观目标： 让学生体验到判别公式的实用性，并通过方案设计训练，让学生感受到数学的无穷魅力，从而增强对数学学科的喜爱之情 二、教学重点、难点 1重点： （1）学会灵活运用根的判别公式； （2）运用公式法，解决简单的实际应用问题 2难点： 根据实际问题，设计灵活多变的解决方案 3关键： 判别公式的应用 4突破方法： 让学生运用公式法解几类“特殊的”一元二次方程，并由此入手，尝试让学生运用分类讨论的方法解决问题 三、教法与学法导航 1教学方法： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践认识实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性 2学习方法： 学生充分发挥主观能动性，积极参加数学活动中去，在活动中发现问题，解决问题 四、教学准备 1教师准备： 制作，布置预习，精选习题 2学生准备： 复习公式法解一元二次方程的方法，预习一元二次方程根的判别式及其应用 五、教学过程 1.设置悬念，引发兴趣 同学们，上一节课我们已经学会了运用万能公式解一元二次方程的方法，对吗？既然是万能公式，就是不管什么样的一元二次方程都能用求根公式得出一元二次方程的根，对 吗？ 是不是这样呢？实践是检验真理的唯一标准呢？ 【设计意图】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态 2 呈现问题，探索新知 出示例题： 用公式法解一元二次方程： ?1?x2?3x?2?0 ?2?9x2?6x?1?0 ?3?x2?2x?3?0 分小组练习，并指名三名学生当堂板演 【意图】这样，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性 学生练习后，教师带领学生分析三名学生板演中出现的问题后，提问：以上三个例题的根有什么规律？ 学生小结，得出结论： （1）当b?4ac?0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b?4ac?0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b?4ac?0时，方程没有实数根 教师总结：利用b?4ac的值的符号我们可以简单的判别一元二次方程根的情况，因此，我们将b?4ac称着一元二次方程根的判别式根的判别式用字母“”表示，也就是说： 在一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?中，b?4ac，若0 则方程有2222222 两个不相等的实数根；若=0 则方程有两个相等的实数根；若0则方程没有实数根 2b【设计意图】（1）让学生进一步明白?4ac在解一元二次方程时重要的作用，引出 了根的判别式概念（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力（3）培养学生学会用数学语言来阐述发现的结论，将感性认识上升到理性认识，体验发现结论的成功乐趣 课件出示例题1： 不解方程判别下列方程根的情况： （1）2x?3x?4?0；（2）16y?9?24y； （3）5(x?1)?7x?0 分析：要判别方程根的情况，就是要确定值的符号，因此，我们只要计算下的大小，根据其符号的情况就可以作出正确的判断了 解：（1）方程a?2，b?3，c?4，?b?4ac?3?4?2?(?4)?0，?方程有两个不相等的实数根； （2）将方程化成一般式，得16y?24y?9?0,这里a?16，b?24，c?9， 222222 ?b2?4ac?(?24)2?4?16?9?0，?方程有两个相等的实数根； （3）将方程化成一般式，得5x?7x?5?0，这里a?5，b?7，c?5，2 ?b2?4ac?(?7)2?4?5?5?0，?方程没有实数根 让学生小组合作对问题展开探讨、练习，各小组汇报练习情况后，教师及时总结，并课件出示例题2: m取什么值时，方程x2?(2m?1)x?m2?4?0有两个相等的实数解？ 分析：一元二次方程有相等的实数根，那么这个方程的根的判别式=0，本题中的一元二次方程中含有字母系数，因而解题难度主要在于代入时容易出错，解题时要特别注意字母符号 解：这里a?1，b?2m?1，c?m?4， 2 ?方程有两个相等的实数根， （2m?1)2?4?1?(m2?4)?4m?17?0， ?=b2?4ac? 解这个方程，得m? 即：当m?17 41722时，方程x?(2m?1)x?m?4?0有两个相等的实数解 4 本题教师可以指导学生尝试解题，对学生解题中出现的疑难问题给予解决，对学生练习中出现的错误及时指正最后，教师总结解题的一般思路以及解题中的技巧问题 【设计意图】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力 课件出示： 方案设计题： 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？ （1）小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都相等，他通过解方程，得到了小路的宽为2m或12m小明的计算结果对吗？为什么？ 图1 (2)小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都相同你能帮小亮求出图2中的x吗？ 图2 (3)你还有其他设计方案吗？找出来与同伴交流 小明的设计方案显然是不正确的，可以让学生来讨论发现关键是要让学生明白，好多时候，数学问题必须拿到实际生活中来检验 小亮的设计方案中，要求出教师引导学生列出方程后，还要指导学生使用计算器 其他方案的设计让学生小组合作解决，小组拿出方案后，全班交流 【设计意图】结合方案设计训练，让学生不断探究，寻找问题的突破口，从而学会用公式法解决简单应用问题的方法，增强解决实际问题的能力 3 反馈训练，应用提高 课件出示： 要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，?鸡场的一边靠着原有的一堵墙，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m求鸡场的长与宽各是多少？ 分析：问题（1）很容易解决，关键是确定长方形养鸡场的长与宽的长，如果设宽度为x，易得其长度为(35?2x)，根据面积公式，可列方程 解：（1）设鸡场垂直于墙的宽度为x， 则x(35?2x)?150，解得x?7.5，x?10， 当x?7.5时，鸡场的宽为7.5m，长为20m， 当x?10时，鸡场宽为10m，长为15m 【设计意图】通过练习，巩固方案设计训练的效果，进一步掌握用公式法解决简单应用问题的方法 4 小结教学，总结反思 教师引导学生学生小结本节课学习了哪些内容，掌握了哪些方法，教师作适应的补充与深化，概括本节课涉及的的知识点 学生总结：本节课学习的主要内容：（1）一元二次方程的根的判别式及其应用；（2）简单的一元二次方程的应用，解决一元二次方程的应用问题时要注意检验 教师扩展：在一元二次方程解法的基础上，我们主要学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它；而对于一元二次方程的应用，我们在后面的学习中还会针对性来学习 【设计意图】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间 六、板书展示 3 用公式法求解一元二次方程 旧知温习新知探究反思 一元二次方程根的判别式 公式法在一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)中， 知识 2 ?b?4ac，方法 0，方程有两个不相等的实数根； =0，方程有两个相等的实数根； 0，则方程没有实数根 2 七、课堂作业 1关于x的方程mx?(2m?1)x?1?0有两个不相等的实数根，则22 m_ 2已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为_ 3已知a、b、c是ABC的三边长，且方程a(1?x)?2bx?c(1?x)?0的两根相等，?则ABC为（） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D任意三角形 4不解方程，判断所给方程：x?3x?7?0；x?4?0；x?x?1?0中，有实数根的方程有（） A0个 B1个 C2个 D3个 5如果关于x的一元二次方程kx?(2k?1)x?1?0有两个不相等的实数根，求k的取值范围 6某村建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m？ 222222222八、教学反思 一堂课的成败好坏，归根到底要看它的教学效果，其教学效果又总是从这样两个方面来检验：学生是不是越学越爱学，既是否在课堂中充分调动其学习积极性、自觉性和求知欲；学生是不是越学越会学，是否培养了他们的能力和习惯，发展了他们的智力和素质从提高教学效果的角度思考，本课还可以作些改进工作： 一是可以“放”得更开些让学生从解题中自己发现什么规律，找到方程“是否有根”，“有怎样的根”究竟与什么有关，并通过学生独立思考、小组讨论、组间交流，自主地发现、归纳出一元二次方程根的判别式的相关知识点这样的“放”有利于学生自主学习能力的真正提高 二是要改变作业环节教学，在学生试做练习后，增加组内练习题的纠错 三是在师生共同归纳时，要注意强调纠正学生解题过程中常见的错误 四是在归纳教学时增加学生的课内自我反思环节，让学生自己来理顺本课学习的正确思路 用公式法求解一元二次方程（二） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。 学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。 二、教学任务分析 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个设计活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是:（1）通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；(2)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。 三、教学过程分析 整个教学过程共分七个环节进行。第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。 第一环节：知识回顾 活动内容： 你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？ 活动目的： 帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。 第二环节：情境引入 活动内容： 师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？ 在一块长为m，宽为m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？ 活动目的： 以情境引入课题，以同学生平等的身份提出问题，改变教师的权威地位，成为学生真正意义上的合作者。通过问题情境的设计，让学生主动的投入到学习过程中，使学生真正成为数学学习的主人，激发学生的探究愿望。 教学效果：学生兴趣盎然。 第三环节：方案设计 活动内容： 学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品。 活动目的： 通过征集设计方案，激发学生的内在动力。 先独立思考，独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者。 教学效果： 学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 在学生自行设计和展现作品时，教师可以提出具有挑战性、开放性的问题，以激发学生的学习热情的问题：（1）怎样知道你的设计是符合要求的？你能说明你的设计是符合要求的吗？（2）以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？ 同时让学生知道设计得对与否，数据是最好的说明，如何来计算数据，通过列一元二次方程来解决，这样顺利引入本课的研究内容。 此外，课堂上没来的及展示的可以留作课后探讨，这样做也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，既没超出教材的要求，又达到了适当拔高、激发学生学习兴趣以及培养能力的目的。 第四环节：问题解答 活动内容： 问题解答： 1、 如何设数？怎样列方程？ 2、 分组解答图（5）、（6）所列的方程。 图（5）的解答： 解：设小路的宽为xm,由题意得： （16-2x）（12-2x）=1612 ，得：x-14x+24=0 x-14x+49=-24+49 (x-7) =25 x1=12 ,x2=2 答：（略） 问题：你认为小路的宽为12m和2m都符合实际意义吗？ 图（6）的解答： 解：设扇形的半径为xm,由题意得： x=1612 x=96 x=5、5 ?222221 21 2 x15、5，x2-5、5（ 舍去） 3、集体解答图（7）：根据学生所列的方程进行解答。 活动目的：通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程。 教学效果： 由于时间关系，分组解答图（5）和（6），部分同学忽视了验证解的合理性，这也是难免的，在学生发生这些问题时，适时提醒即可。 第五环节：学以致用 活动内容：在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？ 出示图（2）和图（3）做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设数从而列出方程？ 解：设金边的宽为xm,由题意得： （90+2x ）(40+2x) 72%=90 40 活动目的：增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程。 教学效果： 解答时准确率较低，原因有两点：一是本例数据较繁，而是学生毕竟刚学习解方程，解一元二次方程尚未熟练，教学中如有可能可以给学生更多的时间。 第六环节：反思归纳 通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？ 第七环节：布置作业 作业：P43第2、3、4题。 四、教学反思 1、本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题,以导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识。引入新课时，提出了这样的问题：在一块长为m，宽为m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。提出问题：你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进。 2、利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质，从而理清设计者的思路。 2.3用公式法求解一元二次方程（1） 晋公庙中学数学组 主备人： 备课时间：xx年9 月 15日 授课时间：xx年 9 月 日 学习目标： 1. 知道一元二次方程的求根公式的推导； 2会用公式法解简单数字系数的一元二次方程. 3. 认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型. 学习重点： 学会用公式法解一元二次方程 学习难点： 用配方法推到一元二次方程求根公式的过程. 学习过程： 一、导入新课： 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 22、把下列方程化成（x+m）=n的形式： （1）x-8x30（2）212x-3x-50 2 3、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少？ 二、自学指导： 1、自主学习 认真阅读P4142页例题之前内容： 22（1）、一般地，对于一元二次方程axbxc0(a0)，当b4ac0时，它的根是 bb24acx 2a 2注意：当b4ac0时，一元二次方程无实数根。 （2）、公式法： 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 2、合作交流： 2（1）你能解一元二次方程x-2x+3=0吗？你是怎么想的？ 22（2）对于一元二次方程axbxc0(a0)，当b4ac0时，它的根的情况是怎 样的？ 2归纳：对于一元二次方程axbxc0(a0)， 2 当b4ac_0时，方程有两个不相等的实数根； 2 当b4ac_0时，方程有两个相等的实数根； 2 当b4ac_0时，方程无实数根。 22由此可知，一元二次方程axbxc0(a0)的根的情况可由b4ac来判定.我们把 22b4ac叫做一元二次方程axbxc0(a0)的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示。 三、例题解析 例1. 解方程： 22（1）x-7x80 （2）4x+1=4x 解：(2)将原方程化为一般形式，得： 24x-4x+1=0 这里a=4，b=-4,c=1. 22 b4ac=(-4)-441=0 x=?(?4)?01= 2?42 1即X1 = X2 = 2 四、当堂训练 1.不解方程,判断下列方程的根的情况： 2(1) 2x+5=7x （2） 3x2+2x+1=0 2（3）4x(x+1)+3 =0（4）4(y+0.09)=2.4y 2用公式法解下列方程： 22（1）2x-9x+8=0(2)9x+6x+1=0 2（3）16x+8x=3 (4)x(x-3)+5=0 五、课堂小结： 用公式法解一元二次方程的步骤： 1. 化成一般形式； 2. 确定a,b,c的数值； 3. 求出b24ac的数值，并判别其是否是非负数； 4. 若b24ac0，用求根公式求出方程的根；若b24ac0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。 六、作业： 基础题