2016年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=R，集合 A=x|0， ，则 AB 为（ ） A x|x 1 B C x|0 x 1 D 2已知命题 p：若 a 1，则 1，下列说法正确的是（ ） A命题 p 是真命题 B命题 p 的逆命题是真命题 C命题 p 的否命题是：若 a 1，则 1 D命题 p 的逆否命题是：若 1，则 a 1 3函数 的一条对称轴是（ ） A B C D 4设 ， 是两个不同的平面， m， n 是两条不同的直线，且 m， n（ ） A若 m， n 是异面直线，则 与 相交 B若 m ， n 则 C若 m n，则 D若 m ，则 5已知等差数列 差为 d，前 n 项和 则下列描述不一定正确的是（ ） A若 0， d 0，则 n 唯一确定时 也唯一确定 B若 0， d 0，则 n 唯一确定时 也唯一确定 C若 0， d 0，则 唯一确定时 n 也唯一确定 D若 0， d 0，则 唯一确定时 n 也唯一确定 6已知函数 f（ x） =（ x ） x ， 且 x 0，下列描述正确的是（ ） A函数 f（ x）为奇函数 B函数 f（ x）既无最大值也无最小值 C函数 f（ x）有 4 个零点 D函数 f（ x）在（ 0， ）单调递增 7如图， B、 D 是以 直径的圆上的两点，其中 ， ，则 =（ ） 第 2 页（共 19 页） A 1 B 2 C t D 2t 8已知双曲线 =1（ a 0， b 0），若焦点 F（ c， 0）关于渐近线 y= x 的对称 点在另一条渐近线 y= x 上，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 3 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 9已知数列 足 ，且数列 32n为公比为 2 的等比数列，则 _，数列项公式 _ 10函数 则 f（ 1） =_，若方程 f（ x） =m 有两个不同的实数根，则 m 的取值范围为 _ 11已知实数 x， y 满足 x 0， y 0， x+2y=3，则 的最小值为 _， y2+最小值为 _ 12已知实数 x， y 满足 （ 1）当 a=2 时，则 2x+y 的最小值为 _； （ 2）若满足上述条件的实数 x， y 围成的平面区域是三角形，则实数 a 的取值范 围是 _ 13 是按先后顺序排列的一列向量，若 ，且，则其中模最小的一个向量的序号为 _ 14如图，平面 平面 ， D 为线段 中点， ， 5，点 P 为面内的动点，且 P 到直线 距离为 ，则 最大值为 _ 第 3 页（共 19 页） 15边长为 1 的正方体 将其对角线 平面 垂直，则正方体 平面 上的投影面积为 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， A=2C，且 （ ）求 值； （ ）若 面积为 ，求 边 b 17已知数列 前 n 项和 足 sn=n（ n 6），数列 足（ ）求数列 通项公式； （ ）记数列 足 ，求数列 前 n 项和 18已知几何体 P 图，面 矩形，面 面 面 正三角形，若 ， ， E、 F 分别为 点， （ ） 求证： 面 （ ）求直线 面 成角的正弦值 19已知抛物线 C： p 0），圆 E： y+1） 2=1，若直线 L 与抛物线 C 和圆 E 分别相切于点 A， B（ A， B 不重合） （ ）当 p=1 时，求直线 L 的方程； （ ）点 F 是抛物线 C 的焦点，若对于任意的 p 0，记 积为 S，求 的最小值 第 4 页（共 19 页） 20已知函数 f（ x） =x2+，其中 a R，且 a 0 （ ）设 h（ x） =（ 2x 3） f（ x），若函数 y=h（ x）图象与 x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合； （ ）求函数 y=|f（ x） |在 0， 1上最大值 第 5 页（共 19 页） 2016 年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=R，集合 A=x|0， ，则 AB 为（ ） A x|x 1 B C x|0 x 1 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式 0= 得到 x 1，即 A=x|x 1， 由 B 中不等式变形得： 2x =2 ，即 x ， B=x|x ， 则 AB=x|x 1， 故选： A 2已知命题 p：若 a 1，则 1，下列说法正确的是（ ） A命题 p 是真命题 B命题 p 的逆命题是真命题 C命题 p 的否命题是：若 a 1，则 1 D命题 p 的逆否命题是：若 1，则 a 1 【考点】 四种命题的真假关系 【分析】 举例说明命题 p 为假命题，求出命题 p 的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案 【解答】 解：已知命题 p：若 a 1，则 1，如 a= 2，则（ 2） 2 1，命题 p 为假命题， A 不正确； 命题 p 的逆命题是：若 1，则 a 1，为真命题， B 正确； 命题 p 的否命题是：若 a 1，则 1， C 不正确； 命题 p 的逆否命题是：若 1，则 a 1， D 不正确 故选： B 3函数 的一条对称轴是（ ） A B C D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性 【分析】 由三角函数公式化简可得 f（ x） =2x+ ），由三角函数的对称性可得 第 6 页（共 19 页） 【解答】 解：由三角函数公式化简可得 f（ x） = +x） = （ =2x+ ）， 由 x+ =可 x=， k Z 结合选项可得当 k=0 时，函数的一条对称轴为 x= 故选： B 4设 ， 是两个不同的平面， m， n 是两条不同的直线，且 m， n（ ） A若 m， n 是异面直线，则 与 相交 B若 m ， n 则 C若 m n，则 D若 m ，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【分析】 在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中， 与 相交或平行；在 C 中， 与 相交或平行；在 D 中，由面面垂直的判定定理得 【解答】 解：由 ， 是两个不同的平面， m， n 是两条不同 的直线，且 m， n，知： 在 A 中，若 m， n 是异面直线，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，若 m ， n ，则 与 相交或平行，故 B 错误； 在 C 中，若 m n，则 与 相交或平行，故 C 错误； 在 D 中，若 m ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 正确 故选： D 5已知等差数列 差为 d，前 n 项和 则下列描述不一定正确的是（ ） A若 0， d 0，则 n 唯一确定时 也唯一确定 B若 0， d 0，则 n 唯一确定时 也唯一确定 C若 0， d 0，则 唯一确定时 n 也唯一确定 D若 0， d 0，则 唯一确定时 n 也唯一确定 【考点】 等差数列的性质 【分析】 Sn= + ，利用二次函数的 性质即可得出 【解答】 解： Sn= = + ， 可知： 0， d 0，则 唯一确定时 n 不一定唯一确定，可能有两个值， 故选： D 第 7 页（共 19 页） 6已知函数 f（ x） =（ x ） x ， 且 x 0，下列描述正确的是（ ） A函数 f（ x）为奇函数 B函数 f（ x）既无最大值也无最小值 C函数 f（ x）有 4 个零点 D函数 f（ x）在（ 0， ）单调递增 【考点】 函数的图象 【分析】 判断函数的奇偶性，求出函数的零点，利用导数判断单调性 【解答】 解： f（ x） =（ x+ ） x） =（ x ） f（ x） f（ x）是偶函数故 A 错误 令 f（ x） =0 得 x =0 或 ， x ， ， x= 1 或 x= f（ x）有 4 个零点故 C 正确 故选： C 7如图， B、 D 是以 直径的圆上的两点，其中 ， ，则 =（ ） A 1 B 2 C t D 2t 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 连结 = =是 = 【解答】 解：连结 =B2=t+1 =D2=t+2 ， = = =1 故选： A 第 8 页（共 19 页） 8已知双曲线 =1（ a 0， b 0），若焦点 F（ c， 0）关于渐近线 y= x 的对称点在另一条渐近线 y= x 上，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 3 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 首先求出 渐近线的距离，利用焦点 F（ c， 0）关于渐近线 y= x 的对称点在另一条渐近线 y= x 上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率 【解答】 解：由题意， c， 0）， c， 0）， 设一条渐近线方程为 y= x，则 渐近线的距离为 =b 设 于渐近线的对称点为 M， 渐近线交于 A， |2b， A 为 中点， 又焦点 F（ c， 0）关于渐近线 y= x 的对称点在另一条渐近线 y= x 上， 直角， 直角三角形， 由勾股定理得 4c2= 3（ c=2a， e=2 故选： B 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 9已知数列 足 ，且数列 32n为公比为 2 的等比数列，则 1 ，数列 项公式 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由于 34=2利用等比数列的通项公式可得 32n，即可得出 【解答】 解： 34=2 32n=2 2n 2=2n 1 32=1，解得 故答案分别为： 1； 10函 数 则 f（ 1） = 2 ，若方程 f（ x） =m 有两个不同的实数根，则 m 的取值范围为 （ 0， 2） 【考点】 函数的零点与方程根的关系；函数的值 第 9 页（共 19 页） 【分析】 根据分段函数的表达式代入求解即可，作出函数 f（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由分段函数的表达式得 f（ 1） =| 2|=2 ， 故答案为： 2 ， 作出函数 f（ x）的图象如图： 当 x 0 时， f（ x） =2 （ 1， 2）， 当 x 1 时， f（ x） 0， 2）， 当 x 1 时， f（ x） 0， 若方程 f（ x） =m 有两个不同的实数根， 则 0 m 2， 即实数 m 的取值范围是（ 0， 2）， 故答案为： 2 ，（ 0， 2） 11已知实数 x， y 满足 x 0， y 0， x+2y=3，则 的最小值为 ， y2+ 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 根据基本不等式进行转化求解得 的最小值，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求 y2+最小值 【解答】 解：由 x+2y=3 得 + =1， 则 = + =（ + ） 1=（ + ）（ + ） =2+ + + +2 = += ， 当且仅当 = ，即 3等号，即 的最小值为 由 x+2y=3 得 x=3 2y，由 x=3 2y 0 得 0 y ， 则 y2+ 3 2y） 2+4 3 2y） y=69y+9=6（ y ） 2+ ， 第 10 页（共 19 页） 即当 y= 时， y2+最小值为 ， 故答案为： ， 12已知实数 x， y 满足 （ 1）当 a=2 时，则 2x+y 的最小值为 5 ； （ 2）若满足上述条件的实数 x， y 围成的平面区域是三角形，则实数 a 的取值范围是 1 a或 a 【考点】 简单线性规划 【分析】 （ 1）作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过 B（ 5， 3）时， z 最大，当直线过 C 时， z 最小 （ 2）作出不等式组 表示的平面区域，从而解出 【解答】 解：（ 1）画出 不等式 表示的平面区域： 将目标函数变形为 z=2x+y，作出目标函数对应的直线， ，解得 A（ 1， 3）， 直线过 A（ 1， 3）时，直线的纵截距最大， z 最小，最小值为 5； 则目标函数 z=2x+y 的最小值为： 5 故答案为： 5 （ 2） 如下图： y=a（ x 3）恒过（ 3， 0），则若不等式组 表示 的平面区域是一个三角形， = ，则实数 a 的取值范围， 1 a 或 a ， 故答案为： 1 a 或 a 第 11 页（共 19 页） 13 是按先 后顺序排列的一列向量，若 ，且，则其中模最小的一个向量的序号为 1002 【考点】 数列与向量的综合；向量的模 【分析】 根据题意，求出 通项公式，计算 的模长最小值即可 【解答】 解： 是按先后顺序排列的一列向量， 且 ， ， +（ 1， 1）， 即（ =（ 1， 1） +（ 1， 1） =（ 1+1， 1+1）； 第 12 页（共 19 页） ， ， | |= = = ； 当 n= =1002，即 n=1002 时，其模最小 故答案为： 1002 14如图，平面 平面 ， D 为线段 中点， ， 5，点 P 为面内的动点，且 P 到直线 距离为 ，则 最大值为 90 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 空间中到直线 距离为 1 的点构成一个圆柱面，它和面 相交得一椭圆，所以P 在 内的轨迹为一个椭圆， D 为椭圆的中心，且 c= ， b= ， a=2利用椭圆的性质：椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，即可得出 【解答】 解：空间中到直线 距离为 1 的点构成一个圆柱面，它和面 相交得一椭圆，所以 P 在 内的轨迹为一个椭圆， D 为椭圆的中心， c= ， b= ， a=2， 于是 A， B 为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大， 0 故答案为： 90 15边长为 1 的正方体 将其对角线 平面 垂直，则正方体 平面 上的投影面积为 第 13 页（共 19 页） 【考点】 平行投影及平行投影作图法 【分析】 根据题意，画出图形，找出与 直的平面去截正方体 得的截面是什么， 再求正方体在该平面上的投影面积 【解答】 解：如图所示， 连接 中点 点 O， 在对角面 ，过点 O 作 点 P， 则平面 对角线 垂面； 该平面截正方体 得的截面是六边形 则正方体在该平面上的投影面积是 2 = 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， A=2C，且 （ ）求 值； （ ）若 面积为 ，求 边 b 【考点】 正弦定理；两角和与差的正弦函数 【分析】 （ I）使用二倍角公式得出关于 方程解出； （ 用和角公式计算 用正弦定理和面积公式计算 b 【解答】 解：（ I） 1= ， A=2C， C 是锐角， （ ， ， ， A+C） = 由正弦定理得 a= 第 14 页（共 19 页） S =5 ， b=5 17已知数列 前 n 项和 足 sn=n（ n 6），数列 足（ ）求数列 通项公式； （ ）记数列 足 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前 n 项和 【分析】 （ ）当 n 2 时，利用 n 1 计算，进而可知 n 7；通过 =3知数列 等比数列，利用 bn=n 2 计算即得结论； （ ）通过（ I）可知 ，进而分 n 为奇数、偶数两种情况讨论即可 【解答】 解：（ ）当 n=1 时， 1= 5， 当 n 2 时， n 1=2n 7， 又 当 n=1 时满足上式， n 7； =3， 数列 等比数列， 故其通项公式 bn=n 2=3n 1； （ ）由（ I）可知 ， 当 n 为偶数是， + = + ； 当 n 为奇数时， + = + ； 综上所述， 第 15 页（共 19 页） 18已知几何体 P 图，面 矩形，面 面 面 正三角形，若 ， ， E、 F 分别为 点， （ ）求证： 面 （ ）求直线 面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）连结 E 为 中点，利用中位线定理得出 而 面 （ 中点 H，连结 B 作 O，连结 可证 平面是 合 出 平面 是 平面 用勾股定理计算 出 【解答】 证明：（ I）连结 四边形 矩形， E 是 中点， E 是 中点又 F 是 中点， 面 面 平面 （ 中点 H，连结 B 作 O，连结 面 面 B， 平面 面 等边三角形， 又 面 面 H=B， 平面 面 面 平面 P=H， 平面 平面 成的角 ， ， ， =2， = ， = 即直线 面 成角的正弦值为 第 16 页（共 19 页） 19已知抛物线 C： p 0），圆 E： y+1） 2=1，若直线 L 与抛物线 C 和圆 E 分别相切于点 A， B（ A， B 不重合） （ ）当 p=1 时，求直线 L 的方程； （ ）点 F 是抛物线 C 的焦点，若对于任意的 p 0，记 积为 S，求 的最小值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程 【分析】 （ ）设直线 L 的方程为 y=kx+b，由点到直线距离公式和相切性质得 =（ 1+b）2，联立 ，得 22b=0，由根的判别式得 b=0，由此能求出直线 L 的方程 （ ）联立方程 ，得 22，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出 的最小值 【解答】 解：（ ）当 P=1 时，抛物线 y， 由题意直线 L 的斜率存在，设直线 L 的方程为 y=kx+b，即 y+b=0， 第 17 页（共 19 页） 由题意得 =1， 即 =（ 1+b） 2， 联立 ，得 22b=0， 由 =0，得