等比数列前n项和

.,2.5等比数列前n项和,.,回顾旧知,1.等比数列an的通项公式：,注意：当q=1时，等比数列an为常数列.,2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、累乘法。,3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.,.,国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？,新课导入,设问：同学们，你们知道他要的是多少小麦吗？,.,1+2+4+8+263=18446744073709551615（粒）,已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克7378.7亿吨.,经过计算，我们得到麦粒总数是,那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.,.,发明者要求的麦粒总数是：,S64=1+2+22+23+263,上式有何特点？,如果式两端同时乘以2得:,2S64=2+22+23+263+264,比较、两式，有什么关系呢？,.,S64=1+2+22+23+263,2S64=2+22+23+263+264,两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则得：,S64=264-1=18446744073709551615,设问：纵观全过程，式两边为什么要乘以2呢？,.,等比数列前n项和公式及推导,在等比数列an中首先要考虑两种情况：,当q1时，Sn=a1+a2+a3+an-1+an=？,我们视目以待，看接下来的解答:,.,S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3),分析：,.,Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn,-得：Sn(1q)=a1a1qn,这就是乘公比错位相减法求和,当q1时，,.,则等比数列an前n项和公式为,注意点,1.注意q=1与q1两种情况.,2.q1时，,.,通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？,.,例1,等比数列an的公比q=，a8=1，求它的前8项和S8.,解法1：因为a8=a1q7，所以,因此,这是公式法求和,.,解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列bn，,其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和,.,分析：数列9，99，999，不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为101，1001，10001，就可以解决了。,例2,.,原式=(101)+(1001)+(10001)+(10n1),=(10+100+1000+10n)n,解：,.,例3,.,（2）,这是分组法求和,.,某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p0)，求这个工厂去年全年产值的总和。,解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，,例4,.,答：该工厂去年全年的总产值为元。,.,求和：.,例5,这是错位相减法求和,.,.,注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1,例6,.,求和：.,例7,.,.,“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？,解：这句古语用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.,如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a1=，公比q=的等比数列，,思考与余味,.,它的前n项和为,这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.,.,课堂小结,本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式：,以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.,.,1.推导等差数列前n项和公式的方法.,2.公式的应用中的数学思想.,-错位相加法,-方程思想,3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量，可以求其余两个.,-知三求二,.,（07年广东）等比数列an中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值,解：,由,得：q=2,所以：,高考链接,.,随堂练习,解:,.,2.某商场第1年销售计算机台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到台（保留到个位）？,分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.