§8-6习题空间直线及其方程

空间直线及其方程,I.空间直线方程的几种形式,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,II、两直线的位置关系,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,III、直线与平面的位置关系,补充：,1.点,的距离为,到平面：Ax+By+Cz+D=0,2.过直线,的平面束,方程,通常取：,其中：,为任意实数,例1.求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,例2.求过直线L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,提示:,过直线L的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,还有其它平面方程吗？,思考题,思考题解答,且有,故当时结论成立,主要内容:,I.向量代数,II.空间解析几何,习题课,I.向量代数,一、向量及其坐标1.向量模,2方向余弦,3单位向量,基本单位向量,4两向量的夹角,5向量的投影,二、向量的运算,1线性运算,数乘,2数量积:,加(减):,3.向量积,（2）以为邻边的平行四边形面积,(3)与同时垂直的向量可取作,两非零向量平行、垂直的等价条件：,一、平面方程,1平面的点法式方程,2平面的一般方程,3平面的截距式方程,II.空间解析几何：,二、空间直线的方程,1空间直线的一般方程,3空间直线的参数方程,2空间直线的对称式方程,1平面间的夹角,三、直线、平面间的位置关系,直线,直线,两直线的夹角公式,2两直线的夹角,3直线与平面的夹角平面的法向量直线的方向向量,四、曲面,1旋转曲面,（2）圆锥面,（1）球面,（3）旋转双曲面,(2)抛物柱面,(3)椭圆柱面,(1)圆柱面,2柱面,3二次曲面,定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.,（1）椭球面,（2）椭圆抛物面,（3）单叶双曲面,（4）圆锥面,五、空间曲线,1空间曲线的一般方程,2空间曲线的参数方程,3空间曲线在坐标面上的投影,消去变量z后得：,设空间曲线的一般方程：,曲线在面上的投影曲线为,面上的投影曲线,面上的投影曲线,典型例题,解,例3.已知向量的模为8，且已知它与x轴和y轴正向的夹角均为，求的坐标表达式,解：设与同向的单位向量为,其中,又,于是,例4.求下列各平面方程（1）平行于x轴且经过两点(4,0,-2),(5,1,7)；（2）通过点M(1,-1,1)且垂直于两平面（3）在x轴上的截距为2，且过点(0,-1,0)和(2,1,3),例5.别求适合下列条件的直线方程：（1）通过点(1,0,-3)且与平面垂直；（2）通过点(1,0,-2)且与平面平行，又与直线垂直；（3）通过点(0,-1,1)且与直线平行,例6.利用平面束方程解题：通过两平面的交线，且通过点(1,8,2)的平面方程.,解设过交线的平面束方程为,因平面过点(1,8,2)，代入平面束方程，得,故所求方程为,例7下列方程或方程组表示什么图形？,旋转抛物面,球心在（2,0,0)的球面,平行的二条直线,球面与上半圆锥的交线,例8.求单叶双曲面与平面的交线关于xoy面的投影柱面方程和在xoy面上的投影方程.,解消去变量z，得所求投影柱面方程为,所求交线的投影方程为,例9.,解,法一：用点法式方程,法二：用一般式方程,过已知直线的平面束方程为,法三：用平面束方程,解：,例11.,解,将两已知直线方程化为参数方程为,即有,例12写出适合下列条件