概率论与数理统计答案(汇总版)

概率论与数理统计答案(汇总版) 习题1.1 1、写出下列随机试验的样本空间. （1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数. （2）在单位园中任取一点记录其坐标. （3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）?4,5,6,7,8? （2）?(x.y)x2?y2?1 （3）?3,4,5,6,7,8,9,10,?,18 2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C. 解：B?A?(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6) BC?(1.1),(2.2),(3.3),(4.4) B?C?(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5) 3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件. （1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2 解：（1）第1，2次都没有中靶 （2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶 （3）第二次中靶 4设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2， 3），使用符号及其运算的形式表示以下事件： （1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ； （2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ； （3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ； （4）“三次全部击中靶子”可表示为 ； （5）“三次均未击中靶子”可表示为 ； （6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解：（1）A1?A2?A3; (2) A123?1A23?12A3; (3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) 123(6) 12A3 5.证明下列各题 （1）A?B?A （2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A) 证明：（1）右边=A（?B）?A?AB=?A且?B?A?B=左边 （2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=?A或?B?A?B 习题1.2 1.设A、B、C三事件，P(A)?P(B)?P(C)?1 4 P(AC)?P(BC)?1 8,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率. 解：?P(AB)?0?P(ABC)?0 P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?11 4?2?8?1 2 2.已知p()?0.5 ，P(B)?0.2 ， P(B)?0.4，求 （1）P(AB) (2)P(A?B)，(3)P(A?B)， (4)P(AB). 解：（1） ?A?B,?AB?A ?P(AB)?P(A)?0.1 （2） ?A?B,?A?B?B ?P(A?B)?P(B)?0.5 3.设P(A)=0.2P(A?B)=0.6 A.B互斥，求P(B). 解：?A,B互斥，P(A?B)?P(A)?P(B) , ， 故P(B)?P(A?B)?P(A)?0.6?0.2?0.4 4.设A、B是两事件且P(A)=0.4,P(B)?0.8 （1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=1.2?P(A?B) （1）由于当A?B时A?B?B，P(A?B)达到最小， 即P(A?B)?P(B)?0.8，则此时P(AB)取到最大值，最大值为0.4 （2）当P(A?B)达到最大， 即P(A?B)?P(?)?1，则此时P(AB)取到最小值，最小值为0.2 5.设 P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(?)?, 4816求P(A?B?C). 解：P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(?)?1?151?, 1616 P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?1117?3? 481616 习题1.3 1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率. 解：设事件A=3张中至少有2张花色相同 则A=3张中花色各不相同 3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1?0.602 3C52 2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率. 3解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某 3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?，而10C501960033 个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为 p?pi? i?110101 ?196001960 3解法二 样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这 13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3 种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为 13C10C31 p?31960C50 3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率. 解法一 设A表示“取出的3个数之积能被10整除”， ， A1表示“取出的3个数中含有数字5” ， A2表示“取出的3个数中含有数字偶数” P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2) ?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2）?P(A1A2) ?8?5?4?1?1?0.786?0.214?9?9?9? 解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?1,2,3。 则A?(A1?A2?A3)(B1?B2?B3) 333 A?(A1A2A3)?(B1B2B3) P(A)?P(A1A2A3)?P(B1B2B3)?P(A1A2A3B1B2B3) 由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且 P(A1)?P(A2)?P(A3)?85，P(B1)?P(B2)?P(B3)? 99 P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)?4 9 33?8?5?4?因此P?A?1?PA?1?1?0.786?0.214 ?9?9?9? 4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率. 5解 共10个钱币，任取5个，基本事件的总数N?C10，有利的情况，即5?3 个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为 2322121223131122N(A)?C2C3?C2C3C3?C2C3C5?C2C5?C2C3C5?C2C3C5 ?1?3?5?3?10?10?2?5?2?3?10?126 故所求概率为P?1261? 5C102 5.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件， （1）求其中恰有k(k?min(M,n)件次品的概率； （2）求其中至少有2件次品的概率. kn?knn?1CM?M?M?M?M解：（1） （2）1- nn 6设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边； （2）甲、乙、丙三人坐在一起； （3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率. （n?1）! 解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为 而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(n?2)! 于是P(A)?(n?2)!1? (n?1)!n?1 （n?1）!，而事（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为 习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故?1?5,6,7,?； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：?2?2,3,4,?11,12?； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3?0,1,2,? (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ?4?i,j?i?j?5?; (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则?5?0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1?； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ?6?x,y?1?x?y?T2?； ?； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：?7?x0?x?2?； (8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：?8?x,y?x?0,y?0,x?y?l?； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; AB； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;A(B?C)； (3) A,B,C 中至少有一个发生; A?B?C； ? (4) A,B,C 中恰有一个发生;A?B?； (5) A,B,C 中至少有两个发生; AB?AC?BC； (6) A,B,C 中至多有一个发生;?； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC (8) A,B,C 中恰有两个发生.BC?AC?AB ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。 1.3 设样本空间?x0?x?2?, 事件A=x0.5?x?1?,B?x0.8?x?1.6? 具体写出下列各事件： (1) AB; (2) A?B ; (3) A?B; (4) A?B （1）AB?x0.8?x?1?； (2) A?B=x0.5?x?0.8?； (3) A?B=x0?x?0.5?0.8?x?2?; (4) A?B=x0?x?0.5?1.6?x?2? ? 1.6 按从小到大次序排列P(A),P(A?B),P(AB),P(A)?P(B), 并说明理由. 解：由于AB?A,A?(A?B),故P(AB)?P(A)?P(A?B)，而由加法公式，有：P(A?B)?P(A)?P(B) 1.7 解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为： P(W?E)?P(W)?P(E)?P(WE)?0.175 (2) 由于事件W可以分解为互斥事件WE,W，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：P(W)?P(W)?P(WE)?0.1 (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：P()?1?P(W?E)?0.825. 1.8 解：(1) 由于AB?A,AB?B，故P(AB)?P(A),P(AB)?P(B),显然当A?B时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6. (2) 由于P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)。显然当P(A?B)?1时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4. 1.9 解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.A,B,C至少有一个发生的概率为： P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?0.7 1.10 解 （1）通过作图，可以知道，P(A)?P(A?B)?P(B)?0.3 （2）P(AB)?1?P(AB)?1?(P(A)?P(A?B)?0.6 (3)由于P(AB)?P()?1?P(A?B)?1?(P(A)?P(B)?P(AB) ?1?P(A)?P(B)?P(AB) P(B)?1?P(A)?0.7 1.11 解：用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有 4?4?4?64种，每种放法等可能。 对事件A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种，故P(A1)? (选排列：好比3个球在4个位置做排列)。 3 8 对事件A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故P(A3)? 1.12 解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为1319。P(A2)?1? 16816161。 18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是 (1) 1.13 11,。 129 解：从10个数中任取三个数，共有C10?120种取法，亦即基本事件总数为120。 (1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有2C4?6种，故所求概率为31。 20 1。 12(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有C5?10种，故所求概率为 1.14 解：分别用A1,A2,A3表示事件： (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则 2C822814C46116P(A1)?2?,P(A2)?2?,P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?。 C126633C126611332 1.15 解：P(A?)B)?P(A?)?B)P(AB)?(B) ?P(B)P(B) P(AB)P(A)?P(A)?0.5 P(B)P(B)由于P(B)?0，故P(A?)B)? 1.16 (1) P(A?B);（2）P(?B); 解：（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(B)P(AB)?1?0.4?0.5?0.8; （2）P(?B)?P()?P(B)?P(B)?1?P(B)P(B)?1?0.4?0.5?0.6; 注意：因为P(AB)?0.5，所以P(B)?1?P(AB)?0.5。 1.17 解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2,3），则i表示事件“第i次取到的是次品”（i?1,2,3）。P(A1)?15331421 ?,P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)?20441938 (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为： P(3A1A2)?5。 18 (2) 事件“第三次才取到次品”的概率为： P(A1A23)?P(A1)P(A2A1)P(3A1A2)? （3）事件“第三次取到次品”的概率为：1514535 ?2019182281 4 此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2）， 复旦大学 习题 一 1略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC （4） ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC (5) ABC=A?B?C(6) ABC (7) ABCABCABCABCABCABCABC=ABC=ABC (8) ABBCCA=ABCABCABCABC 3.略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（）=1?P（AB）=1?P(A)?P(A?B) =1?0.7?0.3=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2） 当AB=时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) = 11113+?= 443124 7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？ 5332 【解】p=C13C13C13C13/C1352 8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）= 115 =（）（亦可用独立性求解，下同） 757 （2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故 6565 P（A2）=5=() 77 (3) 设A3=五个人的生日不都在星期日 P（A3）=1?P(A1)=1?( 15 ) 7 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n （2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. n?mn 【解】（1） P（A）=CmM?M/ n (2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正 mn?m 品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种， 故 mn?m CmPP P（A）=nMnN?M PN 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n?m CmM?M P（A）= CnN 可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故 mn?m P(A)?Cm/Nn nM(N?M) 此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M ，则取得N ?M?M? P(A)?Cmn?1? NN? mn?m 11.略.见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆 钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A=发生一个部件强度太弱 33 P(A)?C110C3/C50? 1 1960 13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai=恰有i个白球（i=2,3），显然A2与A3互斥. 1 C2184C3 P(A2)?3?, C735 C344 P(A3)?3? C735 22 35 故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)? 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai=第i批种子中的一粒发芽，（i=1,2） (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 11131C4()()5212131?2 ?【解】（1） p1?C5()()(2) p2? 222325/325 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球 数相等的概率. 【解】 设Ai=甲进i球，i=0,1,2,3,Bi=乙进i球,i=0,1,2,3,则 212 P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? i?03 22 C3(0.7)2?0.3C3(0.