高中数学干货资料-思想方法

函数与方程思想思想方法解读1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1(2016天津)已知函数f(x)(a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A. B. C. D.答案C解析由yloga(x1)1在0，)上递减，得0a2，即a时，由x2(4a3)x3a2x(其中x0)，得x2(4a2)x3a20(其中xf(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为()A.(，0) B.(0，) C.(，2) D.(2，)答案B解析构造函数g(x)，则g(x).由题意得g(x)0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减.又g(0)1，所以1，即g(x)0，所以不等式的解集为(0，).故选B.点评不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.变式训练2已知f(x)log2x，x2，16，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2mx42m4x恒成立的实数x的取值范围为()A.(，2B.2，)C.(，22，)D.(，2)(2，)答案D解析x2，16，f(x)log2x1，4，即m1，4.不等式x2mx42m4x恒成立，即为m(x2)(x2)20恒成立，设g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在1，4上恒大于0，所以即解得x2.题型三函数与方程思想在数列中的应用例3已知数列an是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a41成等比数列，设bn(其中Sn是数列an的前n项和)，若对任意nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值.解因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.因为Snn(n1)，bn.令f(x)2x (x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.点评数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步：分析数列式子的结构特征.第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.变式训练3设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)SnnSn1(nN*).若1，则()A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7答案D解析由条件得，即，所以anan1，所以等差数列an为递增数列.又1，所以a80，a70，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.题型四函数与方程思想在解析几何中的应用例4椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为1 (ab0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21，即y22x21.(2)当直线l的斜率不存在时，也满足3，此时m.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm (k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2，x1x2.因为3，所以x13x2，所以则3(x1x2)24x1x20，即3240，整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)2m220，当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20，解得1m或m0或0中，即可求出目标参数的取值范围.第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节.变式训练4已知点F1(c，0)，F2(c，0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，点P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_.答案解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.数形结合思想思想方法解读数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.题型一数形结合在方程根的个数中的应用例1方程sin x的解的个数是()A.5 B.6 C.7 D.8答案C解析在同一平面直角坐标系中画出y1sin x和y2的图象，如下图：观察图象可知y1sin x和y2的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sin x有7个解.点评利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.变式训练1若函数f(x)有且只有两个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(4，0) B.(，0 C.(4，0 D.(，0)答案B解析当x0时，f(x)ln x与x轴有一个交点，即f(x)有一个零点.依题意，显然当x0时，f(x)kx2也有一个零点，即方程kx20只能有一个解.令h(x)，g(x)kx2，则两函数图象在x0时只能有一个交点.若k0，显然函数h(x)与g(x)kx2在x0时有两个交点，即点A与原点O(如图所示).显然k0不符合题意.若k0，显然函数h(x)与g(x)kx2在x0时只有一个交点，即原点O(如图所示).若k0，显然函数h(x)与g(x)kx2在x0时只有一个交点，即原点O.综上，所求实数k的取值范围是(，0.故选B.题型二利用数形结合解决不等式函数问题例2已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是_.答案(0，1)解析当x2时，f(x)，此时f(x)在2，)上单调递减，且0f(x)1.当x2时，f(x)(x1)3，此时f(x)过点(1，0)，(0，1)，且在(，2)上单调递增.当x2时，f(x)1.如图所示作出函数yf(x)的图象，由图可得f(x)在(，2)上单调递增且f(x)1，f(x)在2，)上单调递减且0f(x)1，故当且仅当0k1时，关于x的方程f(x)k有两个不等的实根，即实数k的取值范围是(0，1).点评利用数形结合解不等式或求参数的方法求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.变式训练2若存在正数x使2x(xa)0，所以由2x(xa)1得xa0时的图象，如图.当x0时，g(x)2x0，使2x(xa)1，则有f(0)1，即a1，所以选D.题型三利用数形结合求最值例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A.1 B.2 C. D.答案C解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O、A、C、B四点共圆.当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.点评利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义.一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义.第二步：转化为几何问题.第三步：解决几何问题.第四步：回归代数问题.第五步：回顾反思.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值可考虑直线的斜率；(2)二元一次式可考虑直线的截距；(3)根式分式可考虑点到直线的距离；(4)根式可考虑两点间的距离.变式训练3已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.分类讨论思想思想方法解读分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1设集合AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若BA，求实数a的取值范围.解A0，4，BA，于是可分为以下几种情况.(1)当AB时，B0，4，由根与系数的关系，得解得a1.(2)当BA时，又可分为两种情况.当B时，即B0或B4，当x0时，有a1；当x4时，有a7或a1.又由4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足条件；当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围为a1或a1.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，BA，包括B和B两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1已知数列an的前n项和Snpn1(p是常数)，则数列an是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案D解析Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，当p1且p0时，an是等比数列；当p1时，an是等差数列；当p0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列.题型二分类讨论在含参函数中的应用例2已知函数f(x)x22ax1a在x0，1上有最大值2，求a的值.解函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.(1)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.点评本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值.变式训练2已知函数f(x)2exax2(xR，aR).(1)当a1时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)求x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)2exx2，f(x)2ex1，f(1)2e1，即曲线yf(x)在x1处的切线的斜率k2e1，又f(1)2e3，所以所求的切线方程是y(2e1)x2.(2)易知f(x)2exa.若a0，则f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增；若a0，则当x(，ln )时，f(x)0，f(x)单调递增.又f(0)0，所以若a0，则当x0，)时，f(x)f(0)0，符合题意.若a0，则当ln 0，即00，即a2，则当x(0，ln )时，f(x)单调递减，f(x)f(0)0，不符合题意.综上，实数a的取值范围是(，2.题型三根据图形位置或形状分类讨论例3在约束条件下，当3s5时，z3x2y的最大值的变化范围是()A.6，15 B.7，15 C.6，8 D.7，8答案D解析由取点A(2，0)，B(4s，2s4)，C(0，s)，C(0，4).当3s4时，可行域是四边形OABC(含边界)，如图(1)所示，此时，7zmax|PF2|，4，2，2.综上知，或2.转化与化归思想思想方法解读转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性.转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.题型一正难则反的转化例1已知集合AxR|x24mx2m60，BxR|x0，若AB，求实数m的取值范围.解设全集Um|(4m)24(2m6)0，即Um|m1或m.若方程x24mx2m60的两根x1，x2均为非负，则所以使AB的实数m的取值范围为m|m1.点评本题中，AB，所以A是方程x24mx2m60的实数解组成的非空集合，并且方程的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根.分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由0，求出全集U，然后求的两根均为非负时m的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”.变式训练1若对于任意t1，2，函数g(x)x3x22x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_.答案解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立.由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t，3)上恒成立，所以m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t，3)上恒成立，则m49，即m.所以使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为mln(n1)(nN*).(1)解g(x)f(x)(x1)ln x(x1)，g(x)1(x0).令g(x)0，解得0x1；令g(x)1.函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)极大值g(1)2.(2)证明由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)，令tx1，得tln(t1)(t1).取t(nN*)时，则lnln，1ln 2，ln ，ln ，ln，叠加得1ln(2)ln(n1).即1ln(n1).点评解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关