2015-2016学年北京师范大学附中八年级（上）期中数学试卷

2015-2016学年北京师范大学附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（）A9.63105B96.3106C0.963105D9631042（3分）剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）ABCD3（3分）有理式：，中，是分式的有（）ABCD4（3分）如图，已知ABEACD，1=2，B=C，不正确的等式是（）AAB=ACBBAE=CADCBE=DCDAD=DE5（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）A16B12C8D46（3分）下列各式中，正确的是（）ABCD7（3分）与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）A三条中线的交点B三条角平分线的交点C三条高的交点D三边的垂直平分线的交点8（3分）将一个四边形纸片依次按图示、的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪成样式将纸片展开铺平，所得到的图形是图中的（）ABCD9（3分）若关于x的方程=+2产生增根，则m的值是（）A2B0C1D110（3分）如图，有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片9张和长宽为a、b的长方形卡片6张现使用这16张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为（）Aa+3bB3a+bC2a+2bD4ab二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11（3分）当x 时，分式有意义12（3分）分解因式：mxmy= 13（3分）当x 时，分式的值为正14（3分）已知=，分式的值为 15（3分）若x2+mx12=（x+3）（x+n），则m的值 16（3分）如图，ABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，DBC的周长是24cm，则BC= cm17（3分）如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处，且点A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm18（3分）小睿同学在探究性课题的研究中发现了正多边形的一个规律：下面四个图分别是正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE和正n边形ABCDEF，点M、N分别是相邻两条边上的点且满足BM=CN，连接AM、BN，相交于点P，小睿通过证明ABM和BCN全等，分别得到了在正三角形ABC中，APN=60；在正方形ABCD中，APN=90，在正五边形ABCDE中，APN=108，请沿着小睿的思路，尝试计算在正n边形ABCDEF中，APN= （用含有n的代数式表示）三、解答题（共9小题，满分46分）19（4分）计算（）1+|3|+（2）0+（1）220（4分）计算：（a2）21（4分）先化简，再求值：，其中m=922（4分）解方程：23（4分）=24（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，ABED，AB=CE，BC=ED求证：AC=CD25（6分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？26（8分）如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC（1）尺规作图：在AD上标出一点P，使得点P到点B和点C的距离相等（不写作法，但必须保留作图痕迹）；（2）过点P作PEAB于点E，PFAC于点F，求证：BE=CF；（3）若AB=a，AC=b，则BE= ，AE= 27（6分）如图甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）附加题28（6分）请同学观察222=2（21）=2，2322=22（21）=22，2423=23（21）=23（1）写出表示一般规律的等式 ；（2）根据所总结的规律计算2102928222= 29（6分）（1）如果a+b=0，则a+b= ；如果a+b+c=0，则a（+）+b（+）+c（+）= ；（2）x1+x2+x3+xn=0，则x1（+）+x2（+）+xn（+）= （用含n的代数式表示）30（8分）点P与点Q位于线段MN的两侧，（1）如图甲，若PMN和QMN中，PI平分外角SPN，并与线段MN的延长线交于点I，连接QI，若PMNQMN，求证：QI平分外角TQN；（2）如图乙，若PMN和QMN中，PM+PN=QM+QN，且外角SPN和TQN的角平分线PI、QI相交于点I，连接MI，求证：MI平分PMQ2015-2016学年北京师范大学附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（）A9.63105B96.3106C0.963105D963104【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【解答】解：0.000 0963=9.63105；故选：A【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定2（3分）剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）ABCD【分析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3（3分）有理式：，中，是分式的有（）ABCD【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式故选：C【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数4（3分）如图，已知ABEACD，1=2，B=C，不正确的等式是（）AAB=ACBBAE=CADCBE=DCDAD=DE【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断【解答】解：ABEACD，1=2，B=C，AB=AC，BAE=CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误故选：D【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键5（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）A16B12C8D4【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到D=B=90，AD=AB，又ABE=D=90，而EAF=90由此可以推出DAF+BAF=90，BAE+BAF=90，进一步得到DAF=BAE，所以可以证明AEBAFD，所以SAEB=SAFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积【解答】解：四边形ABCD为正方形，D=ABC=90，AD=AB，ABE=D=90，EAF=90，DAF+BAF=90，BAE+BAF=90，DAF=BAE，在AEB和AFD中AEBAFD（ASA），SAEB=SAFD，它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16故选：A【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题需注意：在旋转过程中一定会出现全等三角形，应根据所给条件找到6（3分）下列各式中，正确的是（）ABCD【分析】利用分式的基本性质化简各项得到结果，即可作出判断【解答】解：A、=，本选项错误；B、=，本选项错误；C、=，本选项错误；D、=，本选项正确故选：D【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键7（3分）与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）A三条中线的交点B三条角平分线的交点C三条高的交点D三边的垂直平分线的交点【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得【解答】解：如图：OA=OB，O在线段AB的垂直平分线上，OB=OC，O在线段BC的垂直平分线上，OA=OC，O在线段AC的垂直平分线上，又三个交点相交于一点，与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点故选：D【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质；题目比较简单，只要熟知线段垂直平分线的性质即可分别思考，两两满足条件是解答本题的关键8（3分）将一个四边形纸片依次按图示、的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪成样式将纸片展开铺平，所得到的图形是图中的（）ABCD【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现【解答】解：严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形故选：A【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力9（3分）若关于x的方程=+2产生增根，则m的值是（）A2B0C1D1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x2=0，求出x的值代入整式方程即可求出m的值【解答】解：分式方程去分母得：x1=m+2x4，根据题意得：x2=0，即x=2，代入整式方程得：21=m+44，解得：m=1故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程有增根即为最简公分母为010（3分）如图，有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片9张和长宽为a、b的长方形卡片6张现使用这16张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为（）Aa+3bB3a+bC2a+2bD4ab【分析】可分别计算出这16张卡片的总面积，其和为一完全平方公式，可求得大正方形的边长【解答】解：由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，a2+6ab+9b2=（a+3b）2，新正方形边长为a+3b故选：A【点评】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11（3分）当x2时，分式有意义【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，求出x的值【解答】解：根据分式有意义的条件可得2x0，解得x2，故答案为：2【点评】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件分式有意义的条件是分母不等于零若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0这两个条件缺一不可12（3分）分解因式：mxmy=m（xy）【分析】直接提公因式m，然后整理即可【解答】解：mxmy=m（xy）【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解此题应先提公因式，即可求得结果13（3分）当x时，分式的值为正【分析】根据分式的值为正可得2x30，再解即可【解答】解：由题意得：2x30，解得：x，故答案为：【点评】此题主要考查了分式的值，关键是掌握两数相除，同号得正，异号得负14（3分）已知=，分式的值为【分析】根据=可得b=2a，然后再代入分式求值即可【解答】解：=，b=2a，=，故答案为：【点评】此题主要考查了分式的值，分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径15（3分）若x2+mx12=（x+3）（x+n），则m的值1【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可【解答】解：已知等式整理得：x2+mx12=（x+3）（x+n）=x2+（n+3）x+3n，m=n+3，12=3n，解得：m=1，n=4，故答案为：1【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键16（3分）如图，ABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，DBC的周长是24cm，则BC=10cm【分析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD=BD，于是将BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答【解答】解：CDBC=24cm，BD+DC+BC=24cm，又MN垂直平分AB，AD=BD，将代入得：AD+DC+BC=24cm，即AC+BC=24cm，又AC=14cm，BC=2414=10cm故填10【点评】本题考查了垂直平分线的性质；此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用17（3分）如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处，且点A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为3cm【分析】由题意得AE=AE，AD=AD，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长【解答】解：将ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处，所以AD=AD，AE=AE则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+AD+AE，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm故答案为：3【点评】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系18（3分）小睿同学在探究性课题的研究中发现了正多边形的一个规律：下面四个图分别是正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE和正n边形ABCDEF，点M、N分别是相邻两条边上的点且满足BM=CN，连接AM、BN，相交于点P，小睿通过证明ABM和BCN全等，分别得到了在正三角形ABC中，APN=60；在正方形ABCD中，APN=90，在正五边形ABCDE中，APN=108，请沿着小睿的思路，尝试计算在正n边形ABCDEF中，APN=（用含有n的代数式表示）【分析】本题是变式拓展题，需要从证明ABMBCN中寻找解题方法【解答】解：结论：APN=理由：在ABM和BCN中，ABMBCNBAM=CBNAPN=BAM+ABN=CBN+ABN=ABC=故答案为【点评】本题综合考查全等三角形、等边三角形和正多边形的有关知识注意对三角形全等性质的运用及学会对问题的拓展，属于中考常考题型三、解答题（共9小题，满分46分）19（4分）计算（）1+|3|+（2）0+（1）2【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果【解答】解：原式=2+3+1+1=7【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（4分）计算：（a2）【分析】首先把分母分子分解因式，根据分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘把算式统一成乘法，然后再约分，后相乘即可【解答】解：原式=（a2），=2（a2），=42a【点评】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分21（4分）先化简，再求值：，其中m=9【分析】原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除数分母利用完全平方公式分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=，当m=9时，原式=【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式22（4分）解方程：【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x+5=10，解得：x=5，经检验x=5是增根，分式方程无解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根23（4分）=【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：25（x2）=x1，去括号得：25x+10=x1，移项合并得：6x=13，解得：x=，经检验x=是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验24（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，ABED，AB=CE，BC=ED求证：AC=CD【分析】根据ABED推出B=E，再利用SAS判定ABCCED从而得出AC=CD【解答】证明：ABED，B=E在ABC和CED中，ABCCEDAC=CD【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显25（6分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【分析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数乙工厂单独加工完成这批产品的天数=10列出方程【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得=10，解得：x=40经检验：x=40是原方程的根，且符合题意所以1.5x=60答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品【点评】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键注意分式方程一定要验根26（8分）如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC（1）尺规作图：在AD上标出一点P，使得点P到点B和点C的距离相等（不写作法，但必须保留作图痕迹）；（2）过点P作PEAB于点E，PFAC于点F，求证：BE=CF；（3）若AB=a，AC=b，则BE=，AE=【分析】（1）作线段BC 的垂直平分线与AD的交点即为所求（2）只要证明PEBPFC即可（3）只要证明PAEPAF，推出AE=AF，设BE=CF=x，则有ax=b+x，解方程即可解决问题【解答】解：（1）作线段BC的垂直平分线交AD于P点P就是所求的点（2）连接PB、PCPAB=PAF，PEAB，PFAC，PE=PF，在RtPEB和RtPFC中，PEBPFC，BE=CF（3）设BE=CF=x，在RtPAE和RtPAF中，PAEPAF，AE=AF，ABBE=AC+CF，ax=b+x，x=，BE=，AE=ABBE=a=，故答案为，【点评】本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会把问题转化为方程去解决，属于中考常考题型27（6分）如图甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直，数量关系为相等当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）【分析】（1）根据正方形的性质得到BAC=DAF=90，推出DABFAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形ADEF的性质可推出DABFAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，ACF=ABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）过点A作AGAC交CB或CB的延长线于点G，于是得到GAC=90，可推出ACB=AGC，证得AC=AG，根据（1）的结论于是得到结果【解答】解：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC，CF=BD，B=ACF，ACB+ACF=90，即CFBD；故答案为：垂直、相等；成立，理由如下：FAD=BAC=90BAD=CAF在BAD与CAF中，BADCAF，CF=BD，ACF=ACB=45，BCF=90CFBD；（2）当ACB=45时，CFBD（如图）理由：过点A作AGAC交CB的延长线于点G，则GAC=90，ACB=45，AGC=90ACB，AGC=9045=45，ACB=AGC=45，AC=AG，在GAD与CAF中，GADCAF，ACF=AGC=45，BCF=ACB+ACF=45+45=90，即CFBC【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，过点A作AGAC交CB的延长线于点G构造全等三角形是解题的关键附加题28（6分）请同学观察222=2（21）=2，2322=22（21）=22，2423=23（21）=23（1）写出表示一般规律的等式2n+12n=2n（21）=2n；（2）根据所总结的规律计算2102928222=2【分析】根据题意找出数字的变化规律，解答即可【解答】解：（1）表示一般规律的等式：2n+12n=2n（21）=2n；（2）2102928222=2928222=28222=2，故答案为：2n+12n=2n（21）=2n；