上海市2017年高三数学-排列组合-二项式-概率统计复习题(含解析)沪教版

排列组合二项式概率统计概念：1、排列数：2、组合数：，规定。3、组合数的性质：， ， ， 。4、排列与组合的关系5、二项式定理：6、 的指数与组合数的上标一致。7、 二项展开式的各二项式系数之和二项展开式的奇数项之和偶数项之和8、 总体平均数9、 总体中位数的意义：从小到大的次序排列，位于正当中位置的数是中位数，当为偶数时，当中位置的两个数的平均数是总体中位数10、 总体方差= 11、样本方差(总休标准差的点估计值)：12、随机抽样(抽签法、随机数表法):13、系统抽样:等间隔抽样，(每一个间隔抽取一个)14、分层抽样:按比例抽样，比例 (一)排列与组合1、在一块并排10垄的田地中，选择两垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一 垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6 ，不同的种植方法共有多少种？解：第一步：选垄 ，分类完成。若有第一垄 ，则有（1，8）、（1、9）、（1、10）共3种选法；若有第二垄 ，则有（2、9）、（2、10）共2种选法；若有第三垄 ，则有（3、10）共1种选法。故共有3+2+1=6种选法。 第二步：种植，对于选定的两垄 ，有（A、B）、（B、A）两种种植方法。 所以，不同的种植方法共有62=12种。2、用五种不同的颜色给如图A，B，C，D的四个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色方法有多少种？ADCBABCDABCD(1) (2) (3)解：（1）依次选择A，B，C，D四个区域的颜色，涂色方法共有：5444=320种 （2）依次选择A，B，C，D四个区域的颜色，涂色方法共有：5434=240种 （3）分两类A，C同色与A，C不同色，共有544+5433=80+180=260种方法3、正整数集合的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为K的等差数列，则并集中元素有多少个？解析：151个。中最小元素为1，公差为17，对应中最小元素为1，公差为59，对应 17与59互质，最小公倍数为1759=1003，所以两等差数列的公共项为：1，1004，2007共有3个数，所以并集中元素为119+35-3=151个。4、六本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？（1）分给甲乙丙三个，每人两本；（2）分为三堆，每堆两本；（3）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一本两本，一人三本.解：（1）从6本不同的书取2本分给甲的分法有 种，从余下4本书中取出2本给乙的分法有,最后两本给丙的分法有,故所求的不同分法有=90(种) （2）设分为三堆，每堆两本的分法种数为x。因为将6本书平均分给甲、乙、丙三人，每人两本可分成两步，第一步是把6本书分成三堆，每堆两本，第二步再把三堆书分给甲、乙、丙三人，故由分步计数原理，得=x，从而x=15（种）。 （3）因为每堆本数不同，所以可认为它是有确定对象的分线组，可分三步完成，由分步计数原理可知，所求的不同分法有=60（种） （4）因为未确定准得一本、两本、三本，故可分成两步完成，第一步：先分堆，一堆一本，一摊两本，一堆三本；第二步将分开的三堆分给甲、乙、丙三人，所以所求的不同的分法有=360（种）(二、二项式)5、求的二项展开式中的系数；解：第令所以，的系数是6、求的展开式中的系数；解：在的展开式中和的系数分别为和，故的展开式中的系数为7、求的展开式中常数项；解：常数项为8、求的展开式中项系数解：各项中项系数相加得：9、.在二项式的展开式中，（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解:（1） n=7或n=14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，且；当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8,，且；（2） n=12设Tk+1项系数最大， 9.4k10.4 k=1010 证明能被26整除（为大于1的偶数）解：证明：因为而因为为大于1的偶数所以能被26整除所以能被26整除11、求除以9所得的余数解：则当奇数时，原式它被9除的余数为7；当偶数时，原式它被9除的余数是0，即能被9整除(三)、概率12、两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本，将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_（2006年上海卷）解：13、在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两数字都是奇数的概率是_。解：（从剩下的两个数分析）14、在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2），F（3，3）中任取3个，则这3个点能构成三角形的概率是_。解：所给的六个点中，A、C、E、F四点共线，B、C、D三点共线，所以六个点共能构成CCC=15个三角形，而从六个点中任取三个共有C=20种情况，所以所求概率为。15、在集合0，1，2，3，4，5中任取3个不同元素作为直线Ax+By+C=0的系数，在所有不同直线中任取一条直线，则该直线经过原点的概率是_。解：6个元素中任取3个不同元素，共有P种取法，其中三个元素为0，1，2与三个元素为0，2，4时对应的直线重合，所以不同直线共有PP3条，直线过原点则C=0，共有PP2条，所以所求概率为。16、若A，B，C，D，E五人随机地乘坐两辆出租车，每辆车最多能乘坐4人，则A，B，C在同一辆车，D，E在另一辆车上的概率为多少？解：据题意，5人可能某4人在一车上，剩下的1人在另一辆上，也可能某3人在一车上，剩下的2人在另一车上，所以总的可能结果为：（C，所求概率P=。17、已知直线L：x+3y+1=0，A=n|0n0）中的a，b，r，则使圆心与原点的连线恰好垂直于L的概率为_。解：当圆心与原点的连线垂直于L时， 此时可能a=1，b=3；a=2，b=6；a=3，b=9三种搭配， 当a，b确定后，半径r有7种选择，所以满足条件的圆有37=21个，所以概率P=。(四)、抽样与方差18、数据平均数为6，标准差为2，则数据的平均数和方差分别为_.解：平均数为6，方差为16. （注意标准差与方差的关系）19、某校在高中三个年级采用分层抽样法抽取与一个容易为45人的样本，已知高一年级被抽取20人，高三年级补抽取10人，高二年级共有学生300人，则该校高中学生的总数为_。解：本题显然属于分层抽样，因此，抽取的样本容易与总体之间存在着比例关系，先求出高二年级被抽取的人数，从而得到抽样时每个人被抽取的概率。依题意，高二年级被抽取的人数为452010=15(人)。抽样中每个人被抽取的概率为，于是高一年级有(人)；高三年级有(人)。故该校共有高中学生900人。20、一个容量为20的样本，数据的分组与几个组的频数如下：.则样本在区间上的频率为_.解：所求频率为21、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）甲108999乙1010799如果甲、乙两人只有一人入选，则入选的应是_.解： 甲的平均数为=（10+8+9+9+9）=9，乙的平均数为=（10+10+7+9+9）=9，甲的方差为=，乙的方差，说明乙的波动性大，故甲入选。22、从一个养鱼池中捕得m条鱼，作上记号后再放入池中，数日后又捕得n条鱼，其中k条有记号，估计池中有_条鱼。解：设池中有N条鱼，第一次捕得m条做上记号后放入水池中，则池中有记号的鱼占；第二次捕得n条，则这n条鱼是一个样本，其中有记号的鱼占。我们用样本来估计总体分布，令 =，所以N=23.设有一样本其标准差为,另一样本其中,其标准差为,求证: 证明：而所以24.下列问题中，分别采用什么抽样方法抽取样本较为合适？从20台彩电中抽取4台进行质量检验；科学会堂有36排座位，每排各有40个座位，座位号为140，一次报告会坐满了听众，会后为了听取意见，抽取一个容易为36的样本；某学校共有教师250人，其中不到40岁的150人，40岁及以上的100人，为了了解普通话在该校教师中的推广普及情况，抽取一个容易为45的样本。解：由于总体的个体数较少，所以可用简单随机抽样的方法抽取样本。由于总人数较多，且各排人数一样多，所以用系统抽样的方法较为合适（用简单随机抽样的方法在第一排抽取一个观众，然后将其他各排与第一排抽出的观众座位号相同的观众都抽出）。由于不同年龄层次的教师的普通话水平存在差异，所以宜采用分层抽样的方法抽取样本（在不到40岁的教师中抽出150人，在40岁以上的教师中抽出18人，在两层中抽样时采用简单随机抽样的方法）。25.班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学测验中的成绩如下：分组平均成绩标准差第一组906第二组804求全班的平均成绩和标准差。解：设全班平均成绩为，全班成绩的方差为，则所以=所以s=26某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如0.060.180.340.360.04141516171819130.02秒频率/组距O下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；，第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y的值分别是 解：27如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为 解：设前三小组的频率依次为，则，所以由得，即抽取的学生人数是.28北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如右图所示.由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是A. 第一季度B.第二季度C.第三季度D.第四季度解：从题设中提供的图像及数据分析可以看出：第二季度的三个月中PM2.5的平均浓度指数较为平缓，差异不大较为整齐，因此其方差最小，答案B。29为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.图中,课程为人文类课程，课程为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).()在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？()某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组M”中选择F课程或G课程的同学，并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动. 选择F课程的学生中有人参加科学营活动，每人需缴纳2000元，选择G课程的学生中有人参加该活动，每人需缴纳1000元.记选择F课程和G课程的学生自愿报名人数的情况为，参加活动的学生缴纳费用总和为S元.()当S=4000时，写出的所有可能取值；()若选择G课程的同学都参加科学营活动，求S4500元的概率.解： ()选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)1%=12(人)；选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)1%=8(人).()()当缴纳费用S=4000时，只有两种取值情况：;()设事件若选择G课程的同学都参加科学营活动，缴纳费用总和S超过4500元.在“组M”中，选择F课程和G课程的人数分别为3人和2人.由于选择G课程的两名同学都参加，下面考虑选择F课程的3位同学参加活动的情况.设每名同学报名参加活动用a表示，不参加活动用b表示，则3名同学报名参加活动的情况共有以下8种情况：aaa，aab，aba，baa，bba，bab，abb，bbb.当缴纳费用总和S超过4500元时，选择F课程的同学至少要有2名同学参加，有如下4种：aaa，aab，aba，baa.所以，.30某商店会员活动日.（）随机抽取50名会员对商场进行综合评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50），50，60）,80,90），90,100.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计会员对商场的评分不低于80的概率.（）采取摸球兑