一致收敛的概念和判别法

高等微积分讲义 7.1 第第7讲 一致收敛的概念与判别法讲 一致收敛的概念与判别法 所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数， 也就是说是无 穷多个函数求和的问题，研究函数项级数主要回答下列几个问题： 1. 收敛区域，即对于函数项级数： ( ) 1 n n ax = ，x在什么范围内级数是收敛的？ 这一问题是平凡的，因为对于给定x，由数项级数之收敛性即可判别级数的收敛性，从 而确定x之收敛域。 2. 设( )( ) 1 n n S xax = =是收敛的， 若( ) n ax均为连续函数，问( )S x是否连续？ 回答是不一定。例如：当1x ，(),0N x，当nN时，有( )( ) n fxf x，( )0N，当，当nN时，时，x X X，有，有( )( ) n fxf x， 1 2 N = ，nN时，(),x ，均有： ( )( ) n fxf x，( )0N，当nN时，x X X，有( )( ) n fxf x，0N，当nN时，有( )( ) n fxf x， 所以，x X X，有( )( )( )( )sup nn x fxf xfxf x ，当,m nN时，x X X，有( )( ) mn fxfx，( )0N，当nN时，x X X，p NN，有( )( ) 1nnp axax + +时， n M，使得：( ) nn axM，对x X X成立， 并且级数 1 n n M = 收敛，则：( ) 1 n n ax = 在X X上一致收敛。 证明： 由条件， 1 n n M = 收敛，按照 Cauchy 收敛原理，有： 0 ，( )NN，当nN时，p NN，有 1nnp MM + +，( )0N，当nN时，x X X，有：( )6 n axM， 所以：p NN，有：( )( ) 1 22 66 np kk k n ax bxM MM + = + ，当nN时，x X X，p NN，有( ) 1 np k k n bx + = + ， 由 Abel 引理（设( ) n axM） 一致收敛的概念与判别法 7.8 ( )( )( )( ) 1 1 23 np kknnp k n ax bxaxaxM + + = + + 所以：( )( ) 1 nn n ax bx = 在X X上一致收敛。 证毕 例8. 由 Abel 判别法，若级数 1 n n a = 收敛，则 1 n n n a x = 在0,1上一致收敛。 高等微积分讲义 7.9 3 习题 习题 1. 讨论下列函数序列在给定区域的一致收敛性： 1) ( ) 2 2 1 n fxx n =+，x +； 2) ( ) 2nn n fxxx=，01x； 3) ( )()1 n n fxxx=，01x； 4) ( )ln n xx fx nn =，01x。 2. 讨论下列函数函数项级数在给定区域的一致收敛性： 1) () 1 1 n n x x = ，01x； 2) () () 1 2 2 1 1 1 n n n x x = + ，x +； 3) 344 1 sin n nx nx =+ ，x +； 4) 42 11n x n x = + ，x +； 5) 1 sinsin n nxx nx =+ ，02x； 6) ()() 22 1 11 n nx n e nx = + ，0 x），为一致收敛的级数。 4. 设( ) 0 fx在0,a上连续，又令( )( ) 1 0 x nn fxft dt =，求证( ) n fx在0,a上