弹性力学习题讲解

在建立弹性基本方程时，五个基本假设有什么用？回答：1。连续性假设：引用该假设后，物体中的应力、应变和位移等物理量可视为连续的。因此，当弹性力学的基本方程建立时，坐标的连续函数可以用来表示它们的变化规律。2.完全弹性假设：对完全弹性假设的引用还包括变形与变形引起的法向应力成比例的含义，即两者之间的关系是线性的，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性方程。3.同质性假设：在这种假设下，研究对象内部各点的物理性质明显相同。因此，弹性常数(例如，弹性模量e和泊松比等。)反映这些物理特性不会随着位置坐标而改变。4.各向同性假设：所谓的“各向同性”是指物体的物理性质在所有方向上都是相同的。此外，即使物体的弹性常数也不会随着方向而改变。5.小变形假设：当我们研究受力物体的平衡问题时，我们不需要考虑物体大小的变化，但仍然按照原来的大小和形状计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以省略其二次幂或乘积，从而将弹性力学中的微分方程简化为线性微分方程。在上述假设下，弹性力学问题都转化为线性问题，从而可以应用叠加原理。2-1已知薄板具有以下变形关系：在公式中，A、B、C和D是常数。试着检查变形过程中是否满足连续条件，如果满足，列出应力分量表达式。解决方案：1.兼容性条件：变形分量被带入变形协调方程(协调方程)其间因此，满足相容性方程和连续性条件。2.在平面应力问题中，由变形分量表示的应力分量是3.平衡微分方程其间如果平衡微分方程成立，就必须有分析：变形分量表示的应力分量满足相容方程和平衡微分方程的条件。如果要获得常数A、B、C和D，还需要应力边界条件。例2-2是一个具有如图所示矩形横截面的坝。它的右侧受到静水压力(水的密度为)，顶部受到集中力p。试着写出大坝的应力边界条件。解决方案：根据边界上的应力和表面力之间的关系左侧：右侧：上下端面是小的边界表面。应用圣维南原理，可以列出三个积分的应力边界条件。上端的面力简化为截面形心o，面力的主矢量和力矩分别如下Y=0坐标平面，应力主矢量的符号与表面力主矢量的符号相反；应力的主力矩与表面力的主力矩相反。因此下端面的表面力简化为截面形心d，主矢量和主力矩如下Y=l坐标平面，应力主矢量和主力矩的符号与表面力主矢量和主力矩的符号相同。因此分析：1 .对于平行于坐标轴的主边界，只能建立两个方程，平行于边界的应力分量不会出现。例如，在左侧和右侧，不要添加或。2.应力边界条件必须在大边界上精确满足。当小边界(次边界)上的应力边界条件不能精确满足时，可以应用圣维南原理近似满足应力边界条件，从而大大简化了问题的求解。应力合成的主向量(主力矩)的符号也可以由外力的主向量(主力矩)的方向决定。如果两个方向一致，标志将被移除，否则标志将被采用。2-8试着列出问题2-8的图(A)和图(B)中所示问题的所有边界条件在二次边界上，应用圣维南原理列出了三个积分的应力边界条件。当板的厚度大时，在小边界(次级边界)上，有位移边界条件：应用圣维南原理，两个位移边界条件可以用三个积分应力边界条件代替。2-17矩形截面悬臂梁在其自由端承受集中载荷F。如问题2-17所示，物理力可以忽略。根据材料力学公式，写出弯曲应力x和剪切应力xy的表达式，并取挤压应力y=0。然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，并说明这些表达式是否代表正确的解。解决方案：1.矩形悬臂梁经历弯曲变形。任意横截面上的玩具方程是，根据材料力学公式，横截面相对于Z轴(中性轴)的惯性矩是弯曲应力；该截面上的剪切力为剪应力；承受挤压应力。2.验证了上述表达式能够满足平衡微分平方平衡。也可以满足兼容性方程重新检查边界条件：应力边界条件应在以下主要边界上准确满足：可以满足。在二次边界上，列出了三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。在二次边界上，列出了三个积分的应力边界条件：满足压力条件。因此，它们是这个问题的正确答案。例3-1如图所示，矩形截面简支梁承受三角形分布荷载，测试应力函数求简支梁的应力分量(不包括物理力)。解决方案：1 .兼容性条件：代入应力函数给出：从这里应力函数可以改写为2.应力分量的表达式3.检查边界条件：确定应力分量中的每个系数以上几种的同时解决，得到然后根据简支梁的端部条件确定常数D、F。基于圣维南的原则可纳入公式(f)4.应力分量的表达式例3-2说明了悬臂梁。横梁的横截面为矩形，其宽度取为1。右端是固定的，左端是自由的。载荷从右端分布，其合力为P(不包括物理力)。计算梁的应力分量。解答：这是一个平面应力问题，用半逆方法求解。(1)选择应力函数。根据材料力学，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M(x)与截面位置的坐标x成正比，截面上某一点上的法向应力与该点的坐标y成正比，因此可按如下方式设置x=1xy (a)其中1是待定常数。将方程(a)与y积分两次可得=16xy3 yf1x f2(x) (b)其中f1x和f2(x)是x的待定函数，可由相容方程确定。将公式(B)代入相容方程4=0，对于d4f1(x)dx4y d4f2(x)dx4=0上述方程是y的一个基本方程，梁中的所有y值都应满足它，所以它的系数和自由项必须为零，即d4f1(x)dx4=0，d4f2(x)dx4=0积分由上述两个公式给出f1x=2x3 3x2 4x 5f2x=6x3 7x2 8x 9其中2-9是待定积分常数。将f1x和f2x代入方程(b)，应力函数为=16xy32x 33 x24x 5y6x 37x28x9。(c)(2)应力分量的表达x=1xy，y=62y 6x 23y 7xy=-121y2-32x2-23x-4(3)检查应力边界条件：为了确定每个系数，在自由端没有水平力；上部和下部没有负载；自由端的剪力之和为p，从而得到边界条件。xx=0=0，自然满足； xyy=h=0，导致-1h 22-32x 2-23x-4=0；上述公式应满足x的任何值，因此2=3=0，-1h22-4=0，即4=-1h22 yy=h=0，结果66x 27=0应该满足x的任何值，所以6=7=0。-hhxyx=0dy=-hh-121y2-1dy=-p将方程(e)代入上述方程的积分，得到-hh121y2-121h2dy=p计算出 1=-3P2H3=-PIZ， 1=-12 1 H2=12 PIZ H2其中Iz=12h312=2h3/3，截面对z轴的惯性矩。最终的应力分量是x=-PIxxy，y=0xy=-P2Ixh2-y2代入相容方程4x424x2y24y4=0显然满足。(2)应力分量的表达x=-12Fh3xy，y=0，xy=-3F2h1-4y2h2(3)边界条件：在y=h/2的主边界上，应精确确定应力边界条件yy=h/2=0，xy=-3F2h1-4y2h2=0在二次边界x=o，x=l上，应用圣维南原理，可以列出三个积分-h/2h/2 xx=0和ldy=0 (a)的应力边界条件。-h/2h/2xx=0ydy=0，-h/2h/2xx=lydy=-Fl (b)-h/2h/2xyx=0，ldy=-F (c)对于如图所示的矩形板和坐标系，当上述应力出现在板中时，从应力边界条件表达式(a)(b)和(c)可以看出，在上侧和下侧没有表面力；在边界的左侧，有一个垂直力。在边界的右侧，有线性变化的水平力，并结合成两个力和垂直力。因此，可以解决悬臂在自由端受到集中力的问题。3-6问题3的图3-6中所示的墙的高度为H，宽度为B和B，hb，并且在两侧受到均匀分布的剪力Q。应力分量通过使用函数=AXYBX3Y求解。解决方案：(1)兼容性条件将应力函数代入相容性方程4=0，其中4x4=0,4y4=0,4x2y2=0。显然，相容性方程是满足的。(2)应力分量的表达x=2y2=0,y=2x2=6bxy,xy=-2xy=-a-3bx2(3)检查边界条件，在主边界x=b/2上，有两个边界条件需要精确满足，即xx=b2=0，xyx=b2=-q在次边界y=0上， yy=0=0和 yxy=0的条件不能完全满足(否则只有A=B=0)，可以用积分应力边界条件代替。-b/2b/2yxy=0dx=0。(4)将每个应力分量代入边界条件，得到A=-q2，B=2qb2应力分量是x=0，y=12qb2xy，xy=q21-12x2b23-7单位厚度悬臂梁在左端受到集中力和力矩，物理力可以忽略。标题的图3-7中显示了lh。尝试用应力函数=AxyBy2Cy3Dxy3求解应力分量。lh,=1解决方案(1)兼容性条件将=axyby2cy3dxy3代入相容性方程式显然满足。(2)应力分量的表达x=2y2=2b 6cy 6dxy,y=2x2=0,xy=-2xy=-a 3d y2(3)考察边界条件，在主边界y=h/2上，有两个边界条件需要精确满足yy=h2=0，yxy=h2=0获得34Dh2=0 (a)在第二边界x=0上，只给出了表面力的主矢量和主力矩，而用三个积分应力边界条件代替，应用圣维南原理。请注意，x=0是负x平面，因此获得-h/2h/2xx=0dy=-FN，导致B=-Fn2h；-h/2h/2xx=0ydy=-M，导致C=-2Mh3-h/2h/2xyx=0dy=-Fs，产生Ah 14Dh3=Fs (b)由公式(a)(b)求解A=-3Fs2h，D=-2Fsh3在满足平衡微分方程和上述边界条件的条件下，最后一个次级边界条件(在x=1上)是必须满足的，因此不需要进一步检查。代入应力公式得到x=-FnH-12mh 3y-12f h3xyy=0，xy=-3Fs2h1-4y2h23-9假设图3-9中的简支梁仅受重力影响，梁的密度为。尝试教科书3-4中的应力函数(E)求解应力分量，并在横截面上画出应力分布图。xyyx解决方案(1)应力函数为=x22ax2 by2 cy d xey 3 fy2gy-a10y 5-b6y 4 hy3 ky2a(2)应力分量的表达x=X226 y 2B x6Ey 2F-2Ay 3-2By 2 6Hy 2K by=Ay3 By2 Cy D-gy cxy=- x3Ay2 2By C-3Ey2 2Fy G d这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。因此，如果适当的常数A，B， B，可以选择K，以便满足所有边界条件，应力分量方程(b)、(c)、(d)是正确的解。(3)考虑对称性。由于yz平面是梁和载荷的对称平面，应力分布应与yz平面对称。x和y是x的偶数函数，xy是x的奇数函数，所以我们可以从方程(b)和(d)中看出E=F=G=0(4)检查边界条件：在主边界y=h/2上，应准确满足应力边界条件yy=h2=0，yxy