偏微分方程数值解试卷_第1页
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文档简介

一、（10分）简叙偏微分方程数值解研究的内容。建立一个偏微分方程数值格式，需要研究和讨论哪些问题？一个好的数值格式应该到达哪些要求？二、（10分）简叙用差分方法求解偏微分方程数值解的方法和步骤。三、（10分）请解释收敛性、稳定性、相容逼近性三个概念。它们之间有何区别和联系？四对如下两点边值问题： 将区间0，1作剖分：， （1） 在上述网格剖分下建立中心差分格式； （10分）（2） 写出局部截断误差；并问当网格剖分满足什么条件时，上述差分格式的误差阶为2； （10分） （3） 利用极值定理证明解的存在唯一性。 （10分） 四、 （1） 中心差分格式： （2） 局部截断误差： 显然当剖分为等距时，误差阶为2 （3） 用极值定理证存在唯一性： 只需证明齐次（边值与右端恒零）问题只有平凡解。实际上，设是齐次问题的解，则由极值定理，既不能在区间内部取正的极大，也不能取负的极小，因此。七已知两点边值问题： （A）（1） 写出问题（A）的虚功原理（含证明）； （25分）（2） 写出建立线性有限元方程组的主要步骤； （10分）（3） 对于线性有限元方程组，设产生扰动，产生扰动，由此引起产生扰动，说明与，之间的关系。（5分）七 （1） （A） 检验函数空间为：，本题中检验函数空间与 试探函数空间相同。对有： （2分） 从而问题（A）变分问题可描述为：求使得 对 成立。 （B）（2分）问题（A）虚功原理可描述为：设 ，是问题（A）的解是问题（B）的解（4分）证明：必要性：是问题（A）的解是问题（B）的解（由上述推导易知） 充分性：是问题（A）的解是问题（B）的解 ,从而 由变分法基本引理知：。且，因此 （7分）（2） 出建立线性有限元方程组的主要步骤； Step1 对区间 0，1 进行网格剖分，设剖分步长为h；. Step2 构造形状函数；Step3 计算单元刚度矩阵和单元载荷向量；Step4 组装单元刚度矩阵为总刚度矩阵（设为），组装单元载荷
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