偏微分方程数值习题解答

- - 李微分方程数值解习题解答李微分方程数值解习题解答 1-11-1 如果如果，则称，则称是是的的0)0( 0 x)(xJ 驻点（或稳定点）驻点（或稳定点）. .矩阵矩阵对称（不必正定）对称（不必正定） ，A 求证求证是是的驻点的充要条件是：的驻点的充要条件是：是是 0 x)(xJ 0 x 方程组方程组 的解的解bAx 证明证明: :由由的定义与内积的性线性性质的定义与内积的性线性性质, ,得得 )( ),(),( 2 1 )()( 0000 xxbxxxxAxxJ ),( 2 ),()( 2 00 xAxxbAxxJ ),(),()( 0 xAxxbAx 必要性必要性: :由由, ,得得, ,对于任何对于任何, ,有有0)0( n Rx , ,0),( 0 xbAx 由线性代数结论知由线性代数结论知, , bAxbAx 00 , 0 充分性充分性: : 由由, ,对于任何对于任何, ,bAx 0 n Rx 0| ),(),()0( 00 xAxxbAx 即即 是是的驻点的驻点. . 0 x)(xJ 1-21-2 补充补充: : 证明证明的不同的广义导数几乎处处的不同的广义导数几乎处处)(xf 相等相等. . - - 证明证明: :设设, ,为为的广义导的广义导)( 2 ILf )(, 2 21 ILgg)(xf 数数, ,由广义导数的定义可知由广义导数的定义可知, ,对于任意对于任意 , ,有有)()( 0 ICx b a b a dxxxfdxxxg)()()()( 1 b a b a dxxxfdxxxg)()()()( 2 两式相减两式相减, ,得到得到 )(0)()( 021 ICxgg b a 由变分基本引理由变分基本引理, ,几乎处处为零几乎处处为零, ,即即 21 gg 几乎处处相等几乎处处相等. . 21,g g 补充补充: :证明证明的连续性条件的连续性条件(1.2.21),(vua 证明证明: 设设,由由不等式不等式 | )(| ,| )(|MxqMxpSchwarz | . | . |)(| ),(| vuMvuMdxquvvpuvua b a ,其中其中 11 * | .|2vuM,max * MMM 习题习题: : 1 1 设设为为的一阶广义导数的一阶广义导数, ,试用类试用类)( xf)(xf 似的方法定义似的方法定义的的 阶导数阶导数) )(xfk,.2 , 1( k 解解: :一阶广义导数的定义一阶广义导数的定义, ,主要是从经典主要是从经典 导数经过分部积分得到的关系式来定义导数经过分部积分得到的关系式来定义, ,因因 此可得到如下定义此可得到如下定义: : - - 对于对于, ,若有若有, ,使得对使得对)()( 2 ILxf)()( 2 ILxg 于任意的于任意的, ,有有)( 0 IC b a kk b a dxxxfdxxxg)()() 1()()( )( 则称则称有有 阶广义导数阶广义导数, ,称为称为的的 阶阶)(xfk)(xg)(xfk 广义导数广义导数, ,并记并记 k k dx fd xg)( 注注: :高阶广义导数不是通过递推定义的高阶广义导数不是通过递推定义的, ,可可 能有高阶导数而没有低阶导数能有高阶导数而没有低阶导数. . 2.2.利用利用的完全性证明的完全性证明是是)( 2 IL)()( 1 IHIH m 空间空间. .Hilbert 证明证明: :只证只证的完全性的完全性. .设设为为的基的基)( 1 IH n f)( 1 IH 本列本列, ,即即 0| 0 01 mnmnmn ffffff 因此知因此知都是都是中的基本列中的基本列( (按按, nn ff)( 2 IL 的范数的范数).).由由的完全性的完全性, ,存在存在)( 2 IL)( 2 IL , ,使使)(, 2 ILgf , ,以下证明以下证明0| , 0| 0 0 gfff nn ( (关键证明关键证明) )0| 1 ffn dx df g 由由不等式不等式, ,有有Schwarz 00 | .| )()()(|ffxxfxf n b a n - - 00 |)()()(|ffdxxxgxf n b a n 对于任意的对于任意的, ,成立成立)()( 0 ICx b a b a n n dxxxfdxxxf)()()()(lim b a b a n n dxxxgdxxxf)()()()(lim 由由 b a n b a n dxxxfdxxxf)()()()( 取极限得到取极限得到dxxxfdxxxg b a b a )()()()( 即即, ,即即, ,且且 )(fxg)( 1 IHf 0| 0 01 ffffff nnn 故故中的基本列是收敛的中的基本列是收敛的, ,是完全的是完全的. .)( 1 IH)( 1 IH 3.3.证明非齐次两点边值问题证明非齐次两点边值问题 证明证明: :边界条件齐次化边界条件齐次化 令令, ,则则满足齐次边界满足齐次边界)()( 0 axxu 0 uuw 条件条件. . 满足的方程为满足的方程为, ,w 00 LufLuLuLw - - 即即 对应的边值问题为对应的边值问题为w (P)(P) 0)(, 0)( 0 bwaw LufLw 由定理知由定理知, ,问题问题 与下列变分问题等价与下列变分问题等价P 求求)(min)(, * * 12 * 1 wJwJHCw E Hw E 其中其中. .而而),(),( 2 1 )( 0 * wLufwwawJ CuuauLuuJ uuLufuuuuawJ ),(),()( ),(),( 2 1 )( 00 0000 * 而而 200 )()(),(),(CbubpuuauLu 从而从而 * )()()( )(CbubpuJwJ 则关于则关于 的变分问题的变分问题 等价于等价于: :求求wP )(, 12 * auHCu 使得使得 )(min)( )( * 1 uJuJ au Hu 其中其中)()(),(),( 2 1 )(bubpufuuauJ 4 4 就边值问题（就边值问题（1.2.281.2.28）建立虚功原理）建立虚功原理 解解: :令令, , ,则则 满足满足)( 0 axu 0 uuww 0)(, 0)( 00 bwaw LufLuLuLw - - 等价于等价于: : 1 E Hv 0),(),( 0 vLufvLw 应用分部积分应用分部积分, , b a b a b a dx dx dv dx dw pv dx dw pvdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)(),( 还原还原 , ,u )()(),(),(),(),( ),(),(),(),( 00 0 bvbpvfvuavuavLu vfvuavLufvwa 于是于是, ,边值问题等价于边值问题等价于: :求求, ,使使)(, 1 auHu 得得, ,成立成立 1 E Hv 0)()(),(),(bvbpvfvua 注注: :形式上与用形式上与用 去乘方程两端去乘方程两端, ,应用分部积应用分部积v 分得到的相同分得到的相同. . 5 5 试建立与边值问题试建立与边值问题 等价的变分问题等价的变分问题. . 解解: :取解函数空间为取解函数空间为, ,对于任意对于任意)( 2 0 IH)( 2 0 IHv 用用 乘方程两端乘方程两端, ,应用分部积分应用分部积分, ,得到得到v - - 0),(),( 4 4 vfu dx ud vfLu 而而 b a b a b a dx dx dv dx ud v dx ud vdx dx ud v dx ud .|),( 3 3 3 3 4 4 4 4 dx dx vd dx ud dx dx vd dx ud dx dv dx ud b a b a b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 上式为上式为),( 2 2 2 2 vfdxuv dx vd dx ud b a 定义定义, ,为双线性形式为双线性形式. .dxuv dx vd dx ud vua b a ),( 2 2 2 2 变分问题为变分问题为: :求求, ,)( 2 0 IHu)( 2 0 IHv ),(),(vfvua 1-41-4 1.1.用用方法求边值问题方法求边值问题GalerkinRitz 1) 1 (, 0)0( 10 2 uu xxuu 的第的第 次近似次近似, ,基函数基函数n)(xun nixix i ,.,2 , 1),sin()( 解解:(1):(1)边界条件齐次化边界条件齐次化: :令令, , ,xu 00 uuw 则则 满足齐次边界条件满足齐次边界条件, ,且且w 0) 1 (, 0)0( 2 0 ww xxLuLuLw - - 第第 次近似次近似取为取为, ,其中其中n n w n i iin cw 1 满足的满足的方程为方程为),.2 , 1(niciGalerkinRitz njxxca j n i iji ,.,2 , 1),(),( 2 1 又又 xdjxix ij dxxjxi dxxjxiijdxa jijiji )cos()cos( 2 )sin()sin( )cos()cos()(),( 1 0 1 0 2 1 0 jxixsinsin 2 1 由三角函数的正交性由三角函数的正交性, ,得到得到 ji ji i a ji , 0 , 2 1 2 ),( 22 而而 1) 1( )( 2 )sin() 1(),( 3 1 0 2 j j j dxxjxxxx 于是得到于是得到 为偶数 为奇数 j j jj a xx c jj j j 0 )1 ()( 8 ),( ),( 223 2 最后得到最后得到 2 1 1 233 ) 12(1 ) 12( ) 12sin(8 )( n k n kk xk xxu - - 2.2.在题在题 1 1 中中, ,用用代替右边值条件代替右边值条件, ,0) 1 (u 是用是用方法求解相应问题的方法求解相应问题的)(xunGalerkinRitz 第第 次近似次近似, ,证明证明按按收敛到收敛到, ,并并n)(xun) 1 , 0( 2 L)(xu 估计误差估计误差. . 证明证明: : 对应的级数绝对收敛对应的级数绝对收敛, ,由由的完的完 n usinxi 全性知极限就是解全性知极限就是解, ,其误差估计为其误差估计为)(xu 33 8 n Rn 3.3.就边值问题就边值问题(1.2.28)(1.2.28)和基函数和基函数 ,写出写出),.,2 , 1()()(niaxx i i GalerkinRitz 方程方程 解解:边界条件齐次化边界条件齐次化,取取,)( 0 axu , 对应的微分方程为对应的微分方程为 0 uuww 0)(, 0)( 00 bwaw LufLuLuLw 对应的变分方程为对应的变分方程为 0),(),( 0 vLufvwa )()( 0 0 0 axq dx dp qu dx du p dx d Lu b a b a dxxpvbvbpv dx dp )()()( 变分方程为变分方程为 dxvquxpvbvbpvfvwa b a )()()(),(),( 0 - - 取取,则则方程方程niaxx i i ,.,2 , 1,)()(Galerkin-Ritz 为为 b a i b a ii n j jji dxaxxqdxaxixp bbpfca )()()()( )()(),(),( 1 1 b a jijiji dxqpa),( 取取,具体计算具体计算1, 0, 1fqp , 1n)(1),( 11 abdxa b a , 22 1 )( 2 1 )()()( 2 1 ababababd ,即解即解)( 2 1 1 abc)( 2 1 01 axuu :2n 2 2111 )()(2),(),(),(abdxaxaaba b a 32 22 )( 3 4 )(4),(abdxaxa b a 3223 22 2 )( 3 1 )()()( 3 1 )(2)()( abababab dxaxabdxaxd b a b a 得到方程组为得到方程组为 - - 3 2 2 1 32 2 )( 3 1 )( 2 1 c )( 3 4 )( )( ab ab c abab abab 特别取,有1, 0ba 3 1 2 1 3 4 1 11 2 1 c c 求解得到1, 2 1 , 6 1 3 1 122 ccc 其解为 2 02 )( 2 1 )(axaxuu C Ch2 椭圆与抛物型方程有限元法椭圆与抛物型方程有限元法 1.1 用线性元求下列边值问题的数值解用线性元求下列边值问题的数值解: 10, 2 sin2 4 2 xxyy 0) 1 (, 0)0( yy 此题改为此题改为4/1, 0) 1 ()0(, 1 hyyyy 解解: 取取,为未知数为未知数.2/1h)2 , 1 , 0( jjhxj 21,y y 形式的变分方程为形式的变分方程为,Galerkin),(),(vfvLu 其中其中 , 1 0 2 1 0 4 ),(uvdxvdxuvLu 1 0 )( 2 sin2),(dxxxvvf 又又dxvudxvuvuvdxu 1 0 1 0 1 0 1 0 | - - 因此因此dxuvvuvua) 4 (),( 1 0 2 在单元在单元中中,应用仿射变换应用仿射变换(局部坐标局部坐标), 1iii xxI h xx i 1 节点基函数为节点基函数为 )3 , 2 , 1( , 0 , ,1 )( 1 1 1 i other xxx h xx xxx h xx x ii i ii i i 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 2 111 )1 ( 4 1 4 1 4 ),( 1 0 2 1 d h d h h dxa x x x x 取取,则计算得则计算得2/1h 12 4),( 2 11 a 12 2)1 ( 4 1 ),( 2 1 0 2 21 dh h a 1 0 1 0 1 )1)( 2 1 2 1 ( 2 sin)0( 2 sin2),( ddhhf 1 0 1 0 )1 ( 4 )1 ( sin 2 sin dd h dhf 1 0 2 ) 2 1 2 1 ( 2 sin2),( 代数方程组为代数方程组为 ),( ),( ),(),( ),(),( 2 1 2 1 2221 2111 f f y y aa aa - - 代如求值代如求值. . 取取, ,未知节点值为未知节点值为, ,方程为方程为4/1h 4321 ,uuuu 4 , 3 , 2 , 1),(),( 4 1 jfua j i iji 应用局部坐标应用局部坐标 表示表示, , 1 0 2 2 1 0 2 2 )1 ( 4 1 ) 4 1 (),( d h h d h h a jj 24 8 8 8 2 1 0 2 2 d d h h a jj )1 ( 4 1 ),( 1 0 2 1 96 4)1 ( 16 4 2 1 0 2 d 96 4),( 2 1 jj a 系数矩阵为系数矩阵为 96 4, 24 8 , 96 4 222 diagA 取取, ,1f 4 1