余数综合之余数问题解题技巧

余数综合之余数问题解题技巧余数综合之余数问题解题技巧 余数的性质余数的性质 1余数小于除数余数小于除数1.余数小于除数余数小于除数 2.带余除法：被除数除数商带余除法：被除数除数商+余数余数 3.余数的运算：余数的运算： （1）和的余数等于余数的和）和的余数等于余数的和 （2）积的余数等于余数的积积的余数等于余数的积（2）积的余数等于余数的积积的余数等于余数的积 4. 同余同余 （1）若两个整数）若两个整数a、b被自然数被自然数m除有相同的余数， 那么称 除有相同的余数， 那么称a、b关于关于m同余，同余， 用式子表示为：用式子表示为：ab (modm) （2）若两个数）若两个数a，b除以同一个数除以同一个数m得到的余数相同，得到的余数相同， 则则a，b的差一定能被的差一定能被m整除整除 用式子表示为用式子表示为：如果有如果有ab(modm)，用式子表示为用式子表示为：如果有如果有()， 那么一定有那么一定有abmk，k是整数，即是整数，即m|ab 5. 中国剩余定理中国剩余定理 逐级满足法逐级满足法逐级满足法逐级满足法 【例【例1】 （）我爱数学少年数学夏令营试题】 （）我爱数学少年数学夏令营试题 有有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果 把书全部分给第一组，那么每人 人。如果 把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人本，有剩余；每人5本，书不本，书不 够够。如果如果把书全分给第二组把书全分给第二组，那么每人那么每人3本本，有剩余有剩余；每人每人4本本，够够。如果如果把书全分给第二组把书全分给第二组，那么每人那么每人3本本，有剩余有剩余；每人每人4本本， 书不够。问：第二组有多少人书不够。问：第二组有多少人? 【例【例2】（全国小学数学奥林匹克试题）】（全国小学数学奥林匹克试题）( ) 有两个自然数相除，商是有两个自然数相除，商是17，余数是，余数是13，已知被除数、除数、商 与余数之和为 ，已知被除数、除数、商 与余数之和为2113，则被除数是多少？，则被除数是多少？ 1 【例【例3】 （ ）】 （ ） 一个三位数除以一个三位数除以17和和19都有余数，并且除以都有余数，并且除以17后所得的商与余 数的和等于它除以 后所得的商与余 数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三后所得到的商与余数的和。那么这样的三 位数中最大数是多少位数中最大数是多少，最小数是多少最小数是多少？位数中最大数是多少位数中最大数是多少，最小数是多少最小数是多少？ 【例【例4】全国小学数学奥林匹克试题】全国小学数学奥林匹克试题( ) 六张卡片上分别标上六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六 个数，甲取 六 个数，甲取3张，乙取张，乙取2张，丙取张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手张，结果发现甲、乙各自手 中卡片上的数之和一个人是另中卡片上的数之和一个人是另个人的个人的2倍倍，则丙手中卡片上则丙手中卡片上中卡片上的数之和一个人是另中卡片上的数之和一个人是另个人的个人的2倍倍，则丙手中卡片上则丙手中卡片上 的数是的数是_。 【例【例5】() 有一列数排成一行，其中第一个数是有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是，第二个数是10，从第三 个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第 ，从第三 个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被个数被3 除所得的余数是除所得的余数是多少多少？除所得的余数是除所得的余数是多少多少？ 【例【例6】 ( ) 今天是星期四，今天是星期四，101000天之后将是星期几？天之后将是星期几？ 2 【例【例7】( ) 若若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除， 所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为 四个自然数都被同一个自然数相除， 所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_。 【例【例8】 ( ) 甲、乙、丙三数分别为甲、乙、丙三数分别为603，939，393。某数。某数A除甲数所得余数 是 除甲数所得余数 是A除乙数所得余数的除乙数所得余数的2倍，倍，A除乙数所得余数是除乙数所得余数是A除丙数所得余除丙数所得余 数的数的2倍倍。求求A等于多少等于多少？数的数的2倍倍。求求A等于多少等于多少？ 【例【例9】( ) 某数除以某数除以11余余8，除以，除以13余余10，除以，除以17余余12，那么 这个数的最小 可能值是 ，那么 这个数的最小 可能值是_。 1 1带余除法带余除法：被除数被除数 除数除数商商余数余数 一、本讲重点知识回顾一、本讲重点知识回顾 1 1带余除法带余除法：被除数被除数 除数除数商商余数余数 2.余数运算：和的余数等于余数的和2.余数运算：和的余数等于余数的和 积的余数等于余数的积积的余数等于余数的积积的余数等于余数的积积的余数等于余数的积 3. 同余：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，3. 同余：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同， 则则a ab b的差一定能被的差一定能被m m整除整除则则a a，b b的