自动控制原理第三章时域分析法.ppt

第三章时域分析法,3-1控制系统的时域指标3-2一阶系统的时间响应3-3二阶系统分析3-4控制系统的稳定性和代数判据3-5稳态误差的分析和计算,3-1控制系统的时域指标,所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。,动态和稳态过程,3、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。,4、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋向无穷时，系统输出量的表现形式。,1、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦等,2、系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分组成,与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标,控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图3-1所示：,B,动态性能指标定义1,上升时间tr,调节时间ts,动态性能指标定义2,一.上升时间tr(Risingtime)响应曲线从零首次上升到稳态值h()所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。延迟时间td(Delaytime):响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。二.峰值时间tp(Timeofpeakvalue)响应曲线超过稳态值h()达到第一个峰值所需的时间。三.调节时间ts在稳态值h()附近取一误差带，通常取,响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。四.超调量%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即,超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。五.振荡次数N在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中ts和%是最重要的两个动态性能的指标。,3-2一阶系统的时间响应,一.一阶系统的数学模型,结构图和闭环极点分布图为：T表征系统惯性大小的重要参数。二.一阶系统的单位阶跃响应,特点：（1）初始斜率为1/T；（2）无超调（3）稳态误差ess=0。,性能指标：（1）延迟时间：td=0.69T（2）上升时间：tr=2.20T（3）调节时间：ts=3T(=0.05),曲线,例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts。如果要求ts0.1秒。试求反馈系数应取多大？,-,解：系统的闭环传递函数,一阶系统单位脉冲响应,三.一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：,一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差ess=t-(t-T)=T从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。,一阶系统能跟踪斜坡输入信号,但存在稳态误差。,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,一阶系统单位加速度响应,表3-1一阶系统对典型输入信号的响应,微分,微分,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,典型二阶系统的结构图如图3-5所示。系统的闭环传递函数为其中K为系统的开环放大系数，T为时间常数。,3-3二阶系统分析由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。,（35）,与式（3-5）相对应的微分方程为可见，该系统是一个二阶系统。为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式式中，称为无阻尼自然振荡角频率，（简称为无阻尼自振频率），称为阻尼系数（或阻尼比）。,(3-6),闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为1.当01时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图c）4.当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图d）下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。,二.二阶系统的单位阶跃响应1.欠阻尼情况当01,二阶系统的闭环特征根为Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。,当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为,曲线：,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部-wn的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部wd的大小。,角的定义,越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%a3a0,则系统稳定。,3.两种特殊情况情况1:劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数代替某一行第一个为0的元素。然后继续劳思表计算并判断。例:,当很小时,则系统不稳定，并有两个正实部根。情况2:劳思表中第k行元素全为0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异,虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。,此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。(1).用k-1行元素构成辅助方程.(2).将辅助方程为s求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳思表。例:系统的特征方程为：,列劳思表:列辅助方程,第一列符号改变一次,有一个正实部根,系统不稳定。,解辅助方程得：解得符号相异，绝对值相同的两个实根和一对纯虚根可见其中有一个正实根。,4.劳思判据的推广及应用(1).劳思表不但可判断系统的稳定性,而且能判断特征根的位置分布情况。(2).可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。例:,闭环传递函数:,则特征方程整理得:必要条件:充分条件:,则系统才是稳定的,求得k的取值范围。(3).确定使系统稳定的特征参数的取值区间。例:已知系统的特征为:试判断使系统稳定的k值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左。问k值应如何调整?,解:特征方程化为:列劳思表:,所以使系统稳定的k值范围是若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程,得:整理得:,列劳思表:第一列元素均大于0,则得:,3.6线性定常系统的稳定误差计算,3.6.1误差与稳态误差,3.6.2系统类型,3.6.3静态误差系数,3.6.5扰动作用下的稳态误差,3.6.4动态误差系数,前提：系统稳定。,稳态性能,控制系统的性能,动态性能,无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统称之无差系统。,有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统称之有差系统。,3.6.1误差与稳态误差,第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第二种定义：输出的真值有时很难得到，误差往往难以测量。,误差的两种定义,误差传递函数,误差,上式表明：系统的稳态误差，不仅与开环传递函数G(s)H(s)的结构有关，还与输入R(s)形式密切相关。,终值定理，求稳态误差。,公式条件：sE(S)的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）。,问?R(t)=sint时，能否用终值定理求ess?,对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。,3.6.2系统类型,开环传递函数,系统稳态误差计算通式则可表示为,为便于讨论，令,因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加速度函数或者其组合，因此分别讨论。,3.6.3各种输入作用下的稳态误差与静态误差系数,一、阶跃输入,令,G(s),H(s)G(s),G(s),如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统。习惯上，阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。！,令,二、斜坡输入,2020/6/3,第三章线性系统的时域分析法,114,指系统在速度(斜坡)输入作用下，系统的稳态输出与输入之间存在的误差,称为静态速度误差系数,R0,型及型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差。,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入,型系统能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差,R0,三、加速度输入,H(s)G(s),称为静态速度误差系数,如果系统的输入信号是多种典型函数的线性组合：如,根据线性叠加的原理，可将每一种输入分量单独作用于系统，再将各误差分量叠加起来,这时至少应选型系统否则稳态误差将无穷大。,例3-10一单位反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为,求满足上述要求的开环传递函数。,解：根据和的要求，可知系统是型三阶系统，,因而令其开环传递函数为,而,所求开环传递函数为,相应闭环传递函数,同一系统在不同形式的输入信号的作用下具有不同的稳态误差。,例313具有测速发电机内反馈的位置随动系统，求r(t)分别为1(t)，t,t2/2时，系统的稳态误差，并对系统在不同输入形式下具有不同稳态误差的现象进行物理说明。,系统的开环传递函数,其静态误差系数,型系统,r(t)分别为1(t)，t,t2/2时，系统的稳态误差为0，1，,3.6.4：动态误差系数,用终值定理计算稳态误差(终值误差)时,对输入信号有限制(虚轴及右半S平面解析-无奇异点)。稳态误差系数计算稳态误差不能反映稳态误差随时间变化的规律。动态误差系数法可研究输入信号为任意时间函数时的稳态误差变化。,用级数展开法求动态误差系数的计算量较大；可将误差传递函数的分母多项式和分子多项式按升幂排列，做长除计算可得动态误差系数。,3.6.5：扰动作用下的稳态误差,扰动稳态误差的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。,以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差,事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。,扰动稳态误差,但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。,对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。,扰动稳态误差的计算：,扰动稳态误差的计算：,输出对扰动的传递函数,扰动输入时的输出,系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为：,根据终值定理,系统在扰动作用下的稳态误差为,设,下面讨论,时系统的扰动稳态误差。,1：0型系统,当扰动为一阶跃信号，即,2：I型系统,对参考输入，都是I型系统，产生的稳态误差也完全相同，但抗扰动的能力是完全不同,(1),阶跃信号,斜坡信号,(2),加速度信号,扰动稳态误差只与作用点前的G1(s)有关。G1(s)中的1=1时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与G1(s)中的增益K1成反比。至于扰动作用点后的G2(s)，其增益K2的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没有什么作用。,结论：,3、II型系统,三种可能的组合,结论,第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和斜坡扰动引起的稳态误差均为零,第二种组合的系统具有I型系统的功能，即由阶跃扰动引起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为,第三种组合具有0型系统的功能，其阶跃扰动产生的稳态误差为,，斜坡扰动引起的误差为,3.6.5减小或消除稳态误差的措施,提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差的有效方法,顺馈控制作用，能实现既减小系统的稳定误差，又能保证系统稳定性不变的目的,影响系统的动态性能,稳定性,对扰动进行补偿,？,引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何变化，即不会影响系统的稳定性,为了补偿扰动对系统输出的影响,对扰动进行全补偿的条件,2.按输入进行补偿,图3-28按输入补偿的复合控制系统,输入信号的误差全补偿条件,？,由于G(s)一般具有比较复杂的形式，故全补偿条件的物理实现相当困难。,在工程实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿条件或者在对系统性能起主要影响的频段内实现近似全补偿，以使Gr(s)的形式简单并易于实现。,小结,时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。,2.二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当(如=0.7左右)，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼。,3.如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。,4.稳定是系统所能正常工作的首要条件。线性定常系统