高级生物统计045.ppt

第五节混料设计,一、混料设计的概念与特点在工农业生产和科学研究中，时常会遇到配方配比问题。比如，将若干种成分(ingredient)按百分比混合在一起形成混料，混料的某种特性或综合性能只与混料成分的百分比有关，而与混料的总量无关。这种情况一般采用混料试验(experimentwithmixtures)，即在各种混料成分的变化范围受到一定约束条件限制的情况下，通过试验探索各成分的百分比与试验研究指标之间的关系。,在混料试验中，组成混料的各种成分至少应有三种，它们就是混料试验中的试验因素。混料成分也称为混料分量(component)。混料试验设计(designofexperimentswithmixtures)是在Scheffe（1958）提出单纯形格子设计以来发展起来的一种试验设计方法。所谓混料试验设计，就是合理地设计混料试验，通过各混料成分不同百分比的一些组合试验，获得试验指标与各混料成分百分比之间的线性或非线性的回归方程的设计方法，简称混料设计(designwithmixtures)。,混料设计的特点,第一，混料设计是一种回归设计，因为混料试验一般都要求获得试验指标与各混料成分百分比之间的回归方程。,在混料试验中，各种混料成分是按百分比混合的。显然，每个成分的百分比应是非负的，而且所有成分百分比之和应为1。如果用y表示试验指标，用x1，x2，xp表示混料中p种成分各自所占的百分比，则称为混料约束条件。,(4-68),混料设计就受到这一约束条件的限制。因此，混料设计是回归设计中的一类特殊情况，是受到特殊条件约束的回归设计。在混料试验中，试验因素都是无量纲的，它们满足约束条件(468)。,第二，由于混料设计受到上述约束条件的限制，因此混料设计的回归方程比一般回归设计的回归方程更加简单。任何一个混料试验的设计，总是与混料成分的个数p和回归方程的次数d（dp）有关的。因此，我们用p,d来表示一个混料设计。,在3，2混料设计中，其回归方程为它是由一般的三元二次回归设计的回归方程在混料约束条件(468)下得到的更加简化的形式。,由x1+x2+x3=1可得,将其代入回归方程(470)，加以整理可得,令,则(471)式变为将bi、bij仍然写成bi、bij即得到3，2混料设计的回归方程(469)。,一般情况下，混料设计的回归方程常采用Scheffe形式。,d=1时，回归方程为d=2时，回归方程为d=3时，不完全式回归方程为d=3时，完全式回归方程为,p,d混料设计的Scheffe式回归方程中需要估计的回归系数的个数，比一般的p元d次回归设计的回归方程少。例如，p，2混料设计比p元二次回归设计减少了p+1个回归系数，要获得p，2混料设计的回归方程，至少可以少做p+1次试验，即至少可以少p+1个观测值。,需要指出的是，以上Scheffe形式回归方程中bijxixj，由于受到混料约束条件(468)的限制，xi与xj不能独立自由地变动，所以不能单纯理解为xi与xj的交互作用，它们只是表示一种非线性混合的关系。Scheffe认为，当bij0时，这种非线性混合关系是协调的；而当bij，就认为回归方程不适合，不能用来描述混料系统，因而不能交付使用。,2、方差比较法,当可以根据专业知识确定试验的误差方差2时，使用方差比较法。若试验误差方差的估计值(492)则认为回归方程是适合的，可以交付使用。否则，回归方程是不适合的，不能交付使用。,三、单纯形重心设计与统计分析,在p,d单纯形格子设计中，试验点各成分的编码值与回归方程的次数d有关，为1/d的整数倍。当d3时，在某些混料设计中部分试验点的非零成分的取值不相等，这些不相等的成分对试验结果所起的作用不同，也直接对回归方程的估计产生不同程度的影响。为了改进这一缺陷，Scheffe提出了单纯形重心设计(simplexbarycenterdesign)。,（一）设计方法,在p维正单形中，单个顶点的重心就是顶点本身，称为单顶点重心。连接任意两个顶点形成一条棱边，棱边的中点为其重心，称为两顶点重心；任意三个顶点组成一个正三角形，该正三角形的中心为其重心，称为三顶点重心。依此类推，p顶点重心就是该正单形的重心。因此，在p维正单形中，i顶点重心共有Cpi个。所谓单纯形重心设计，就是在p维正单形中只选取i(i=1，2，p)顶点重心作为试验点的混料试验设计。,对于单纯形重心设计，其试验次数为试验点的组成如下：以(1，0，0，0)为代表的Cp1个单顶点重心；以(1/2，1/2，0，0，0)为代表的Cp2个两顶点重心；以(1/3，1/3，1/3，0，0，0)为代表的Cp3个三顶点重心；以(1/d，1/d，1/d，0，0，0)为代表的Cpd个d顶点重心。,表4-60表4-63列出了2，2、3，3、4，4和5，5单纯形重心设计编码表。对于p,d单纯形重心设计的编码表，可在p,p单纯形重心设计编码表中取前M()号试验点构成。,单纯形重心设计的回归方程为：(493)其需要估计的回归系数共有个，与试验次数M相等。因此，单纯形重心设计也是饱和设计。这是该设计的一个显著特点。单纯形重心设计的第二个显著特点是，所有试验点的成分与回归方程的次数d无关，并且每一个试验点中非零成分的取值相等，这就消除了由于非零成分取值不等而对回归系数的估计产生的不同影响。,（二）统计分析,与单纯形格子设计一样，单纯形重心设计回归方程中回归系数的计算也很简便。将以(1，0，0，0)为代表的Cp1个单顶点重心试验点各成分编码值及其相应的试验结果值代入回归方程(493)，即可得到单一成分的回归系数,将以(1/2，1/2，0，0，0)为代表的Cp2个两顶点重心试验点各成分编码值及其相应的试验结果值yij以及(494)式代入回归方程(493)，即可得到两个成分的回归系数,将以(1/3，1/3，1/3，0，0，0)为代表的Cp3个三顶点重心试验点各成分编码值及其相应的试验结果值以及(494)式、(495)式代入回归方程(493)，即可得到三个成分的回归系数,将以(1/d，1/d，1/d，0，0，0)为代表的Cpd个d顶点重心试验点各成分编码值及其相应的试验结果值yi1i2id以及前面计算出的所有回归系数代入回归方程(493)，即可得到d个成分的回归系数,(497),对于p,d单纯形重心设计，其回归方程(493)中各回归系数的计算公式可归纳为,q=1，2，d,sq为p个成分中取q个的所有集合,yt(sq)为集合sq中取t个的所有组合（共Cqt个）的试验结果指标值的总和,例如，对于4，3单纯形重心设计，其回归方程为此时，q=1，2，3。假设q=2，则集合sq为1，2，1，3，1，4，2，3，2，4和3，4。当sq为2，3，t=1时，yt(sq)为y2+y3；t=2时，yt(sq)为y23。,所以回归方程(499)的回归系数计算如下：当q=1时，bi=1(-1)1-111-1yi=yi(i=1,2,3,4)当q=2时，bij=2(-1)2-112-1(yi+yj)+(-1)2-222-1yij=4yij-2(yi+yj)(i,j=1,2,3,4;ij),当q=3时，bijk=3(-1)3-113-1(yi+yj+yk)+(-1)3-223-1(yij+yik+yjk)+(-1)3-333-1yijk=3(yi+yj+yk)-12(yij+yik+yjk)+27yijk(i，j，k=1，2，3，4；ijk),【例417】,在某配合饲料生产中，有Z1、Z2、Z3、Z4四种预混料，假定它们的用量最小值分别为a1=0.30，a2=0.16，a3=0.04，a4=0.20。试安排4，3单纯形重心设计试验方案。,在4，4单纯形重心设计编码表（表4-62）中，选择前C41+C42+C43=14号试验点构成4，3单纯形重心设计的试验点，其设计编码见表4-64。由(479)式可得各成分实际因素与编码因素之间的关系为：Z1=0.3x10.30Z2=0.3x20.16Z3=0.3x30.04Z4=0.3x40.20将各试验点编码值代入上式求得实际值，将编码值换为实际值即得到试验方案，见表464。,【例418】,按照【例417】编制的试验方案进行试验，结果见表4-64的最后一列。试进行分析。,由(494)式可得单一成分的回归系数，如b1=y1=14.6。同理，b2=14.9，b3=13.8，b4=14.2。由(4-95)式可得两种成分的回归系数，如b12=4y12-2(y1+y2)=412.8-2(14.6+14.9)=-7.8。同理，b13=-3.6，b14=-3.6，b23=-3.0，b24=-4.6，b34=-5.6。,由(4-96)式可得三种成分的回归系数，如b123=27y123+3(y1+y2+y3)-12(y12+y13+y23)=2713.0+3(14.6+14.9+13.8)-12(12.8+13.3+13.6)=4.5同理，b124=-10.5，b134=11.4，b234=20.7。,于是得到用编码因素表示的回归方程14.6x1+14.9x2+13.8x3+14.2x4-7.8x1x2-3.6x1x3-3.6x1x4-3.0 x2x3-4.6x2x4-5.6x3x4+4.5x1x2x3-10.5x1x2x4+11.4x1x3x4+20.7x2x3x4,将其转化成用实际因素表示的回归方程-41.82+166.67Z1Z2Z3-388.89Z1Z2Z4+422.22Z1Z3Z4+7