几何体外接球内切球相关知识汇总

1. 特殊三角形边角关系、边边关系必须倒背如流 sinA?cosB? ? ? ? ?, cosA?sinB? ? ? ? ? ? , tanA? ? ? ? ? , tanB? ?3 a? ?c? ? ? b, b?3a? ? ? c, c?2a? ? b sinA?cosB? ? ? ? ? , cosA?sinB? ? ? ? ? , tanA? ? ? 1, tanB? ?1 a?b? ? ? c, c?2a?2b 2. 海伦秦九韶公式，设三角形三条边分别为， ， ，面积为 S，? ? ? ? ?，则： S? ? ? ? ? ? ? 3. 三角形的四心，设三角形三条边分别为， ， ，面积为 S。正三角形四心重合正三角形四心重合。 外心：三角形外接圆的圆心，即三条边垂直平分线的交点，锐角三角形外心在三角形内部， 钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心即是斜边的中点，外接圆半径 R? ? ； 内心：三角形内切圆的圆心，即三个内角角平分线的交点，所有三角形的内心均在三角形 的内部，内切圆半径 R= ? ?； 重心：三条边中线的交点，所有三角形的重心均位于三角形的内部，重心性质：a. 重心到 顶点的距离与重心到对边中点的距离比是 2：1；b. 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角 形面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；c. 重心到三角形 3 个顶点的距 离的平方和最小；d. 在平面直角坐标系中，如果表示三角形三个顶点的坐标为 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则重心坐标为：(? ? , ? ? )； 垂心：三条高所在直线的交点，锐角三角形垂心位于三角形内部，钝角三角形垂心位于三 角形外部，直角三角形垂心即是直角顶点。垂心分每条高的两部分乘积相等。 4. 设正方体棱长为，则: 其内切球（球与正方体每个面都相切）的直径等于棱长； 其外接球（正方体 8 个顶点都在球面上）的直径等于3 ，即正方体的体对角线长； 其棱切球（球与正方体的每条棱都相切）的直径为2 ，即正方体的面对角线。 正方体内切球 正方体外接球 正方体棱切球 5. 设长方体的棱长分别为, , ，则其外接球直径为? ? ?，即是长方体的体对角线长，这 一点与正方体相同，长方体没有内切球和棱切球。 长方体外接球 6. 圆柱外接球：圆柱的上下底面圆周线均在球面上，圆柱的轴线和球的直径所在直线重合，设 圆柱底面半径为 r，高为 h，外接球半径为 R，则有：R? ? ? ?。 圆柱内切球：球与圆柱的上下底面及侧面均相切，球与圆柱的上下底面相切于一点（即上下 底面的圆心） ，球与圆柱的侧面相切于一个圆，这个圆是圆柱的横切面圆，也是球的赤道圆，即 用平面切球体时能得到的最大的圆，只有轴切面是正方形的圆柱才有内切圆，即圆柱的高等于 它底面直径。设圆柱底面半径为 r，高为 h，内切球半径为 R，则有：Rr。 圆柱外接球 圆柱内切球 7. 圆锥外接球：圆锥底面圆周线在球面上，圆锥顶点也在球面上，圆锥的轴线和球的直径所在 直线重合， 所有圆锥均有外接球， 设圆锥底面半径为 r， 高为 h， 其外接球半径为 R， 则有： R=? ? ? 圆锥内切球：球与圆锥底面切于一点（底面的圆心） ，球与圆锥侧面相切于一个圆，此圆是 圆锥的一个横切面圆，圆锥轴切面三角形的内切圆即是球的赤道圆，所有圆锥都有内切球，设 圆锥底面半径为 r，高为 h，其内切球半径为 R，则有：R= ? ?= ? ?( ?) 圆锥外接球 圆锥内切球 8. 直棱柱的外接球：棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱，所有的直三棱柱都有外接球，直四棱及以上 棱柱未必有外接球，只有其底面各顶点共圆的直多棱柱才有外接球。 顶底面为直角三角形的直三棱柱，其外接球的球心位于顶底面斜边中点连线的中点（外心连 线中点） ， 用补形法可以很好理解并求出其外接球的球心。 设直三棱柱底面两直角边分别为， ，直三棱柱高为，其外接球半径为 R，则 R? ? ?； 顶底面为正三角形的直三棱柱， 其外接球的球心位于顶底面中心连线的中点 （外心连线中点） 。 设直三棱柱底面边长为，直三棱柱高为，其外接球半径为 R，则 R? ? ? ? ?； 顶底面为普通三角形的直三棱柱，其外接球的球心位于顶底面外心连线中点。 直棱柱外接球半径统一公式：R? ? ? ?，其 r 为直棱柱顶底面外接圆的半径，h 为直棱柱 的高，这个公式适用于所有直棱柱的外接球（如果存在的话）的半 径。 如图，ABCA1B1C1为直三棱柱，BAC=B1A1C1=90，E 和 E1分别是 上下底面斜边的中点，也即上下底面的外心，O 为 EE1的中点，也即 其外接球的球心；另外，如果拿一个完全一样的直三棱柱，则两个 完全一样的直三棱柱可组成一个长方体，底面两直角边及棱柱的高 可视为是此长方体的三条棱， 其体对角线 AD1的中点也就是外接球的 球心，外接球半径 R? ? ? ? ?。 如图，ABCA1B1C1为直三棱柱，ABC 和A1B1C1是正三角形，E 和 E1 分别是上下底面的中心点（同时也是外心） ，O 为 EE1的中点，也即其 外接球的球心，外接球半径 ROB ? ? ? ?（ ? ? ?。其中 ? ? 实际上是底面三角形外接圆的半径，而 AA1就是直三棱柱的高。 9. 三棱锥（四面体）的外接球：所有的三棱锥均有外接球，当三棱锥的 4 个顶点都在球面上时， 这个球就是此三棱锥的外接球。 一个顶点的三个面相互垂直：这时这个顶点就叫做“墙角” ，可以把此三棱锥补形为长方体 （包括正方体） ，则由此顶点出发的三条棱即为补形后的长方体的三条棱。由于过不共面的 四点有且仅有一个球 过不共面的 四点有且仅有一个球，所以补形后的长方体其余四个顶点也必在该三棱锥外接球的球面上。 互为异面的两条棱分别垂直于一个底面，也可以补形为长方体。则三条两两垂直的棱即为补 形后长方体的三条棱。 正四面体，即 6 条棱都相等，每个面都是正三角形。设正四面体的棱长为，则底面外接圆 半径为 ? ? ，底面积为 ? ? ?，高为 ? ? ，体积为 ? ? ?，外接球半径 R ? ? 。 正三棱锥，即底面是正三角形，侧面是三个全等的等腰三角形，显然，正四面体也是正三棱 锥的一种。设正三棱锥底面边长为，侧面腰长为，则此正三棱锥底面外接圆半径为 ? ? ， 底面积为 ? ? ?，高为? ? ? ?，体积为 ? ? ? ? ? ?，外接球半径 R ? ? ? ?。 普通三棱锥的外接球，设一个面为底面，找出此面的外心，过外心做此底面的垂线，在此垂 线上找一点，使得此点到三棱锥的顶点和到任意一个底面顶点的距离相等（此垂线上任意一 点到底面三个顶点的距离都相等） ，则该距离就是外接球的半径，实际上这个方法适用于求 所有锥体（四棱锥、五棱锥等多棱锥）外接球的半径。 如右图，已知在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 PAC，平面 PAB平面 ABC，平面 ABC平面 PAC，或者这样描述：PA平面 ABC，CA平面 PAB，也中以这样描述：PAAB，PAAC，AB AC，则 A 点就是一个“墙角” ，可以把此三棱锥补全为一个长方 体，从而可求得其外接球直径。 如右图，已知在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，平面 PAC平面 ABC，平面 PBC平面 PAC，或者这样描述：PA平 面 ABC，BC平面 PAC，也中以这样描述：PAAC，BCAC，PA BC，则也可以把此三棱锥补全为一个长方体，从而可求得其 外接球直径。 如右图，已知在正四面体 PABC 中，PA=PB=PC=AB-BC=CA=， D 为 BC 边中点，连接 AD，E 为ABC 中心（外心） ，E 点必在 AD 上，连接 PE，在 PE 上找到一点 O，连接 OA，使得 OPOAR（R 为此四面体外接球半径） 。 PE 必垂直平面 ABC， 易求得： R ? ? 。 如右图， 已知在正三棱锥 PABC 中， AB=BC=CA=， PA=PB=PC=， D 为 BC 边中点，连接 AD，E 为ABC 中心（外心） ，E 点必在 AD 上，连接 PE，在 PE 上找到一点 O，连接 OA，使得 OPOAR（R 为此三棱锥外接球半径） 。PE 必垂直平面 ABC，易求得： R ? ? ? ?。 10. 正四棱锥外接球：正四棱锥的底面是正方形，侧面是四个全等的等腰三角形，设正四棱锥底面 边长为，侧面腰长为，则此正四棱锥底面积为?，底面外接 圆半径为 ? ? ，高为? ? ? ?，体积为? ? ? ? ? ? ?，易求得 其外接球的半径 R ? ? ? ? 特别地，当 ? 时，R ? ? 11. 正棱锥内切球，球与棱锥每个面都相切于一点。所有的三棱锥（无论是否是正三棱锥）都有内 切球，而四棱或以上棱锥则未必有内切球。 正四面体内切球，正四面体每条棱都相等，切点在每个面的中心。 正三棱锥内切球，正三棱锥底面是正三角形，侧面是三个全等的等腰三角形，底面的切点在 底面的中心，侧面的切点在侧面底边的中线上。 正四棱锥内切球：正四棱锥底面为正方形，侧面为 4 个全等的等腰三角形。底面的切点在底 面的中心，而侧面的切点在侧面的底边的中线上。 已知正四面体 PABC 中，每条棱长均为，其内切球半径为 R， 右图为其棱切面（过一条棱 PA 和底面中线 AD 所在的平面）图，则由 对称性可知该切面必过内切球的球心，且球的切面圆必与底面的中心 及侧面的中心相切，图中 E 为底面中心，F 为侧面 PBC 的中心，PD 为侧面PBC边BC上的中线， 则PE为正四面体的高， PE必过球心O， OFOER，OFPD，OEAD，AD=PD ? ? ，DEDF ? ? ， PE ? ? ，易求得： R ? ? 。 已知正三棱锥 PABC 中，底面三角形 ABC 为正三角形，其边长为 ，三个侧面为全等的等腰三角形，腰长为，其内切球半径为 R，右图 为其棱切面（过一条棱 PA 和底面中线 AD 所在的平面）图，则由对称性 可知该切面必过内切球的球心， 且球的切面圆必与底面的中心及侧面中线 上的一点相切，图中 E 为底面中心，F 为侧面 PBC 的 BC 边上的中线上 的切点，PD 为侧面 PBC 边 BC 上的中线，则 PE 为正三棱锥的高，PE 必过球心 O ，OFOER，OFPD，OEAD，AD= ? ? ，PD ? ? ? ? ?，DEDF ? ? ，PF? ? ? ? ? ? ，PE? ? ? ?，易求得： R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? 已知正四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方 形，其边长为，四个侧面为全等的等腰三角形，腰长 为，其内切球半径为 R，右图为侧面中线切面（过相 对的两个侧面三角边形底边上的中线 PE 和 PF 所在的 平面） 图， 则由对称性可知该切面必过内切球的球心， 且球的切面圆必与底面的中心及两侧面中线上的一点 相切，图中 M 为底面中心，E 为侧面 PBC 的 BC 边上的中点，PE 为侧面 PBC 的 BC 边上的中线， G 为切点。F 为侧面