利息习题解答第一章d

版权所有，翻版必究 第一章习题答案 1. 设总量函数为 A(t) = t2+ 2t + 3 。试计算累积函数 a(t) 和第 n 个时段的利息 In。 解: 把 t = 0 代入得 A(0) = 3 于是: a(t) = A(t) A(0) = t2+ 2t + 3 3 In= A(n) A(n 1) = (n2+ 2n + 3) (n 1)2+ 2(n 1) + 3) = 2n + 1 2.对以下两种情况计算从 t 时刻到 n(t n) 时刻的利息: (1)Ir(0 r n);(2)Ir= 2r(0 2 1 + t t 1 21 已知季结算名贴现率为8%， 分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当 前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。 解： d(4)= 8%， 设复利下月实贴现率为d， 单利下实利率为d0。 全部采用复利： (1 d)3= 1 8% 2 北京大学数学科学学院金融数学系第 7 页 版权所有，翻版必究 PV = 5000(1 d)25= 4225.25 前两年用复利： 1 3d0= 1 8% 2 PV = 5000(1 d)24(1 d0) = 4225.46 22为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两 年每年初投入2000元、 第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%， 计算第3年 初投入的金额。(原来的答案有误) 解： i(4)= 6% ， 则 i = (1 + 6% 4 )4 1 = 6.14% 设第3年初投入X,以第3年初为比较日， 列价值方程 2000(1 + i)2+ 2000(1 + i) + X = 2000v2+ 5000v8 解得X = 504.67 元 23在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1第5年底支付200元，第10年底 支付500元； 2第5年底一次性支付400.94元。 另外， 以同样的利率现在投资100元 再加上第5年底投资120元， 这些投资在第10年底的终值为P。试计算P。 解： 对两种付款方式， 以第5年为比较日， 列价值方程： 200 + 500v5= 400.94 解得v5= 0.40188 所以 P = 100(1 + i)10+ 120(1 + i)5= 917.762 24经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？ 解： 1000(1 + 6%)t= 2 1000(1 + 4%)t 解得：t = 36 年 25已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计 算n。 北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页 版权所有，翻版必究 解： 列价值方程为 100vn+ 100v2n= 100 解得n = 6.25 26基金A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力t= t 6累积，初始时刻两基 金本金相同， 计算两基金累积额相同的下一个时刻。 解： t= 1 6t， 得基金B的积累函数为 aB(t) = exp( t 0 sds) = exp( t2 12) 欲使 aA(t) = aB(t)则 (1 + 1 12i (12)12t = exp( t2 12) 解得t = 1.4 27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。 解：1000(1 + i)15= 3000 则 i(2)= (1 + i) 1 2 1) 2 = 7.46% 28已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在 第2年底的终值为700元。计算实利率。 解： 列价值方程为 300(1 + i)2+ 200(1 + i) + 100 = 700 解得i = 11.96% 29已知货币的价值以利息力t= kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。(原来 的答案有误) 解： t= kt 则积累函数为 a(t) = exp t 0 ksds = exp(k 2 t2) 由a(10) = 2得e50k= 2 解得k = 0.0139 北京大学数学科学学院金融数学系第 9 页 版权所有，翻版必究 30已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的 一个货币单位的资本以实贴现率i 贴现的的现值之和为2.0096， 计算i。 解： (1 + i)3+ (1 i)3= 2.0096 解得i = 0.04 31. 现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利 息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。 解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收 入j + j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。 32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式： A）现在付款15元， 6个月后付款13.65元 B现在一次性付款28元。 如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题中的16元改成13.65元，这 样结果更加符合实际) 解： 设半年实利率为i 0， 则有： 15(1 + i 0) + 13.65 = 28(1 + i0) 解得: i 0 = 0.05 故：i = (1 + i 0)2 1 = 0.1025 33.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年 和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦（正常还 款后） 甲因急需资金， 将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。 如果甲乙合约的年 利率为， 甲丙合约的年利率为， 比较和的大小。 解： 价值方程： 正常:1000=100(1 + j)1+ 100(1 + j)2+ 1000(1 + j)3 转让:960=100(1 + k)1+ 1000(1 + k)2 解得： j = 6.98%, k = 7.4% 从而:j k 34.如果常数利息力增加一倍， 计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。 北京大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有，翻版必究 解： 和等价的年利率i = e 1,年利率变化： e2 e e 1 = e 和等价的年贴现率1 e= d, 年贴现率变化： e e2 1 e = e 35证明： lim d0 d 2 = lim i0 i 2 = 1 2 证： lim d0 d 2 = lim 0 1 + e 2 = lim 0 1 e 2 = lim 0 e 2 = 1 2 lim i0 i 2 = lim 0 e 1 2 = lim 0 e 1 2 = lim 0 e 2 = 1 2 36.某厂家对零售商提供两种折扣：付现款可低于零售价格30；6个月后付款， 可低于零售价格25。如果两种方式等价， 计算对应的年利率。 解:设货款为S,半年实利率为i 0,则有： 0.7S(1 + i0) = 0.75S 解得： 1 + i 0 = 1.0714 故i = (1 + i 0)2 1 = 14.80% 37令0 t 1 + (1 t)i(1 + i)t 1 + it 故X1 0,m 0,f 0(m) 0 2) 令y = ln(1 + j)/