医用物理学第05章 课后习题解答

第五章第五章 静电场静电场 通过复习后，应该: 1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、 电偶极子的电势; 2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极 化、能斯特方程、电容器、静电场的能量; 3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。 通过复习后，应该: 1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、 电偶极子的电势; 2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极 化、能斯特方程、电容器、静电场的能量; 3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。 5-1 点电荷 q 和 4q 相距 l，试问在什么地方放置什么样的电荷，可使这三个电荷达到受 力平衡? 解：解：已知两个同号点电荷 q 与 4q 相距 l，在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷， 当它们满足一定的条件时，即可达到力的平衡。设这个异号电荷的电量为 mq，与 q 相距 x， 如本题附图所示。根据库仑定律 2 21 r qq kF ，分析力的平衡条件，电荷 mq 分别与 q、4q 的 引力相等，即 2 2 2 2 4m x)(l mq k x q k (a) 电荷 q 受 4q 的斥力和 mq 的引力相等，即 习题 5-1 附图 2 2 2 2 4 x mq k l q k (b) 解（a）式得 x=l /3，将其代入（b）式可得 m=4/9。 从上面的计算结果可知，在 q 与 4q 之间，与电荷 q 相距 l/3 处，放置一个 4/9q 的异号电 荷，可使三个电荷达到受力平衡。 5-2 两个点电荷分别带有+10C 和+40C 的电量，相距 40cm，求场强为零的点的位置及 该点处的电势。 解解: 求场强为零的位置: 只有在两电荷的连线中的某点 P，才能使该处场强为零，即 q1 、q2 在该点的场强 E1、E2大小相等，方向相反，已知 q1 =10C，q2 =40C，则根据点电荷 场强公式 2 r q kE ，有 2 2 2 2 1 1 r q k r q k 由上式可得 2 1 40 10 2 1 2 1 q q r r 习题 5-2 附图 又因 r1 + r2 =40cm，由此可得 r1 =40/3cm=40/310-2 m； r2 =80/3cm=80/310-2 m 求电势: 设 q1 、 q2 在 P 点产生的电势分别为 U1 、 U2， P 点电势 U 为 U1 、 U2 之和， 即 V.V)(. r q k r q kUUU 12 22 9 2 2 1 1 21 10032 10 3 80 40 10 3 40 10 1009 5-3 两等值异号点电荷相距 2.0m，q1 =8.010-6 C，q2 =-8.010-6 C。求在两点电荷连 线上电势为零的点的位置及该点处的场强。 解解: 求电势为零的位置:设 q1、q2 连线上 P 点处电势为零，该点电势为 q1、q2 分别产 x lx q 4q mq r1 r2 q1 P E2 E1 q2 生的电势 U1、U2 之代数和，由点电荷电场的电势 r q kU 得 0 2 2 1 1 21 r q k r q kUUUP 习题 5-3 附图 从上式可得 1 2 1 2 1 q q r r 又r1 + r2 =2.0m，则r1 = r2 =1.0m，即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。 求场强:设q1、q2 在P处产生的场强分别为E1、E2，它们的方向一致，故P点的场强 为E1和E2的大小之和，方向由P指向q2 15 1 66 9 2 2 2 2 1 1 21 10441 01 1008 01 1008 1009 CN. CN) . . . . (. r q k r q kEEE 5-4 在一个边长为a的正三角形的三个顶点放有量值相等的电荷Q， 在以下两种情况下， 求三角形重心处的场强和电势：三个顶点都带正电荷;两个顶点带正电荷，一个顶点带 负电荷。 习题5-4 附图（a） 习题5-4 附图（b） 解解: 根据场强的叠加原理，可分别求出三个点电荷在重心的场强，再求出它们的矢量和。 电势为标量，只需求出它们的代数和。 当三个都为正电荷时，按附图（a）取坐标，坐标原点O为三角形的重心，已知等边三 角形的边长为a，则其重心到三个顶点的距离r可由三角函数求出 a cos a r 3 3 30 1 2 0 由点电荷场强公式 2 0 4r Q E 可得，三个点电荷在重心O的场强相等，即 2 0 2 0 321 4 3 4a Q r Q EEE （a） 方向如附图所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey 和Ex ，则由附图 （a）可得 Ey =E2 cos60+ E3 cos60E1 = E2 + E3 E1 =0 Ex =E2 sin60E3 sin60=0 （因为E2 =E3 ） 故重心处的合场强E=0。 q2 r1 r2 q1 P E2 E1 Y X E1 E2 E3 r r r Q Q 30 a Y X E1 E2 E3 r r r Q Q 30 a Q 由点电荷的电势公式 r Q U 0 4 和 ar 3 3 可得 a Q UUU 0 321 4 3 根据电势叠加原理，重心处的电势U为 a Q UUUU 0 321 4 33 当两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷时，按本题附图（b）取坐标。参考前面的 （a）式，由点电荷电场强度公式可得 2 0 321 4 3 a Q EEE 方向如附图（b）所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex，则由 附图（b）可得 Ey = E1 + E2 cos60+ E3 cos60= E1+ E2 + E3 =2 E1 = 2 0 2 3 a Q Ex =E2 sin60E3 sin60=0 （因为E2 =E3 ） 故重心处的场强E的大小为 2 0 2 3 a Q EE y 其方向垂直向上。 由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为 a Q r Q U 00 4 3 4 ， a Q UU 0 32 4 3 根据电势叠加原理，重心处的电势为 a Q UUUU 0 321 4 3 5-5 均匀带电直线长2a，其线电荷密度为，求在带电直线垂直平分线上，且与带电直 线相距为a的点的场强和电势。 解解: 求场强：以带电直线为坐标轴，取直线中点为原点O，在直线上距O点 x处取 一线元dx，如本题附图所示，其电量dq=dx，此电荷元在所求点P处产生的场强为 )( 222 xa dx k r dq kdE （a） 其方向沿dq与P点连线（图中为0时的情况，若0，则反向） ，与X轴线夹角为。 由于对称性，各电荷元的场强沿X轴的分量dE 互相抵 消，而垂直于X轴的分量dE互相增强，因此 LL sindEdEE （b） 由附图可知， 2122/ )x(a a r a sin ， 将 （a） 式和sin 的表达式代入（b）式得E的大小为 习题5-5附图 a k xa dx akE a a 2 )( 2/322 其方向垂直向上。 求电势:由点电荷电势公式可得，dq在P点产生的电势dU为 2/122 )(xa dx k r dq kdU 将上式积分可得P点电势 )223ln( )( 2/122 k xa dx kdUU a a 5-6 均匀带电圆环，其半径为5cm，总电量为5.010-9 C，计算轴线上离环心5cm处的 场强和电势。 解：解：本题先求电势，然后利用场强和电势的关系计算场 强。 求电势：参考本题附图，设圆环总量为q，半径为R， 由于电荷是均匀分布， 故其线电荷密度=q/2R。 在圆环上取 一线元dl，其电量为 R dlq dldq 2 （a） 习题5-6 附图 设P点离环心O的距离为x，则由附图知， 22 xRr，电荷元dq在P点产生的电势 dU为 2/122 )(2xRR qdl k r dq kdU （b） 将上式积分，可得P点的电势为 2/122 2 0 2/122 )()(2xR kq dl xRR q kdUU R （c） 已知R=5cm=0.05m，q=5.010-9 C，x=5cm=0.05m，代入上式得 VVU 2 2 1 22 99 1036. 6 )05. 005. 0( 100 . 5100 . 9 X r a P O a a dx dE dE dE dl dU X x r P O R 求场强:根据场强与电势的关系E=dU/dn，对（c）式求关于x的导数，则场强E的 大小为 131 2 3 22 9 9 2/322 1036. 6 )05. 005. 0( 05. 0100 . 5 100 . 9 )( mVmV xR qx k dx dU E 方向沿X轴正方向。 dE 互相抵消，而垂直于X轴的分量dE互相增强，因此 5-7 均匀带电的半圆弧，半径为R，带有正电荷q，求圆心处的场强和电势。 解解: 求场强：在环上取一线元dl，带电量dq=qRdl，电荷元在圆心产生的场强大小 为 dl R q k r dq kdE 32 方向如附图所示，与OX轴夹角为，dl=Rd。由于对称性，dE互相抵消，dE相互增强， 于是有 LL sindEdEE 将dE的表达式及dl=Rd代入，经整理后得场强E的大小为 2 0 3 2sin R q kdR R q kE 其方向垂直向下。 求电势: 电荷元dq在圆心产生的电势dU为 dl R q k r dq kdU 2 习题5-7附图 将上式积分即得圆心处的电势 R q kdl R q kdUU R 0 2 5-8 长度为L的直线段上均匀分布有正电荷，电荷线密度为，求该直线的延长线上， 且与线段较近一端的距离为d处的场强和电势。 解解: 求场强:在直线段l处取一线元dl，其带电量为dq=dl，它在P处产生的场强方 向沿直线的延长线，大小为 22 )(ldL dl k r dq kdE 将上式积分，即得P点场强的大小为 习题5-8附图 )( ) 11 ( )( 0 2 dLd Lk dLd k ldL dl kdEE L 方向沿X轴正方向。 求电势:由点电荷电势公式可知，电荷dq在P点产生的电势dU为 dl ldL k r dq kdU )( dE dE dE R L dl O X dl l r d P O L X 将上式积分，即得P点的电势U为 )ln( )( 0 d dL k ldL dl kdUU L 5-9 两个无限长同轴柱面，内圆柱面半径为R1，每单位长度带的电荷为+，外圆柱半 径为R2，每单位长度带的电荷为-，求两圆柱面之间的空间中各处的场强。 解解: 电荷均匀地分布在两无限长同轴圆柱面上，电场的分布具有对称性，即距轴心等距 的各点大小相等，方向沿半径方向（轴向分布）欲求两圆柱面之间的空间中任意点（设距轴 心为r）的场强E，选取半径为r，单位长度的同轴圆柱面S1与两底面S2、S3构成的闭合柱 形高斯面S。其中S2、S3 处场强方向与法线垂直，cos90=0，通过S2、S3 的电通量为零， 所以通过S面的总电通量即为通过S1 的电通量 rESE dsEcosdsEcosdsEcosdscosE 2 1 e 321 ssss 由题意可知，在单位长度高斯圆柱面内的电量为+， 故由高斯定理 i i s qdscosE 0 e 1 得 E2 r =/0 解出E即得 r E 1 2 0 （R1 Ub。 5-15 什么是电偶极子? 电偶极子电场中某一点的电势与哪些因素有关? 指出电势大 于零、等于零、小于零的区域? 答答: 两个相距很近的等量异号电荷+q和q所组成的带电系统叫电偶极子。 电偶极子电 场中某一点的电势与电偶极子的电矩P成正比， 与该点到电偶极子的距离r平方成反比， 且 与方位角有关，即 2 cos r P kU 。电偶极子中垂面上各点的电势为零，在中垂面+q一侧 空间各点的电势为正，q一侧空间各点的电势为负。 5-16 两个等量异号的点电荷，其电量均为10-9 C，相距0.01mm，求该电偶极子的电 矩大小和方向。 解解: 已知Q =1.010-9 C，l =0.01mm=1.010-5 m，由电矩公式可得 P=ql=1.010-91.010-5 Cm=1.010-14 Cm 其方向由负电荷指向正电荷。 5-17 设在XY平面内的原点O处有一电偶极子，电矩P的大小为1.010-6 Cm，方 向指向Y轴正方向。问在坐标（1，0） ， （1，2） ， （0，1） ， （-1，2）点处的电势分别是多少? （坐标单位为m） 解解: 已知原点O处的电偶极子的电矩P=1.010-6 Cm，方向指向Y轴正方向，如附图所示， A点：=90，r =1m； B点：cos=2/5，r =5m； C点：=0， r =1m； D点：cos=2/5，r =5m。 根据电偶极子的电势 2 cos r P kU ，A、B、C、D各点 的电势分别为： 习题5-17 附图 0 90cos 2 0 r P kUA y(m) x(m) O C(0,1) A(1,0) B(1,2) D(-1,2) V1061V 5 5 2 10 109 3 6 9 2 . r cosP kU B V109V 1 10 109 3 6 9 2 r cosP kU C V1061V 5 5 2 10 109 3 6 9 2 . r cosP kU D 5-18 在边长为a的等边三角形重心处，有一垂直指向底边的电偶极子P，求： 三 角形各顶点的电势; 三角形各边中点的电势。 解解: 已知等边三角形的边长为a，则由附图可计算出重心到三个的顶点的距离r为 a a r 3 3 30cos2 0 又知电偶极子指向等边三角形的底边，如附图所示。根据电偶极子电势公式 2 cos r P kU ， 可得各顶点的电势。对于顶点A， =180，则 2 2 0 1 3 ) 3/3( 180cos a P k a P kU 对于顶点B，方位角 =60，顶点C， =60，则B、C的电势分别为 2 2 0 2 2 3 )3/3( )60cos( a P k a P kU 2 2 0 3 2 3 ) 3/3( 60cos a P k a P kU 由附图可知，重心到各边中心的距离d为 a a d 6 3 2 60cot 0 由此可进一步计算各边中点的电势，其中底边中点D， 习题5-18附图 =0，其电势为 2 2 0 1 12 )6/3( 0cos a P k a P kU 对于左边中点E，方位角 =120，右边中点F， =120，则这两点的电势分别为 2 2 0 2 6 )6/3( )120cos( a P k a P kU ， 2 2 0 3 6 )6/3( 120cos a P k a P kU E D r r A B C U3 U1 U2 U3 U1 U2 F P r 如果电偶极子P的方向水平向右，结果又是怎样? 读者自己计算。 5-19 电偶极子的电量q =310-7 C，轴线l =0.02mm，求：电偶极子中垂线上距轴线 中点30cm的P点的电势； 若P点在电偶极子电矩指向的延长线上时，其电势又是多少? （设这时P点离轴线中点的距离仍为30cm。 ） 解解: 已知q =310-7 C， l =210-5m，由电矩公式得 P = ql = 310-7210-5 Cm=610-12 Cm 因为P点在垂直于电偶极子轴线的中垂线上，其方向角=90，由电偶极子电势公 式 2 cos r P kU 可知，P点的电势U =0（因为cos90=0） 。 若P点位于电矩指向的延长线上，离轴线中心30cm，则 =00，r =30cm=0.3m，代入 电偶极子电势公式（常数k =9109 Nm2C-2） ，可得这时P点的电势为 V60V 30 0106 109 2 012 9 2 . ).( cos r cosP kU 5-20 一曲率半径为10cm的球壳状电偶层，带电量q =310-7 C，层间距为1mm，面 积30cm2，问在曲率中心处电偶层形成的电势是多少? 解解: 已知r =10cm=0.1m，q =310-7 C， =1mm=10-3 m，S =30cm2 =310-3 m2。由层矩 的定义得PS =(q)/S，由立体角公式得 =S/r2 ，再根据电偶层的电势公式，可得曲率 中心处电偶层形式的电势为 V270V 10 10103109 2 379 22 ss .r q k r S S q kkPdkPU s 5-21 均匀带电球壳内半径6cm， 外半径10cm， 电荷体密度为210-5 Cm-3求距球心5cm， 8cm，12cm 各点的场强。 解:解:高斯定理 0 d q SE s , 0 2 4 q rE 当5rcm时，0 q ,0E 8rcm时，q 3 4 p 3 (r ) 3 内 r 2 0 23 4 3 4 r rr E 内 4 1048. 3 1 CN ， 方向沿半径向外。 12rcm时, 3 4 q 3 ( 外 r） 内 3 r 4 2 0 3 3 1010. 4 4 3 4 r rr E 内外 1 CN 沿半径向外。 5-22 半径为R1和R2 (R2 R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-， 试求：(1)r R1；(2) R1rR2；(3) rR2处各点的场强。 解:解:高斯定理 0 d q SE s ，取同轴圆柱形高斯面，侧面积rlS2，则 rlESE S 2d (1) 1 Rr ，0, 0 Eq (2) 21 RrR，lq ， r E 0 2 ， 沿径向向外。 (3) 2 Rr ，0 q ， 0E 5-23 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各 处场强。 解:解:两带电平面均匀带电， 电荷面密度分别为1和2， 规定垂直于两平面由 1 面指向 2 面的方向为n ，则 两面间， nE )( 2 1 21 0 ； 1 面外， nE )( 2 1 21 0 ； 2 面外， nE )( 2 1 21 0 5-24 一块电介质在电场中极化后，沿着与电场垂直的方向将它截为两半，再撤去外电 场，这两块电介质是否带电?如果把电介质换成导体，情况又如何? 答答: 两块电介质均不带电。因为电介质极化产生的电荷不能离开介质，也不能在电介质 内部自由移动，处于束缚状态，无论是取向极化还是位移极化，当外电场撤消后，极化现象 也随之消失，由于分子的热运动，电介质对外不显电性。若换成导体放入电场中，导体中的 自由电子将在电场力作用下逆着外电场方向运动，导体一端因自由电子的积聚出现负电荷， 另一端因自由电子的缺失显现正电荷，分开后，一块导体带正电，另一块带负电。 5-25 设在外电场的作用下电介质的某处场强为0.15107 NC-1，电介质的介电常数 为10-10 C2N-1m-2，求无电介质时该处的场强是多少? 解解: 设外电场（即无电介质时）的场强为E0，放入电介质后，电介质内部的总场强E 是外电场与极化电场之和。由E = E0/r 和 = 0 r 可得 E0 = E / 0 已知： E =0.15107 NC-1， =10-10 C2N-1m-2，0 =8.854210-12 C2N-1m-2，代入 上式得 171 12 10 7 0 CN10691CN 1085428 10 10150 . . .E 5-26 平行板电容器的极板面积为S，间距为d，将电容器充电后，注入相对介电常数 为r 的电介质，问以下两种情况时，注入电介质前后电容器所带电荷Q，场强E，两板间 电压U，电容C和电场能量密度we 有何变化?（1）注入电介质时电容器仍在电源上； （2） 注入电介质时电容器已与电源断开。 答答: 注入电介质时电容器在电源上，这时两极板之间的电势差U不变，即注入电介 质前的电势差U前 等于注入电介质后的电势差U后 （U前 =U后） 。 根据电容器的电容的定义 式C=S d可知 C前 =0 S/ d， C后 = S /d=0 r S/ d = r C前 而Q=CU，Q后 =C后 U后 =r C前 U前 =r Q前 ，由E=U/d可得 E后 =U后/d=U前/d=E前 由能量密度公式w =E2/2 得 w后 =0 r E2后/2 =r（0 E2后/2）=r w前 其中w前 =0 E2后/2。 注入电介质时电容器已与电源断开，这时Q前 =Q后，即电容器所带电量不变，而C后 =S/ d=0 r S/ d=r C前，由U=Q/C可得 U后 =Q后/C后 =Q后/(r C前)= Q前/r C前 = U前/r 根据E=U/ d可得 E后 =U后/d=U前/r d=E前/r 由能量密度公式w = E2/2 得， w后 = 0 r E2后/2 =0r (E前/r )2/2 = (0E前/2 )2/r = w前/r 5-27 真空中一半径为R，电荷为Q的导体球，求其电场的总能量。 解解: 根据静电平衡条件，可知电荷Q一定均匀地分布在导体球的表面上。根据高斯定 理可求得均匀带电球面的场强分布为 )( 4 )(0 2 0 Rr r Q Rr E 由能量密度公式w =E2/2可知，在球内因E=0，故球内电场的能量为零。由上式和能量密度 公式可得，球外电场的能量密度为 4 0 2 2 2 2 0 0 2 0 32 ) 4 1 ( 2 1 2 1 r Q r Q E 取一个与球同心的球壳，其半径为r，厚度为dr，则它的体积为dV=4r2dr，体积元dV内的 电场能量dW=wdV= q2 dr/( 80 r2)，所以其电场的总能量为 R q r drq dWW R 0 2 2 0 2 88 5-28 在温度为37时， 带一个正电荷的某离子在细胞膜内外的浓度分别为10molm-3 和160molm-3，求膜内外平衡电位，并指出何侧电位高? 解解: 已知t =37，Z=+1，Ci =10molm-3，Co =160molm-3，由细胞膜电位公式可得 膜内的电位为 mV74mV 10 160 1 561561 0 )lg . ( C C lg Z . U i i 膜内电位高于膜外电位。 5-29 在某一细胞中，Cl 在37时的平衡电位为80mV， 如果在细胞外Cl 浓度为 110molm-3，那么在细胞内的浓度是多少? 解: t =37，Z =1，C0 =110molm-3，Ui =80mV，代入细胞膜内电位公式， 20 110110 1 561 80 ii CC lg . 解之得，Ci =5.5molm-3，即细胞膜内Cl 的浓度。 5-30 简述心电信号的产生过程。 答答: 当心肌细胞处于静息状态时，在其膜的内、外侧分别均匀地分布有等量的正、负离 子，形成一闭合曲面的电偶层，对外不显电性，这种状态叫极化。当心肌细胞兴奋时，由于 细胞对各种离子的通透性发生了变化， 使得在兴奋处膜外的正电和膜内负电逐渐消失， 接着， 反过来膜内带正电，而膜外带负电，这个过程称为除极，在除极过程中由于电荷不再均匀分 布，整个心肌细胞等效为一个电偶极子，其电矩方向与除极的传播方向相同。除极是一个极 其短暂的过程，然后细胞又恢复到原来内负外正的带电状态，这个过程称为复极。此时细胞 同样相当于一个电偶极子，只是电矩方向与除极时相反。复极结束后细胞恢复到极化状态。 可见，心肌细胞的除极和复极过程中