卢瑟福散射公式的几种推导方法

第 2 3 卷 第 3期 2 0 0 3年 6月 黄 冈 师范学 院学报 J o u r n a l o f Hu a n g g a n g No r ma l Un i v e r s i t y V0 1 2 3 No 3 J u n 2 0 0 3 卢 瑟福散射公式的几种推导方法 尹 建 武 ( 黄 冈师范学 院 物理 系 ， 湖北 黄州 4 3 8 0 0 0 ) 摘要 ： 讨论并 比较 了卢瑟福散射公 式的几种推 导方法， 加深 了对卢瑟福散 射公式的理解 关键词 ： 卢瑟福散射公式 ； 推导 ； 经典力学； 量子力 学； 场论 中图分类号 ： 05 6 2 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1 0 0 3 8 0 7 8 ( 2 0 0 3 ) 0 3 0 0 3 1 0 4 Th e m e t ho d s o f de r i v i ng t he Ru t he r f o r d s c a t t e r i ng f o r m u l a YI N J i a n- wu ( De p t o f P h y s i c s ，Hu a n g g a n g No r ma l Un i v e r s i t y， Hu a n g z h o u 4 3 8 0 0 0， Hu b e i Ch i n a ) Abs t r a c t： Thi s pa pe r di s c u s s e s a nd c o m p a r e s t h e m e t ho ds of de r i v i ng t he Rut he r f o r d s c a t t e r i ng f o r m u l a，an d de e pe n s ou r und e r s t a nd i ng of t hi s f o r m u l a Ke y wo r d s ：Ru t h e r f o r d s c a t t e r i n g f o r mu l a； d e r i v a t i o n； c l a s s i c a l me c h a n i c s ； q u a n t u m me c h a n i c s； f i e l d t h e o r y 卢瑟福散射 实验不仅对原子物理学的发展起 了很大的作用 ， 而且这种 以散射为手段研究物质结构 的 方法 对 近 代物 理 的发 展 一 直有 着 巨大 的影 响 而 今 在粒 子物 理 的研 究 领 域 ， 用 散 射 的方 法研 究 深层 次 的 物质 中可 能 的 点状 亚 结 构 时 ， 就 是 以是 否 能观 察 到 卢瑟 福 散射 所 具 有 的 特 征 为 判 断 依 据 的 可见 ， 卢 瑟福 散 射 及 表 征其 散 射 特性 的卢 瑟 福 公 式 在经 典 和 现 代物 理 中都具 有 十分 重 要 的地 位 本 文 将 对 卢瑟 福散射公式 的经典力学的、 量子力学的和量子场论的推导进行研究 比较 ， 使我们对这一著名实验及其表 征 实 验 特性 的公 式有 一 个完 整 的理 解 1 经典 力 学的推导 在用经典力学的方法讨论卢瑟福散射问题时 ， 要用到在物理学中的一个很重要 的公式库仑散 射公 式 ： 6 一 号 c t g 詈 (a 三 4Z 丌lZ 2e z 称 之 为 库 仑 散 射 因 子 ) 其 中 ， b是 瞄 准 距 离 ( 又称 碰 撞 参 数 ) ， 即 入射 粒 子 与 固定 散 射 体无 相 互 作 用情 况 下 的最 小直 线距 离 为 散 射 角 ( 如 图 1 ) 下 面先 给 出此公 式 的 简明 推 导 ： 如 图 ， 荷 电 z l e的粒 子 以速 度 口 入射 ， 在 r 处 受 力 = Zl Z 2 e2 ， ( 为 方 向的 单 位矢 量 ) 图 1 带电粒 e 子的库仑散 射 Z 取 x轴 水 平 向右 ， y轴 竖 直 向上 ， 此 力沿 轴 、 轴 方 向 的分 为 ： = Z l Z 2 e2c 。s ， F = Zl Z 2 e 2 s- n 库仑力是保守力和 中心力 ， 故运动过程 中入射粒子机械能和角动量守恒 ： 收稿 日期 ： 2 0 0 2 - 1 O 一 2 8 作者 简介 ： 尹建武 ， 男 ， 湖北罗 田人 ， 副教授 ， 主要 从事粒子 物理的研究 维普资讯 3 2 黄 冈 师范学 院学报 第 2 3卷 一 ， 韧一 末一 ， 一 舢 韧一 末一 6 一 出一 d 在 Y方 向 ， 由牛 顿运 动 定 律 ， 有 ： 警一 一 4Z lZ 2e 2 s in 一 s in r 2 d 一 Z lz 2e 2 s in ， Y方 向速率 变化 范 围 为 ： O 一 s i n ， 角 的 变化 范 围为 ： O 一 7 r 一 ， 一 z l z 2 砌 e2 J 0sf x - O in s i n 0一 ( 1+ c o s ) 4 z r o 7 D 6 一 一 篇c tg 导 一 号 c tg 导 ， 其 中 口 三 淼 下 面再 推导 卢 瑟福 散 射 公式 ： 6 6 +d 6之 间 的环 状 区域 内入 射 的粒 子散 射 到 +d 之 间 的立体 角 内 设薄 箔 面积 为 ， 厚 度 为 t ， 则 ： 一 个 粒 子 打在距 一 个 原 子 6 6 +d b之 间的 环状 区 域 的几 率 为 ： 丁2 7 r b d b 一 2 7 1 ( 、 a ct g 0) ( 一 2 詈 d O ) 一 一 口 2 r s in O d O 1 6 n 导 。 口 d 一 1 6 n 导 薄 箔 中有 n At个 原 子 核 ， 即 有 n At个 环 ， 一 个 粒 子 打 在 At个 原 -7 = 核 的 环 上 的 几 翠 为 ： d p( )一 1 6 专 个 粒 子打 在 n At 个 原 子核 的环 上 被散 射 到 &- + O -d O之 间 的立 体 角 内的粒 子数 为 ： 一 aZ d D 一 a Z dD 6 As i n 6 s i n 一 c s i n 1 1 一 。 定 义 微 分 散 射 截 面 ： 三 三 一 ( ) _ ， 这 就 是 著 名 的 卢 瑟 福 散 射 公 式 。 n 从 上 面 的推 导 可 以看 出 ， 用 经 典 力 学 的方 法 推 导卢 瑟福 散 射 公 式 时 ， 关 键 是 推 导 出库 仑 散 射 公 式 而 库仑 散 射公 式 的推 导方 法在 不 同 的书 籍 中不 尽相 同 ， 我 们 这 里 给 出 了一 种 简 明 的方 法 2 量子 力学的推导 高速 带 电粒子 带 电 。 ( 如 a粒 子 ) 被 一 中性原 子 ( 其 核 带 电 Z 2 ) 散射 ， 考 虑屏 蔽 效应 ， 有 =一 由 B 。 r n 近 似 公 式 得 ： ( ) = 4 It If r U ( r ) s in ( K r ) d r I ， 可求得： ( ) 一 I s i n ( Kr ) 一 吾 d r I 一 4 丽 2 z l z 2 e 4 ， Ka= 2 k a s i n 0 1帅一 ： ( ) 1 这 就是 卢 瑟福 散 射 赋 此外 ， 还 可 用球 坐标 和抛 物 线 坐 标来 讨论 卢瑟 福散 射 问 题 ， 详 细讨 论 参 见文献 r 5 维普资讯 第 3期 尹建武 ： 卢 瑟福散射公式 的几种推导 方法 3 3， 3 量 子场论的推导 考虑 一 个带 电 费米 子 被外 场 ( 经 典 场 ) 散 射 ， 入 射态 为 ( 户， r ) ， 出射 态 为 ( 户 ， r ) 哈 密 顿 密度 为 ， 一 ( ( z ) ( z ) ( z ) ) ， 其 中 A ( z ) 一y ( z ) ， A 为 外 场 考虑 一 级效 应 ： = 一 i I d t z J 一一 i e l d 4 z J 一 ， ( ) ( 一 ) n ( 一 ) ， ( ) ， 图 2带 电 贯 米 于 板 外 物 散 射 口 ( 一 ) =I ( z ) e i (p一 一 ， ： d t z 对 于静 电场 ： 一 y ( 一； ) 一一 y 。 ( 一 ) 2 7r ( E 一E ) ( 一 ) 一 d 3 x U ( x )le l( 一 一 ， =一 i e 2 3 ( E 一E ) u ( p一 ) ( 户 ) y 。 ， ( 户 ) ， J J z z ( 2 7r ) z 3 ( E 一E ) ( 0 ) I u ( i 一 ) l _ 一 ( 户 ) y 。 ， ( 户 ) ， ( ( E 一 E) ( E 一 E)一 3 ( E 一 E) 3 ( O ) ) 一e 2 ( 2 7r ) z ( 0 ) I u( i 一 ) J z t r y 。 ( +m ) r 。 ( 户 +m) 3 一 z ( 2 7 r ) z ( 0 ) J ( 一 ) J z = ( 2 E + 一 户户f ) 0 )一 卜l i m J 姜 一 lira 2 E z + 一 户 户 + + 1 厂 百 1 + ： E 。 一一十 +一 0 2 EE P E P c o s 0 2 E 。 ( 1 一 2 s i n 昙 ) ， ： 。 一 十 + 一 。 ( 1 一 s i n ) ， 故单 位 时 间 内末态 粒子 跃 迁 到动 量 空 间 d 。 内的几 率 为 一 亭 = E 7 r Z eZ 3 ( E 一E ) I U 一 ) l ( 1 一 2 s i n 2- ) d O 一 一 2 一 一 ( 用 到 了 d 。 P 一 P d P d O， J P J d J P J= E d E ) 在实 验 室坐标 系中 ， 粒 子 流强 度 为 2 E 一2 J I ， 微 分 截面 对 于静 电场 d 一 一 一 ( s i n n， ) 南 ( 一 ) P P 4 玎 I I I 一 ) ， 0 4 p s in 拓 维普资讯 3 4 黄冈 师范 学 院 学报 第 2 3 卷 取非 相对 论 近 似 ， 得 ： da f z e z 8 ， r Ev0 s i n0 一 z e z 8 T r Ey s i n ) z d n 0 。 导 ， 4 三种 方法 的 比较 以上 给 出 了卢 瑟 福 散 射 公 式 的 三种 推 导方 法 ， 下 面 我 们 对 三种 方 法 进 行一 些 比较 讨 论 可 以看 出 ， 经典力学方法着眼于若干粒子组成 的系统 ， 这里是两个粒 子组成的系统 ， 导出这两个粒子 的库仑散射公 式 是 关键 ， 推 导 库仑 散 射 公式 有 理论 力 学 的微 分 方 程方 法 ， 也 有 象 这 里给 出的仅 利 用牛 顿 定 律就 能 解决 问题 的简 易方 法 导 出 了这一 关 于 一个 粒 子 的散 射 公式 ， 则 大 量 粒 子 的散 射 问题 卢 瑟 福散 射 公 式就 可用 大量 粒 子 叠加 的方 法 推 出 ； 量 子 力学 中的 B o r n近 似方 法 必 须 考 虑到 核 外 电 子 的屏 蔽 效 应 ， 而实 际 散 射 时核 外 电 子 的屏 蔽 效 应 也 的 确存 在 ， 此 方 法对 短 程 势 才 适 用 ； 量 子 场论 方 法 则 从 场 观 点 出发 ， 考 虑 两 个 粒子 相 应 的场 之 间 的 相 互 作用 ， 而场 则 是 由大 量 粒 子所 组 成 ， 这 是 最 接 近实 际散 射 情 况 的 ， 所 得 结 果 是相 对论 性 的 ， 因而 也 就更 为精 确 ， 在 非 相对 论 情形 下才 过 渡 为卢 瑟 福散 射 公式 通 过上 述 比较可 知 ， 现 代关 于 粒 子之 间通 过 场 相 互作 用 的观 点 既在 理 论 上 提 高 了 人 们对 于 物质 相 互 作 用 的认 识 ， 又 在 实 际 计 算上 给 出 了更一 般 性 的 结果 参 考 文献 ： 1 周衍柏 理 论力学 教程 M 北京 ： 人 民教育 出版社 ， 1 9 7 9 8 3 8 7 2 3 西德 Ha k e n H， Wo l f H C 卢 瑟福散射公式 的一个 简明推导 J 大学物理 ， 1 9 8 4 ： 2 7 2 8 3 杨福 家 原 子物理 学( 第 三版) M 北京 ： 高等教育 出版社 ， 2 0 0 0 1 4 1 8 4 周世 勋 量 子力学教 程 M 北京 ： 高等教 育 出版社 1 9 7 9 1 8 6 1 8 9 5 曾谨言 量子 力学 ( 卷 ) M 北京 ： 科学 出版社 2 0 0 0 5 6 3 5 7 5 6 3 邹 国兴 量子 场论导 论 M 北京 ： 科学 出版社 1 9 8 0 1 7 1 1 7 5 ( 上 接 第 2 1页) 定 理 8 设 X ； *； 0 ) 是 一 个 拟 结 合 B C H一 代 数 利 用 已 知 运 算 “*” ， 在 X 规 定 一 个 加 法 “ + ” ， 即 V X， Y X， 定 义 ： X + 一0*( ) ， 则 ( X， +) 是 一 个交 换 半 群 证 明 显 然 所 定 义 的加 法是 X 中的一 个 二元 运 算 下 面 证 明 ( X， +) 满 足 交换 律 与结 合 律 交换