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文档简介

.,对称性在二重积分中的应用,高等数学（同济大学第五版）,主讲：张晓斌,中国民航大学理学院,.,一、常用的有关二重积分的对称性定理,二、定理的应用（典型例题分析）,三、小结,主要内容,.,一、常用的有关二重积分的对称性定理,定义1：若二元函数的定义域关于轴对称，且满足（或），则称关于为奇（偶）函数。,定义2：若二元函数的定义域关于轴对称，且满足（或），则称关于为奇（偶）函数。,定义3：若二元函数的定义域关于直线对称，且满足，则称关于和对称。,.,定理1若有界闭区域关于轴对称，在区域上连续，则,当关于为奇函数时,当关于为偶函数时,.,定理1若有界闭区域关于轴对称，在区域上连续，则,当关于为奇函数时,当关于为偶函数时,.,推论1.1若有界闭区域关于轴和轴都对称，在区域上连续，且关于和均为偶函数，则,.,定理2若有界闭区域与区域关于直线对称，在区域上连续，则,.,推论2.1若有界闭区域关于直线对称，在区域上连续，则,.,例1.,如图，由于积分区域关于轴，轴都对称，且和中的被积函数分别关于是奇函数，根据定理1和定理1得,计算其中,解：,二、定理的应用,.,例2.（总习题九1(2)）.,则,提示:如图，,A,设有平面闭区域,.,例3.有一个平面薄片,在平面上占有区域其面密度为，求该薄片的质量M。,由于积分区域关于轴，轴都对称，且被积函数关于都是偶函数，根据推论1.1得,解：根据二重积分的物理意义，,2014.3,.,例4.设在连续，且,证明,证明:,补区域使其与区域,注意到被积函数关于和对称,考虑利用定理2，,关于直线对称。,.,例5.,设为取值恒大于0的连续函数，区域，与是两个非零常数，则二重积分,.,解：由于区域关于直线对称，根据推论2.1可得,从而,.,三、小结,本节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定理，并通过例题分析对这些定理做了应
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