第一节-定积分的概念与性质VIP

第五章定积分、第一节定积分的概念和性质，第一、问题的提出，我们平时在平面几何和立体几何学习的是非常规的图形，如三角形、梯形、圆等。 它们的面积计算均由公式给出，理解也比较简单。 但是，现实中也有其他的图形，这些面积计算不能用给定的式子给出。 如右上图所示。 这样图形面积应该怎样计算呢，连续曲线y=f(x ) ()，由x轴和两条直线x=a、x=b包围的图形，考虑到该图像为曲线梯形(如图所示，该面积应该怎样计算)的问题，由于不知道其正确的公式，所以只有一个(4个小矩形)、(9个小矩形)代替曲线梯形面积的近似，将区间a，b划分为多个子区间，以此为基础构筑多个小矩形，计算这些矩形的面积，通过合计，求出近似的曲线梯形的面积。 另外，观察下一个演示过程，细分时，注意矩形面积与曲边梯形面积的关系，广播、曲边梯形如图所示，分割，求曲边梯形面积a的具体方法：将区间a，b分为n个单元，各点Xi (I=1，2，2，n )为y轴的平行线，曲边梯形为n个小曲边矩形、取近似。 对于高小矩形面积，曲边梯形面积的近似值是将曲边梯形面积相加并取得界限的【实施例1】(求出变速直线运动的程度)、【构想】将整个时间分割为几个短段，将每个短段的速度视为恒定，求出各短段的程度并相加，从而得到程度的近似值最后，经过时间的无限细分过程求出路程的正确值，(1)求出分割、部分路程的值、某时刻的速度，(3)求出合计(4)极限、路程的正确值，(2)取近似，求出曲线下的面积areunderarcaservehowtofindtheshadedareaundercurure Asshownbelow:在初等数学背景下，曲线下面积(AreaUnderaCurve )是一个非常难的问题。 然而，利用定积分(TheDefiniteIntegral )解，抓住了手的【实例2】，雷曼和RiemannSums分别为2，n=2，4，n=4，8，n=8，n，n， Asshownabove:德国数学家雷曼(BernhardRiemann )用一种巧妙的方法：.测量曲线下不规则图像近似等宽小矩形的ii .所有小矩形的面积，将所有小矩形的面积相加， 获得面积和的.使用面积和估计曲线中的面积iv .将较小的矩形切成更小的矩形，重复上述过程，使估计值更准确的Thatis首先将闭区间a，b分为n个子区间，将曲边分割为n个较小的矩形。 使用n个小矩形推定n个小曲线边形，用Ai表示第I个小矩形的面积，将n个小矩形的面积和：称为黎曼和(RiemannSums )，第二，如果f(x )是在闭区间a，b中定义的函数，则f(x )可以积分为a，b，将该极限值分别称为f(x ) 我们被称为黎曼和。 函数值取左端点的值时，称为左黎曼和。 在函数值取右端点的值时，称为左黎曼和。 函数值取中点值时，称为中点黎曼和。、左黎曼和leftriemannsumsifwesethefunctionvalueoftheletfpointtofftheinterval、thesumiscalledaleftriemannsuml (n ).asshownbelow : And，右黎曼和rightriemannsumsifwesethefunctionvalueoftherightpointoftheinterval，thesumiscalledarightriemannsumr (n ).asshownbb And，中黎曼和midpointriemannsumsifwesethefunctionvalueofthemidpointoftheinterval，thesumiscalledamidpointriemannsumm (n ).asshownbelow And，Weget，And，wehavetheTrapezoidRule:梯形法则TrapezoidRuleNow，wefindtheareahestrisasshownbelowbyusingtrapezoids.weenotethebe y2 y3、yn 1、andtheheightsby .TrapezoidRule、函数f(x )在区间a，b中的定积分表示为积分上限、积分下限、积分和，【注意】，(因为定积分是数值)，(2)为了便于后面的讨论，弯边梯形的面积、弯边梯形的面积的负值、三个、 定积分的几何意义example 1: approptimatithehereandcurveey=x2 fromx=0tox=4usingfourleft-end-point/right-endpoint/midpointrectanglewithequare solution : dividedetheintervaltofrequalinterval 0，1 、 1，2 、 2，3 and 3，4 、LeftRiemannsum:RightRiemannsum:以及MidpointRiemannsum:，didetechintervaltofrequalinterval example 2: thefunctionintontinuousontlosedinterval 0， 10 andhashasvalleshisshowninthetableabove.using the intervals 0，2 2，5 5，8 and 8，10 ，whatistheapproximationofobtaineromanrightrightring 、Solution:FromthedefinitionofRiemannsum，(2)2(1)3(8)2=11，很明显，按照定义计算确定积分是非常困难的，必须寻找新的方法计算确定积分。 其次，介绍了牛顿莱布尼茨方程，建立了确定积分与不定积分的关系，大大简化了确定积分的计算。 关注、行程函数s(t )是速度函数v=v(t )的原函数，定积分和不定积分相结合的是下一牛顿莱布尼茨公式。另一方面，如果将质点从某个时刻a到时刻b的路程记为s(b)s(a )，则s(t )=v=v(t )，因此，如果质点以速度v=v (t )进行变速直线运动，则在定积分中定义质点，关于从时刻a到时刻b的路程，函数f满足a，b的条件：(i)f满足a， 在b中，如果(ii)f在a，b中选择了原函数f，则(1)f可以乘以a，b，四，微积分的第一基础理论(牛顿莱布尼茨方程式)， 上述公式通常被称为牛顿莱布尼茨公式，明确了固定积分和不定积分的关系，提供了一种简便有效的计算固定积分的方法，一般来说，F(x )是F(x )的一个原函数， (2)在计算固定积分时也经常表示为F(b)F(a )，牛顿莱因茨公式，求常见函数的原函数c、x c、ln|x| c、ex c、sinx c、-cosx c、基本积分表，例1，下一定积分：解：因此，求解，解，2 )，(3)求解，解，解， 例2求原式、解、例3求原式、解：Example4:Find、Solution:Example5:Ifand、thenf(e)=？ Solution:以下的性质，假定存在定积分，没有特别说明的话不考虑积分的上下限的大小，对定积分的【补充规定】，【说明】， 6、定积分的性质、性质1: (该性质扩展到有限的多个函数的和的情况)、(每项积分)、性质2:【补充】或者不论a、b，c的相对位置如何，上式成立，例、例如果是性质：则为(积分区间的加法性)、推进、首尾相接、 如果f(x )是在区间a，a中连续的奇函数，并且f(x )是在区间a，a中连续的偶函数，则性质4:性质5:可以表示为： 6、总结1 .定积分的本质：特殊和式的界限.2.定积分的思想和方法：求近似，直(不变)代曲(变)，取界，观察下一个演示过程，细化分割时，注意矩形面积和曲边梯形面积的关系，观察下一个演示过程，细化分割时， 注意矩形面积与曲边梯形面积关系，观察下面的演示过程，在分割变细时观察矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分时的矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分时的矩形面积与曲边梯形面积的关系， 观察细分化时矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分化时的矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察以下的演示，观察细分化时矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分化时的矩形面积与曲边梯形面积的关系， 观察细分化时矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分化时的矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分化时的矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察以下的演示，在细分化时观察矩形面积与曲边梯形面积的关系， 观察细分化时矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分化时的矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分化时的矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察细分化时的矩形面积与曲边梯形面积的关系，观察以下的演示， 细分化时矩形面积和曲边梯形面积的关系.66，3 .定积分的定义，如果f(x )是闭区间a，b中定义的函数，则f(x )可以积分为a，b，将该界限值称为f(x )是a，b中定义的定积分。 我们被称为黎曼和。