四年级奥数《高斯求和》答案及解析

高斯和德国著名数学家科斯莫斯小时候聪明地上学，有一天老师出了允许学生计算的问题。1 2 3 4 .99 100=？老师完成学生的作业后，全班都埋头计算，但小达斯很快就找到了5050的答案。为什么波斯菊又快又准确？原来通过小高斯注意观察发现：1 100=2 99=3 98=.=49 52=50 51。1 100完全可以分为这种50对数，每个对数的和都相等。所以，小课程问了这个问题(1 100) 1002=5050。小高斯使用的这种求和方法真聪明、简单、快速、广泛地应用于“等差数”的求和问题。多个数字排成一行，称为数列，数列中的每个数字称为项目，第一个项目称为第一个项目，最后一个项目称为最后一个项目。后港和前港的差异相同的数列称为等差数，后港和前港的差异称为公差。例如：(1) 1，2，3，4，5，100；(2) 1，3，5，7，9，99；(3)8，15，22，29，36，71 .其中(1)是第一个项目为1，最后一个项目为100，公差为1的等差序列。(2)为第一项目1，最后项目99，公差2的等差序列；(3)是第一个项目为8，最后一个项目为71，公差为7的等差序列。用高斯杂交法得到等差级数的求和公式。和=(第一个最后一个项目)项目数2。示例1 2 3.1999=？分析和解决方案：此字符串包含1、2、3、1999具有等差数列，第一项为1，最后一项为1999，总数为1999。可以从等差数列的求和公式中得到原始=(1 1999) 19992=1999000。注意：在使用等差数列合计公式之前，必须确定标题中的每个加法是否构成等差数列。实例2 11 12 13.31=？分析和解决方案：此字符串包含11，12，13、31为等差数列，第一个项目为11，最后一个项目为31，总计31-11 1=21(项目)。原始=(11 31)212=441。使用等差数列求和公式时，有时恒数一目了然，这时要先求出恒数。根据第一个项目、最后一个项目和公差关系，您可以项目数=(最后一个项目-第一个项目)公差1，最后一个项目=第一个公差(项目数-1)。范例3 7 11.99=？分析和解决方案：3，7，11，99是公差为4的等差序列。项目数=(99-3) 4 1=25，原始=(3 99) 252=1275。范例4第一个项目为25，公差为3的等差系列中前40个项目的总和。解法：最后一个=25 3 (40-1)=142，和=(25 142) 402=3340。使用等差数列合计公式和项目数以及最后一个项目的公式，可以解决与各种等差数列合计相关的问题。例5在下图中，每个最小等边三角形的面积为12厘米2，边长为1根火柴。问：(1)最大三角形的面积是多少平方厘米？整个图纸有多少根火柴？分析：最大三角形有8层。从上到下，每个层中的小三角形数和使用的火柴数如下表所示。如上表所示，各层的小三角形成为等差列，各层的火柴成为等差数。解决方案：(1)最大三角形面积为(1 3 5.15) 12=(1 15) 82 12=768(厘米2)。2)火柴数3 6 9 .24=(3 24) 82=108(根)。答：最大三角形的面积为768厘米2，整个图形分为108根火柴。例6箱子里放着三只乒乓球，一位魔术师第一次从箱子里拿出一只球，换成三个球，然后放回箱子里；第二个是从箱子里拿出两个球，把每个球做成三个，然后放回箱子里。第十个从箱子里拿出十个球，把每个球换成三个，然后再放回箱子里。这个时候箱子里有多少乒乓球？分析及解决方法：一个球变成了三个，实际上又多了两个球。第一次是2个球，下一次是22个球.第10次又有210个球。所以拿了十次后，更多21 22 .210=2 (1 2.10)=255=110(仅限)。原来加上3个球，箱子里有球110 3=113。合并行如下：(3-1) (1 2.10) 3=2 (1 10) 102 3=113(专用)。练习1.计算以下问题：(1) 2 4 6.200；解决方案：项目数=(最后一个-第一个)公差1=(200-2)2 1=1和=(第一个最后一个项目)项目数2，因此，2 4 6.200=(2 200) 1002=10100(2) 17 19 21.39；解决方案：项目数=(最后一个项目-第一个项目)公差1=(39-17)2 1=12和=(第一个最后一个项目)项目数2，所以17 19 21.39=(17 39) 122=336(3) 5 8 11 14.50；解决方案：项目数=(最后一个-第一个)公差1=(50-5)3 1=16和=(第一个最后一个项目)项目数2，因此，5 8 11 14.50=(5 50) 162=24200(4) 3 10 17 24.101.解决方案：项目数=(最后一个-第一个)公差1=(101-3)7 1=15和=(第一个最后一个项目)项目数2，因此3 10 17 24.101=(3 101) 152=7802.第一个项目为5，最后一个项目为93，公差为4的等差数列之和。解决方案：项目数=(最后一个项目-第一个项目)公差1=(93-5)4 1=23因此，和=(第一个项目结束)项目数2=(5 93)232=11273.第一个项目是13，公差是5的等差数列中前30个项目的总和。解决方案：最后一个=第一个公差(项目数-1)=13 5(30-1)=158因此，和=(第一个项目结束)项目数2=(13 158)302=25654.手表每小时打一次，等于手表的一分，一分也敲。问：手表一天敲几次？解决方法：在每个顶点打时钟，时钟的1，最后12，公差为1的等差数列：1，2，3，4，5，有构成第12名的手表。时钟每小时敲击的次数之和为=(第一个项目的结束)项目数2=(1 12)122=78；因为每分钟敲一次，所以每分钟敲12次。因此，在1小时内敲78 12=90下。所以手表一天一夜的攻击次数为9024=2160求100内除以3剩余2的所有个数之和。解决方案：在100内，3除以其馀2的数字是，(13 2)，(23 2)，(33 2)，(3232)；配置第一个项目5、最后一个项目98和公差3的等差序列。项目数=(最后一个项目-第一个项目)公差1=(98-5)3 1=32因此，和=(第一个项目结束)项目数2=(5 98)322=16486.所有两位数中，有多少位比一位大？解决方案：大于10位的数字中10位的数字为1:10；10位数2是20，21。10位数3是