圆中最值问题10种求法

圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1如图：O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值. 分析：延长AO交O于D，连接CD交O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OECD，垂足为E在OCD中，因为AOC=60 所以D=C=30在RtODE中 cos30= 即DE=2cos30= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(3, 2)，A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切A于点Q，则PQ长度的最小值为 . 分析：连接AQ、PA，可知AQPQ. 在RtPQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA 因为PQ切A于点Q 所以PQAQ 在RtAPQ中，PQ2=PA2AQ2即PQ=又因为A(3,2) ，根据垂线段最短。 所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )AB2C3D3分析：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2r=22=4，PA=6因为4= 所以n=120 即APB=60 又因为PA=PB所以PAB是等边三角形 因为D为PB中点 所以ADPB PD=DB=3在RtPAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4如图：半径为2.5的O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求P的正切值；（2）当CPAB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.分析：易证明ACBPCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是O的动弦，当PC是O的直径时最大. 五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5如图：已知O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求ABC面积的最大值.分析：设BC边上的高为h因为SABC=BC h=2h=h当h最大时SABC最大，当点A在优弧的中点时h最大. 解：当点A为优弧的中点时，作ADBC于D连接BO 即BD=CD=在RtBDO中，OD2=OB2BD2=22()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以SABC=BCAD=23=3即ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.分析：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=()2=因为4 所以所以=144 所以S2S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7如图：在半径为1的O中，AB是弦，OMAB，垂足为M，求OM+AB的最大值.分析：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在RtOAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x24ax+(a21)=0因为=(4a)245(a21)0即a25 所以a所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是O的一部分)区域内，AOB=80，为避免触礁，轮船P与A、B的张角APB的最大值为 . 分析：连接AC，易知ACB=AOB=40，又因为ACBP，所以P的最大值为40.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知ACB=AOB=80=40又因为ACBP 即APB40所以APB的最大值为40九、利用经过O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9如图：O的半径为5cm，点P为O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为 cm.分析：过P作ABOP，交O于A、B，则AB的长最小. 解：在RtOAP中，AP=所以AB=2AP=24=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10如图：点P为O外一点，PQ切O于点Q，O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与O上各点的连线长度的最大值为 ，最小值为 .分析：过P、O两点作直线交O于A、B，则PA的长度最大，