圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学特性及应用尹建堂一、圆锥曲线的光学特性圆锥曲线的光学特性来自其切线和法线的特性，因此，要正确理解和掌握其光学特性，必须了解其切线、法线方程的方法和特性。如果将p()设定为圆锥曲线(a、b、c都不为零)的上一点，则该点处的相切方程式为：(与已知的曲线方程式本身相比，此方程式通常称为替代规则，并使用此规则直接建立相切方程式。)。此方程式的导出原则上是使用方法取得点p处的切线斜率，然后以点坡度表示式写入切线方程式，则点p处的法线方程式为：1，抛物线的切线，法线特性如果通过抛物线上的一点的直线平行于抛物线的轴，则通过该点的法线将平分此直线与此点的焦点半径之间的角度。图1 .实际上，当设定为抛物线上的一点时，切线MT的方程式可以是交替规则，即坡度比，点m的法线方程式可以是结果法线与x轴交点n的坐标为，所以另外，焦点半径所以，所以如果点m与顶点o重合，则法线为x轴，结论保持不变。因此，太m的法线将此直线与此点的焦点半径之间的角度平分。您也可以使用点m的相切方程式来寻找。也可以用角度公式证明抛物线此性质的光学意义是：从焦点发出的光通过抛物线上的一点反射后，反射的光平行于抛物线的轴线。2、椭圆的切线、法线特性两个焦点半径的角度，通过椭圆上一点的法线平分此点。图2证明不难，另求，然后写角度公式，就证明了。椭圆的这个特性具有的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光反射到椭圆上，然后反射光线与椭圆的另一个焦点相交。”3，双曲切线，法线属性通过双曲线上一点的切线平分该点的两个焦点半径的角度，如图3所示。角度公式仍然可以得到认证。该特性的光学意义是：“双曲线的一个焦点发出的光以双曲线反射后，从另一个焦点发射的一样，反射光线分散。”二、圆锥曲线的光学特性光学特性广泛应用于生产和科学技术。仅显示了解决与圆锥曲线相关的问题时如何应用这些光学特性的示例。圆锥曲线的光学特性，特别是应用切线问题，很方便。在此过程中，必须应用“通过投影点的曲线的切线与入射线、反射线成相同的角度”的基本关系。图4，如果MN切线曲线c位于点p上，APM=bpn。这很容易证明物理中的“入射角等于反射角”点和平面几何体中的“等距残角”相等。范例1验证：椭圆与双曲线的切线在交点处彼此垂直。分析：图5，圆锥曲线的光学特性证明证明：图5，两条曲线的共同焦点，将p设置为两条曲线的交点，PQ，PR分别由椭圆、双曲切线、连接和扩展，由椭圆光学特性双曲光学性质3=4。另外，2=5，4=6(相反角度相等)，也就是说，1=5，3=6(用相同的量代替)。另外，1-30；3-30；5-6=180，因此，13=90，即pqpr，命题得到了证明。解释：(1)这个问题可以用代数验证的方法证明，但比较复杂。光学特性证明的规律直观简单。(2)在这个问题上得到了一般命题。焦点在同一椭圆和双曲线的交点处，切线互垂，因此两个圆锥曲线在交点处定义为两条切线互垂，这两条曲线互垂。示例2图6被称为椭圆的焦点，投影到椭圆的所有直线CD上。(1)认证：设置值；(2)求的轨迹方程。分析：(1)证明是(光学性质推的)值，以便您知道应用余弦定理。(2)分别求值，可以知道轨迹，容易得到轨迹方程。证明：(1)将q设置为切线，将椭圆光学特性设置为所以另外，在中，邮报所以常数，也就是值。(2)如果CD上点o的斜孔为m，则OM是直角梯形的中间标记。在中，同样的道理轨迹是以o为中心，以a为半径的圆，其方程如下示例3将抛物线的焦点设置为f，将f和A(4，4)设置为椭圆，具有已知抛物线和公共点(图7)，并在长轴最短的情况下查找椭圆方程。分析：解决方案的核心是光线FP的反射线PA平行于x轴。解决方案：关注点A(4，4)、F(4，0)的椭圆(A是长半轴长度)。将p设定为抛物线和椭圆的公共点。椭圆的第一个定义已知：也就是说，仅当椭圆相切于抛物线时，长轴长度2a等于抛物线上一点p到两点a、f距离的总和。此时，光源FP的反射线PA由圆锥曲线的光学特性平行于x轴。所以P(1，4)。知道所以椭圆方程式在示例4图8中，已知探照灯的轴截面是抛物线，平行于对称轴的射线位于此抛物线的入射点上，反射点分别为p，q，设置点p的纵坐标为a值时入射点p到反射点q的最短PQ？分析：由于抛物线光学特性知道PQ处于超聚焦状态，因此可以使用弦长公式编写目标函数，以获得最小条件a。解法：如果