高数—不定积分_讲解和例题-_(2)

.,3.分部积分法,设u(x),v(x)有连续导数，则,两边取积分：,分部积分公式,.,要求：,如何选择v?,.,例1：,=?,.,一般：,(1)v要容易求出。,v(x)的,ex;,次选：,sinx,cosx；,再次之：,首选：,x等幂函数；,不选：,lnx.,.,例题讨论,例2：,.,小结（一）：,可降低xm的幂次数。,.,例3：,.,例4：,.,小结（二）：,可使原来含超越函数的被积函数化为代数函数的积分。,.,例5：,再生法,.,例6：,由再生法：,.,例7：,+a2-a2,由再生法：,.,本例还可用前面讲过的三角代换,令x=atant,.,同理：,所以：,.,小结（三）：,经过几次分部积分后，又出现原来的积分，这时可移项合并求出积分。（再生法）,求不定积分往往将换元、分部法结合起来一起使用！下面再看一些例子。,.,例1：,解一：,原式=,解二：,原式=,x,1,t,.,例2：,.,例3：,.,例4：,解：,原式=,.,例5:,解：,原式=,.,例6:,.,例7:,解：,原式,.,例8：,已知f(x)的原函数为,解：,.,请同学们自己看教材第209页例9：,递推公式：,例9：,.,课外作业,习43（A）,2（5，8，10）,习43（B）,1（4，5，10，11，13，15，16，19，20）,.,4.有理函数的积分,对有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分，仍有规律可循。,一、有理函数的积分,有理函数:由两个多项式的商所表示的函数。,其中m,n都是正整数或零,系数ai,bj均为实数，,R(x)为多项式(又称有理整函数),有理真分式,有理假分式,=多项式+真分式,.,性质：,真分式总可分解成若干个最简分式之和部分分式之和。,a)若Q(x)能分解成若干个单因式，即,如：,A,B,.,比较系数,.,b)若Q(x)能分解若干个k重单因式，即,如：,比较系数：,.,c)若Q(x)含有二次质因式,如：,比较系数：,.,d)若Q(x)含有k次质因式,.,从理论上讲，,任何有理函数的不定积分都存在。,有理函数的不定积分必定是有理函数、对数函数或反正切函数。,即任何有理函数的不定积分仍是初等函数。,.,求有理函数积分的方法：,(1)把真分式拆成部分分式之和。,(2)化假分式=多项式+真分式,例1：,+x-x,.,(3)利用恒等变形求某些有理式的不定积分：,例2：,+x2-x2,+x-x,+x-x,.,例3：,若令ex=u,x=lnu,化为有理式的积分。,.,特点：,被积函数的分子的次数比分母低一次，,所以分子放入微分号后即与分母同次。,(4)利用被积函数自身特点。,例4：,且d(x2+x+3)=(2x+1)dx,解：,.,.,课外作业,习44,1（1，10），4（2，21）,.,二、可化为有理函数的积分举例,三角函数有理式：,指由三角函数和常数经过有限次四则,如：,总可通过适当变换，,化成有理函数的积分。,运算所构成的函数。记成,.,万能变换,化为u的有理函数的积分。,.,例：,.,万能变换并不是最简捷的方法，万不得已而用之。,一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。,另外：若,总之解题要灵活。,.,例1：,.,例2：,.,例3：,(分子分母同乘1-sinx),若为,.,简单无理函数的积分,1.,常利用根式代换，令,2.,(l为m,n的最小公倍数),例：,.,3.,配方化为形如：,的不定积分。,再作三角代换或倒变换即可。,4.,.,例：,解：,原式=,.,例：,.,解：,(1-),+,例：,.,抽象函数的积分,F(x)是f(x)的原函数。,例1：,已知f(x)的一个原函数是,解：,.,例2：,解：,-,则f(x),.,例3：,解：,原式=,.,5.积分表的使用法,自学！,1）直接查得，注意表中的系数。,2）适当变换，化为表中形式，回代。,3）递推公式的使用。,注意三点：,.,对不定积分的说明：,1.,初等函数在其定义域上的原函数必存在；,但这些原函数不都是初等函数。,以下初等函数的原函数不是初等函数：,.,2.,如果f(x)的原函