高等数学第四章不定积分

第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,4.1不定积分的概念与性质,定义1：设F(x)与f(x)是定义在某区间上的函数，如果在该区间上有或，则称F(x)是f(x)在这个区间上的一个原函数。,4.1.1原函数,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,定理1.,存在原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动目录上页下页返回结束,定理.,原函数都在函数族,(C为任意常数)内.,证:1),又知,故,即,属于函数族,机动目录上页下页返回结束,即,定义2.,在区间I上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,若,则,(C为任意常数),C称为积分常数不可丢!,例如,记作,4.1.2不定积分的概念,4.1.3不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动目录上页下页返回结束,的积分曲线.,例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,机动目录上页下页返回结束,例2.质点在距地面,处以初速,力,求它的运动规律.,解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻t质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),机动目录上页下页返回结束,垂直上抛,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,机动目录上页下页返回结束,故,性质1一个函数积分后导数或微分等于这个函数。性质2一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。,4.1.4不定积分的简单性质,性质3积分形式不变性如果u为x的任何可微函数，则有,性质4函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和,性质5常数因子可从积分号中提出,k是常数且k0,4.2不定积分的基本公式,(k为常数),机动目录上页下页返回结束,或,或,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例1,例2,例3.求,解:原式=,例4.求,解:原式=,例5.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,注意方法,例8.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,注意方法,例1,例2,例3.求,解:原式=,例4.求,解:原式=,例5.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,注意方法,例8.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,注意方法,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法:,利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.若,提示:,机动目录上页下页返回结束,2.若,是,的原函数,则,提示:,已知,机动目录上页下页返回结束,3.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,机动目录上页下页返回结束,4.求下列积分:,提示:,机动目录上页下页返回结束,5.求不定积分,解：,机动目录上页下页返回结束,6.已知,求A,B.,解:等式两边对x求导,得,机动目录上页下页返回结束,二、第二类换元法,一、第一类换元法,机动目录上页下页返回结束,4.3两种积分法,第四章,4.3.1.换元积分法,复合函数的微分法大大拓展了求导数（或求积分）的范围。同样，将复合函数的微分法用于求积分即得复合函数得积分法换元积分法，按其应用方法得不同可分为两种换元法。,1第一换元积分法,如果不定积分用基本积分法不易求得，但被积表达式可分解为,作变量代换，得到,则,而可以求出，不妨设,这一步常称为“凑积分”，第二步就是求不定积分。,定理（第一类换元积分法）,设，且在区间I可微，则,用第一换元积分法求不定积分，分为两步完成，第一步从f(x)中分出一个因子，使与dx凑成u的微分du，并把被积函数剩下的部分写成的u函数，即,例,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动目录上页下页返回结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),机动目录上页下页返回结束,例1.求,解:,原式=,注:当,时,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:,想到公式,机动目录上页下页返回结束,例3.求,想到,解:,(直接配元),机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:,机动目录上页下页返回结束,类似,例5.求,解:,原式=,机动目录上页下页返回结束,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,机动目录上页下页返回结束,例6.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,机动目录上页下页返回结束,例10.求,解法1,机动目录上页下页返回结束,解法2,同样可证,或,机动目录上页下页返回结束,例11,答案的另一种形式,例12.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,例13.求,解:,机动目录上页下页返回结束,例14.求,解:,原式=,机动目录上页下页返回结束,例15.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,分析:,例16.求,解:原式,机动目录上页下页返回结束,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动目录上页下页返回结束,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,思考与练习,1.,机动目录上页下页返回结束,2.求,提示:,法1,法2,法3,作业目录上页下页返回结束,由例子看出，要想熟练运用凑积分法，记为一些常见函数的微分是很重要的，例如,等等。,例1求,解把被积式中ln2x看成lnx的函数，剩下的因式恰好是lnx的微分dlnx，令lnxu，则，于是,把ulnx代入上式右端，得到,例2求,解把被积式中看成的函数，剩下部分乘上可以凑成的微分，令u，则，于是,把代入上式右端，得到,例3求,解,解利用三角函数积化和差公式，我们有,于是,例4求,例5求,解,2第二类换元法,机动目录上页下页返回结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,机动目录上页下页返回结束,则有换元公式,定理（第二换元积分法）,则,设函数，在区间I可微且存在反函数，如果,例1求,解被积函数中含有根式，令x=t2(t0)，则dxdt22tdt于是,例2求,解令u=ex，或x=lnu，于是,此题也可用“加减项法”。,得到的结果是一样的。,例3求,解,例4求,解,例5求,解,例6求,解,例7求,解,例8.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例9.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例10.求,解:,令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,令,于是,机动目录上页下页返回结束,说明:,被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致.,或,或,机动目录上页下页返回结束,三角代换外,还可利用公式,原式,例11.求,解:令,则,原式,当x0时,类似可得同样结果.,机动目录上页下页返回结束,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,2.常用基本积分公式的补充,(7)倒数代换,令,机动目录上页下页返回结束,解:原式,机动目录上页下页返回结束,例12.求,例13.求,解:,例14.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,例15.求,解:原式,例16.求,解:令,得,原式,机动目录上页下页返回结束,例17.求,解:原式,令,例16目录上页下页返回结束,思考与练习,1.下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,机动目录上页下页返回结束,2.已知,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),机动目录上页下页返回结束,备用题1.求下列积分:,机动目录上页下页返回结束,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,机动目录上页下页返回结束,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,机动目录上页下页返回结束,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1)v容易求得;,容易计算.,机动目录上页下页返回结束,分部积分法,第四章,例1.求,解:令,则,原式,思考:如何求,提示:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,例3.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:令,则,原式,再令,则,故原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:令,则,原式,再令,则,故,机动目录上页下页返回结束,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为后者为,例5.求,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,例6.求,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,例7.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,令,例8.求,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,例9.求,解:令,则,得递推公式,机动目录上页下页返回结束,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,机动目录上页下页返回结束,例10.证明递推公式,证:,注:,或,机动目录上页下页返回结束,说明:,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C),例4目录上页下页返回结束,例11.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,机动目录上页下页返回结束,例12.求,解法1先换元后分部,令,即,则,故,机动目录上页下页返回结束,解法2用分部积分法,机动目录上页下页返回结束,内容小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前u后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出,机动目录上页下页返回结束,例13.求,解:,令,则,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为0.,求此积分的正确作法是用换元法.,机动目录上页下页返回结束,2.求,提示:,机动目录上页下页返回结束,2.求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,机动目录上页下页返回结束,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,机动目录上页下页返回结束,3.求不定积分,解：,令,则,故,机动目录上页下页返回结束,分母次数较高,宜使用倒代换.,4.求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,机动目录上页下页返回结束,习题课,一、求不定积分的基本方法,机动目录上页下页返回结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,一、求不定积分的基本方法,1.直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.,2.换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换:),机动目录上页下页返回结束,3.分部积分法,使用原则:,1)由,易求出v;,2),比,好求.,一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为,机动目录上页下页返回结束,多次分部积分的规律,机动目录上页下页返回结束,快速计算表格:,特别:当u为n次多项式时,计算大为简便.,4.求,解:,原式,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:,原式,机动目录上页下页返