高等数学(同济大学)上第5章定积分

第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,三、定积分的性质,机动目录上页下页返回结束,定积分的概念及性质,第五章,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积A.,机动目录上页下页返回结束,矩形面积,梯形面积,解决步骤:,1)大化小.,在区间a,b中任意插入n1个分点,用直线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形;,2)常代变.,在第i个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动目录上页下页返回结束,3)近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,机动目录上页下页返回结束,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程s.,解决步骤:,1)大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,2)常代变.,得,已知速度,机动目录上页下页返回结束,n个小段,过的路程为,3)近似和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,机动目录上页下页返回结束,二、定积分定义(P225),任一种分法,任取,总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数,在区间,上的定积分,即,此时称f(x)在a,b上可积.,记作,机动目录上页下页返回结束,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,机动目录上页下页返回结束,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,机动目录上页下页返回结束,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,可积的充分条件:,(证明略),例1.利用定义计算定积分,解:,将0,1n等分,分点为,取,机动目录上页下页返回结束,注,注目录上页下页返回结束,注利用,得,两端分别相加,得,即,例2.用定积分表示下列极限:,解:,机动目录上页下页返回结束,说明:,机动目录上页下页返回结束,根据定积,分定义可得如下近似计算方法:,将a,b分成n等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森,机动目录上页下页返回结束,公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k为常数),证:,=右端,机动目录上页下页返回结束,证:当,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是,机动目录上页下页返回结束,当a,b,c的相对位置任意时,例如,则有,机动目录上页下页返回结束,6.若在a,b上,则,证:,推论1.若在a,b上,则,机动目录上页下页返回结束,推论2.,证:,即,7.设,则,机动目录上页下页返回结束,例3.试证:,证:设,即,故,即,机动目录上页下页返回结束,8.积分中值定理,则至少存在一点,使,证:,则由性质7可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,性质7目录上页下页返回结束,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,机动目录上页下页返回结束,积分中值定理对,因,例4.,计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解:已知自由落体速度为,故所求平均速度,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.定积分的定义,乘积和式的极限,2.定积分的性质,3.积分中值定理,机动目录上页下页返回结束,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,思考与练习,1.用定积分表示下述极限:,解:,或,机动目录上页下页返回结束,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为0!,机动目录上页下页返回结束,2.P233题3,3.P233题8(2),(4),题8(4)解:,设,则,即,机动目录上页下页返回结束,作业,P2332(2),46(3),(4);7(3);8(1),(5),第二节目录上页下页返回结束,.,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿莱布尼兹公式,一、引例,第二节,机动目录上页下页返回结束,微积分的基本公式,第五章,.,一、引例,在变速直线运动中,已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.,机动目录上页下页返回结束,.,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,机动目录上页下页返回结束,定理1.若,.,说明:,1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.,2)变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路.,机动目录上页下页返回结束,.,例1.求,解:,原式,说明目录上页下页返回结束,例2.,确定常数a,b,c的值,使,解:,原式=,c0,故,又由,得,.,例3.,证明,在,内为单调递增函数.,证:,只要证,机动目录上页下页返回结束,.,三、牛顿莱布尼兹公式,(牛顿-莱布尼兹公式),机动目录上页下页返回结束,证:,根据定理1,故,因此,得,定理2.,函数,则,.,例4.计算,解:,例5.计算正弦曲线,的面积.,解:,机动目录上页下页返回结束,.,例6.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶,其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,机动目录上页下页返回结束,车到停车走了多少距离?,.,内容小结,则有,1.微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿莱布尼兹公式,2.变限积分求导公式,公式目录上页下页返回结束,.,作业,第三节目录上页下页返回结束,P2403;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);12,.,备用题,解：,1.,设,求,定积分为常数,设,则,故应用积分法定此常数.,机动目录上页下页返回结束,.,2.,求,解：,的递推公式(n为正整数).,由于,因此,所以,其中,机动目录上页下页返回结束,.,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,机动目录上页下页返回结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,.,一、定积分的换元法,定理1.设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,机动目录上页下页返回结束,则,.,说明:,1)当1时收敛;p1,时发散.,因此,当p1时,反常积分收敛,其值为,当p1时,反常积分发散.,机动目录上页下页返回结束,.,例3.计算反常积分,解:,机动目录上页下页返回结束,.,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与x轴,y轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动目录上页下页返回结束,.,定义2.设,而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在b的左邻域内无界,若极限,数f(x)在a,b上的反常积分,记作,则定义,机动目录上页下页返回结束,则称此极限为函,.,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点c的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,机动目录上页下页返回结束,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,.,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛莱公式的,若b为瑕点,则,若a为瑕点,则,若a,b都为瑕点,则,则,可相消吗?,机动目录上页下页返回结束,.,下述解法是否正确:,积分收敛,例4.计算反常积分,解:显然瑕点为a,所以,原式,机动目录上页下页返回结束,例5.讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,.,例6.证明反常积分,证:当q=1时,当q1时收敛;q1,时发散.,当q1时,所以当q1时,该广义积分收敛,其值为,当q1时,该广义积分发散.,机动目录上页下页返回结束,.,例7.,解：,求,的无穷间断点,故I为反常,积分.,机动目录上页下页返回结束,.,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,机动目录上页下页返回结束,.,说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动目录上页下页返回结束,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,.,(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为