第二章晶体的结合答案（共90道题）

1 目录 第二章 晶体的结合题目（共 90 道题） .1 一、名词解释（共 12 道题） .1 二、简答题:(共 33 道题) .3 三、作图题(共 2 道题) .12 四、证明题(共 8 道题) .12 五、计算题（共 35 道题） .21 2 第二章第二章 晶体的结合题目晶体的结合题目（共（共 9090 道题）道题） 一、名词解释（共一、名词解释（共 1212 道题）道题） 1.晶体的结合能 答：一块晶体处于稳定状态时，它的总能量(动能和势能)比组成此晶体 的 N 个原子在自由状态时的总能量低，两者之差就是晶体的结合能。 2.电离能 答：一个中性原子失去一个电子所需要的能量。 3.电子的亲和能 答：指一中性原子获得一个电子成为负离子时所放出的能量。 4.电负性 答：描述化合物分子中组成原子吸引电子倾向强弱的物理量。 5.离子键 答：两个电负性相差很大的元素结合形成晶体时，电负性小的原子失去 电子形成正离子，电负性大的得到电子形成负离子，这种靠正、负离子之 间库仑吸引的结合成为离子键。 6.共价键 答：量子力学表明，当两个原子各自给出的两个电子方向相反时，能使 系统总能量下降，从而使两个原子结合在一起，由此形成的原子键 合称为共价键（原子晶体靠此种键相互结合） 。 7.范德瓦尔斯键 答：分子晶体的粒子间偶极矩相互作用以及瞬时偶极矩相互诱生作用称 为范德瓦耳斯力。 8.氢键 答：氢原子处于两个电负性很强的原子（如氟、氧、氮、氯等）之间时， 可同时受两个原子的吸引而与它们结合，这种结合作用称为氢键。 9.金属键 答：在金属中，组成金属的原子的价电子已脱离母原子而成为自由电子， 自由电子为整个晶体共有，而剩下的离子实就好像沉浸在自由电子 3 的海洋中。自由电子与离子实间的互相吸引作用具有负的势能，使 势能降低形成稳定结构。这种公有化的价电子（自由电子）与离子 实间的互作用称为金属键。 10.葛生力 答：葛生力是极性分子的永久偶极矩间的静电相互作用。 11.德拜力 答：德拜力是非极性分子被极性分子电场极化而产生的诱导偶极矩间的 相互作用。 12.伦敦力 答：伦敦力：非极性分子的瞬时偶极矩间的相互作用。 二、简答题二、简答题:(:(共共 3333 道题道题) ) 1.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象. 答：当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原 子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与 其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也 就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后, 这个离子的能量要 低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要 放出能量。 2.何理解电负性可用电离能加亲和能来表征? 答：使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小 可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成 为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这 个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就 是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电 负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表 征原子的电负性是符合电负性的定义的。 4 3.为什么组成晶体的粒子（分子、原子或离子）间的互作用力除吸引力外 还要有排斥力，吸引力和排斥力的来源是什么？ 答：组成晶体的粒子间只有同时存在这两种力，在某一适当的距离，这两 种力相互抵消，晶体才能处于稳定状态。 就结合力起源来说，吸引力主要应归于异性电荷之间的库仑引力，此 外还有微弱的磁相互作用和万有引力作用，排斥力包括同性电荷间的 库仑排斥力和泡利原理引起的排斥作用。 4.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？ 答：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动 能和势能）与组成这晶体的 N 个原子在自由时的总能量之差，即 。（其中为结合能，为组成这晶体的 N 个原子在 0 EEE Nb b E N E 自由时的总能量，为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶体处 0 E 于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能 和势能的总和。 5.原子间的相互作用势能、晶体的内能就是晶体的结合能，此话正确吗？ 为什么？ 答：晶体的总能量与构成晶体的 N 个原子（离子或分子）在自由状态 0 E 时的总能量之差的绝对值称为晶体的结合能，而晶 N E 0 EEE Nb 体的内能包括晶体的总互作用势能和系统的总动能，题中三者的范围 和概念均不一致，所以说原命题不正确。 6.当 2 个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变 化的？ 答：当 2 个原子由相距很远而逐渐接近时，2 个原子间引力和斥力都开始 增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，而相互作0)(rf 用势能逐渐减小；当 2 个原子慢慢接近到平衡距离时，此时，)(ru 0 r 引力等于斥力，总的作用为零，而相互作用势能达到0)(rf)(ru 5 最小值；当 2 个原子间距离继续减小时，由于斥力急剧增大，此时， 斥力开始大于引力，总的作用为斥力，而相互作用势能0)(rf 也开始急剧增大。)(ru 7.是否有与库仑力无关的晶体结合类型? 答:共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负 性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子 的主要活动范围处于两个原子之间,通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力。金属结合中,原子 实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着。分子结合中, 是电 偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体。电偶极矩的作用力实际就是 库仑力。氢键结合中，氢先与电负性大的原子形成共价结合后，氢核 与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子 结合。可见,所有晶体结合类型都与库仑力有关。 8.何理解库仑力是原子结合的动力? 答：晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库 仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力。 9.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别? 答：自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个 个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能。 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。 在 0K 时,原子还存在零点振动能。但零点振动能与原子间的相互作用 势能的绝对值相比小得多。所以，在 0K 时原子间的相互作用势能的 绝对值近似等于晶体的结合能。 10.原子间的排斥作用取决于什么原因? 答：相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自 6 相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠。 11.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? 答：在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力 起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合 状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为 0 r , 当相邻原子间的距离r 0 r 时, 吸引力 起主导作用; 当相邻原子间的距离r 0 r 时, 排斥力起主导作用. 12.在讨论晶体的结合时，有时说，由于电子云的交叠使互作用能减少， 出现引力，形成稳定结构；有时又说，由于电子云的交叠，使原子间 出现斥力，这两种说法有无矛盾？ 答：这两种说法无矛盾，但是这两种说法都片面，由于电子云的交叠， 在原子间既会产生引力也会产生斥力，当原子间的引力等于斥力，并 且使原子间的互作用能达到最小值时，晶体形成稳定结构。 13.根据结合力的不同，晶体可分为哪几种不同类型，并简述它们的基本 特点。 答：根据晶体中原子间相互作用的性质，晶体可分为五种基本结合类型： （1）离子晶体。它是由正负离子，靠静电相互作用结合而成。在晶体中， 异性离子靠库仑吸引作用，同性离子互相排斥，正负离子相间排列， 在相互作用达到平衡时，构成稳定的晶体。这种晶体结合力较强，配 位数高，硬度大，熔点高，在高温下靠离子导电。 （2）共价晶体，靠共价键结合，有饱和性和方向性。共价键的强弱，决 定于电子云的重叠程度，在电子云密度最大方向成键。这种晶体硬度 大，熔点高，多是绝缘体或半导体。 （3）金属晶体。它是靠离子实与自由电子之间以及离子与离子之间，电 子与电子之间的相互作用达到平衡构成稳定的晶体，即靠金属键结合。 7 导电性好，熔点高，致密度高。 （4）分子晶体。晶体中的原子或分子之间靠范德瓦耳斯键结合。这种力 的特点是原子或分子之间靠电矩间相互作用的平均效果。这种键无饱 和性和方向性。所以分子晶体熔点很低，硬度也较小。 （5）氢键晶体，靠氢键结合。由于氢原子只带一个电子，所以当这个电 子与另一个原子的电子形成电子对后，氢核就裸露出来，可以与负电 性较强的原子相互作用，一般认为是氢键有方向性的较强的范德瓦耳 斯键。 14.晶体的典型化学（结合）键有哪几种？举例说明。 答：典型化学结合有五种：(1)离子性结合，如 NaCL、CsCL 等；(2)共价 性结合，如 Si、Ge、Sn 等；(3)范德瓦耳斯结合，如 He、Ne、Ar 等； (4)金属性结合，如 Cu、Ag 等；(5)氢键结合，如冰( OH2 )等。 15.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 答：（1）离子键：无方向性，键能相当强； （2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强； （3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于 2 个原 子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有 原子所“共有”； （4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合 力一般与 r 成反比函数关系，该键结合能较弱； （5）氢键：依靠氢原子与 2 个电负性较大而原子半径较小的原子 （如 O，F ，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有 饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为 50kJ/mol 。 16.晶体的典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式中吸引力的来源。 答：晶体的典型型方式有如下五种： 离子结合吸引力来源于正、负离子间库仑引力； 共价结合吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力； 8 金属结合吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力； 分子结合吸引力来源于范德瓦尔斯力； 氢键结合吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间的库仑引力。 17.晶体有哪些基本的结合类型？说出个结合类型中外层点阵的状态特征。 答：离子结合 外层点阵转移； 共价结合和氢键结合 外层电子共用； 金属结合 外层电子共有化； 范德瓦耳斯结合 外层电子态基本不变。 18.什么是晶体的结合能，按照晶体的结合力的不同，晶体有哪些结合类型及其 结合力是什么力？ 答：一块晶体处于稳定状态时，它的总能量(动能和势能)比组成此晶体的 N 个 原子在自由状态时的总能量低，两者之差就是晶体的结合能。 晶体的结合类型有如下五种： 离子结合吸引力来源于正、负离子间库仑引力； 共价结合吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力； 金属结合吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力； 分子结合吸引力来源于范德瓦尔斯力 氢键结合吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间的库仑引力。 19.什么是共价键？什么是共价键的饱和性和方向性？ 答：在某些晶体结构中常常是相邻的两个原子各出一个电子相互共用，从 而在最外层形成公用的封闭的电壳层，这样的原子键合称为共价键。 饱和性：当一个原子与其它原子结合时，能够形成共价键的数目有一个 最大值，这个最大值决定于它所含的未配对的电子数，这个特性 称为共价键的饱和性。 方向性：两个原子在以共价键结合时，必定选取尽可能使其电子云密度为最 大的方位，电子云交迭得越厉害，共价键越稳固。这就是共价键具 有方向性的物理本质。 20.共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”? 9 答：设N为一个原子的价电子数目, 对于 IVA、VA、VIA、VIIA族元素， 价电子壳层一共有 8 个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性” 。 共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对 称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合 的 “方向性” 。 21.共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭 会产生巨大的排斥力, 如何解释? 答：共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个 电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很 近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨 大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大。 22.何为杂化轨道? 答：为了解释金刚石中碳原子具有 4 个等同的共价键, 1931 年泡利(Pauling) 和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论. 碳原子有 4 个价电子, 它们分别 对应、量子态, 在构成共价键时, 它们组成了 4 个新 2s 2 x p 2 y p 2 z p 的量子态 12222 1 2 xyz sppp 22222 1 2 xyz sppp 32222 1 2 xyz sppp 42222 1 2 xyz sppp ， 4 个电子分别占据、新轨道， 在四面体顶角方向形成 4 1 2 3 4 个共价键。 23.对比离子结合和金属结合中原子提供电子的情况？ 10 答：离子结合中相互结合的两个原子都提供电子结合成离子键，而金属 晶体结合时，所有的原子都提供电子，形成共有化电子，负电子云和 正离子实之间相互作用形成金属键。 24.对比离子结合和范德瓦耳斯键结合中原子提供电子的情况？ 答：离子结合中相互结合的两个原子都提供电子结合成离子键，而范德 瓦耳斯键结合中原子不提供电子，依靠瞬时偶极距互作用吸引形成晶 体。 25.为什么多数金属形成密堆积结构？ 答：金属原子结合成晶体时，每个原子的价电子将为所有的原子实 所共有，金属键通过共有化的价电子和原子实间的静电相互作用形 成，因此金属键无确定的方向性，对晶体结构无特殊要求。金属结 合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间 的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大)。 原子实越紧凑, 原子 实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低。即，当按密堆 积规则排列时，可使相互作用能尽可能低，结合最稳定。所以多数 金属形成密堆积结构。 26.范德瓦耳斯力包括哪三种力？并说明这几种力的起源。 答：范德瓦耳斯力包括葛生力、德拜力和伦敦力。 范德瓦耳斯力是由于分子偶极矩的静电作用产生的；葛生力是极性 分子的偶极矩间产生的静电相互作用；德拜力是非极性分子被极性分 子电场极化产生的诱导偶极矩间的相互作用；伦敦力是非极性分子瞬 时偶极矩间产生的相互作用。 27. 和分子式相似，为什么晶体（干冰）在即升华， 2 C O 2 Si O 2 C O79C 而晶体（石英）的熔点却高达？ 2 Si O1710C 答: 属于分子晶体，主要由范德瓦耳斯力结合，这是一种微弱的静电 2 C O 力，所以分子晶体的结合能很小，熔点和沸点都很低，从而晶体在 2 C O 即得到足够的能量升华；属于原子晶体，原子间形成的的共价79C 2 Si O 11 键是一种很强的结合，所以原子晶体具有高力学强度、高熔点、高沸点和 低挥发性的特点，从而晶体的熔点高达。 2 Si O1710C 28.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热 性良好？ 答：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于 2 个 原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子 所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。 29.试述半导体材料硅（锗）是如何形成晶体结合的，它们的键有些什么 特点？ 答：硅和锗都是四价元素，它们具有金刚石类型的结构，靠原子轨道的 3 sp 杂化而形成四个等价的共价键而构成稳定的晶体，共价键强度很大， 且具有方向性与饱和性。 30. 写出 Lennard-Jones 势。 答：对分子晶体，分子间的范德瓦耳斯伦敦力引起的互作用势能 与 6 r 成比例，由实验又得出斥力能与 12 r 成正比。因此一对分子间 总的互作用势能为 126 ( )4u r rr 式中， 1/ 6 B A 2 4 A B 上式称为 Lennard-Jones 势。 31.为什么离子晶体和共价晶体都硬而脆，而金属晶体则有相当大的范性，易发 生形变？试从晶体结合力的特点上加以说明。 答：离子晶体的结合能主要来自正负离子间静电库仑力，离子晶体是离子键， 离子键有方向性，由于阴阳离子的静电吸引作用强，离子键很牢固，就很硬了。 相邻两个原子各出一个电子相互共用，从而使两个原子都形成封闭的电子壳层。 量子力学计算证明，当两个原子各自给出的两个电子的自旋方向相反能使系统 总能量下降，从而使两个原子结合在一起。由此形成的原子间键合称之为共价 键，共价晶休就是依靠这种共价键而相互结合。故离子晶体和共价晶体都硬而 12 脆。 金属晶体中所有原子的最外壳层电子都不再属于某个原子，而为所有原子所 共有。失去了最外壳层电子的离子实与这些共有化的价电子间的库仑互作用能 使这些金属原子结合在一起。金属的金属键很强，但是它们没有一定的方向， 因为共价电子可以在里面自由移动，同时吸引任何阳离子。当有力作用在金属 上时，那一条或是那一层金属就会移动，在移动后，原子又固定在了那个移动 后的位置。所以就是延展了。故金属晶体则有相当大的范性，易发生形变。 32. 试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一 种(或哪几种)结合最可能形成绝缘体、导体和半导体？ 答：金属性结合价电子容易脱离原子，离子性结合两种原子的电离能相差很大， 价电子易从电离能很大的原子转移到电离能很小的原子上，导电性强，他们最 可能形成导体；共价结合，结合成晶体的原子电离能较大，最可能形成绝缘体 或半导体；范德瓦尔斯结合依靠范德瓦尔斯力结合成晶体，最可能形成半导体。 33. 锂和氢有类似的电子结构，为什么锂是金属晶体而固态氢是分子晶体？ 答：对于锂，是电离能较小的同种原子结合成晶体，因价电子容易脱离原子， 故形成金属晶体；而氢，分子间是依靠范德瓦尔斯力结合成晶体，故为分子晶 体。 三、作图题三、作图题(共共 2 道题道题) 1.画出结合力及相互作用势随距离半径的变化关系图。 解： 13 2.画出晶体内能函数示意图。 解： 四四、证明题证明题(共共 8 道题道题) 1.已知原子间相互作用势为，其中均为大于 0 nm rr ru )(nm, 的常数，试证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是。mn 证明：(平衡态) 0 ( ) 0 r dU r dr (稳定) 0 2 2 0 r d U dr 由，有： 0 )( 0 rr dr rdu mn nm nm m n n m r r n r m 1 1 0 1 .0 1 0 0 14 0 2 21 0. 0 n r d Un nm drr 故nm 2.对惰性元素晶体，原子间的相互作用常采用勒纳琼斯势 1 126 6612 6 0126612 7713 6000 26612 ( )40 rAAAA u r Arrr 其中 和 为等待定常数，r 为两原子间距。 1）试说明式中两项的物理意义以及物理来源； 2）证明平衡时的最近邻原子间距 与之比为一与晶体结构有关的常数。 0 r 证明：1）第一项为重叠排斥作用，起源于泡利原理。第二项为范德瓦尔斯作用能， 它是由原子中电荷涨落产生的瞬时电偶极矩所引起的。 2）设晶体含有 N 个原子，则根据每对原子的相互作用势可以给出晶体的结 合能为设最近邻原子间距为 r,则 126 ( )( )2()() 2 i ii ii N U ru rN rr ，则有 ii rr 126 126 ( )2()() ii U rNAA rr ，则得， 12 12 1 i i A 6 6 1 i i A 126 126 ( )2()() ii U rNAA rr 平衡时， 0 ( ) 0 r dU r dr 612 612 713 00 612 0 AA rr 所以得 1 6 012 6 2rA A 3.一维离子链，正负离子间距为 a，试证马德隆常数。2ln2 证明：相距 rij的两个离子间的互作用势能可表示成 15 n ijij ij r b r q rU 4 )( 2 设最近邻原子间的距离为 R，则有 Rar jij 则总的离子间的互作用势能 1 ) 1 ( 4 2 )( 2 2 ji n j n ji j ji ij a b RaR qN rU N U 其中 ji j a ) 1 ( 为离子晶格的马德隆常数，式中、号分别对应于与参考离子相异和相同的 离子。 任选一正离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，对正离子取负号， 考虑到对一维离子链，参考离子两边的离子是正负对称分布的，则有 .) 4 1 3 1 2 1 1 1 (2) 1 ( ji j a 利用下面的展开式 . 4321 )1ln( xxxx x 并令 x =l ，得 2ln. 4 1 3 1 2 1 1 1 于是一维离子链的马德隆常数为 2ln2 4. 如果晶体的总互作用能用下式表示： mn U (R) 2RR NAB 式中，R R是晶体中最近邻离子间距；A A，B是结构参量。试证明体积弹 性模量可与晶体平衡时单位体积的内能（内能密度）的绝对值 00 VU 成 正比。 16 证明：按定义，体积弹性模量 0 2 02 v U KV V 晶体的体积可写成，其中是一个与结构有关的常数。因 3 VN R 为 ， UUR VRV 2 1 3 U NRR 2 2 () UU VVV () UR RVV 000 2222 0 2222 000 2 111 () 3999 1 () RRR RUUUU NRRVNRRNRRVR U R RR 注意到，则体积弹性模量 0 ()0 R U R (1) K 00 222 0 22 00 1 99 RR RUU NRRVR 由于 (2) () 2 mn NAB U RR 由平衡条件 0 0 11 ()0 2 R mn R UN m An B RRR 有 00 mn m An B RR (3) 而 17 0 2 2222 000 111 2 9 mn R m mAn nBUN RVRR 应用(2)(3)两式，则有 0 2 22nm 000 R 2RRR UNn Bm A mn R 0 2 22nm 000 R 2RRR UNn Bm A mn R 0 2 0 R mn U 式中 0 U 为平衡时总的互作用能。将上式代入(1)式即得 0 0 9 mn KU V 所以 0 0 U K V 5. 有一晶体，平衡时体积为 V0，原子间总的相互作用势能为 U0，如果相距为 r 的两原子互作用势为 mn U (R) 2RR NAB 证明：体积弹性模量为 0 0 9V mn UK 证明：由0) r U ( 0 r 可得平衡状态时的最近邻原子间距：， mn 1 0 m n r mn 0 r n m 平衡时的势能为： n mn r U m 0 0 体积弹性模量可写为 18 0 r 2 2 0 2 0 ) r u ( 9V r K 而 2n 0 2m 0 r 2 2 r 1)n(n r 1)m(m ) r u ( 0 上式代入体积弹性模量中去可得： r 1)n(n r 1)m(m 9V r ) r u ( 9V r K 2n 0 2m 00 2 0 r 2 2 0 2 0 0 r 1)n(n r 1)m(m 9V 1 n 0 m 00 r n m r 1)n(n r 1)m(m 9V 1 mn 0 n 0 m 00 r 1)m(n r 1)m(m 9V 1 m 0 m 00 )mn( r9V m m 00 证毕 0 0 m 00 U 9V mn ) n mn ( r9V mn K 6. 考察一条直线，其上载有 q 交错的 N2 个离子，最近邻之间的排斥能为 n R A 。 试证明在平衡时， ) 1 1 ( 4 2ln2 )( 00 2 0 nR Nq RU 证明：线型离子晶体的结合能为 j n j n j j a A RaR q NRU 1 ) 1 ( 4 )( 0 2 ) 4 ( 0 2 n R A R Mq N （1） 19 其中（1）式中的 ) 1 ( j j a M ，即为线型离子晶体的马德隆常数，等于 2ln2 ； j n j a A A 当晶体处于平衡时，有平衡条件： 0) 4 ( )( 1 0 2 00 2 0 n R R nA R Mq N dR RdU （2） 由（2）式可得 1 0 0 2 4 n R n Mq A （3） 将（3）式代入（1） ，并将 2ln2M 也代入（1）可得： ) 1 1 ( 4 2ln2 )( 00 2 0 nR Nq RU 7.带e 电荷的两种离子相间排成一维晶格，设 N 为元胞数，B/为排斥势， 为正负离子间最短的平衡值。证明，当 N 有很大时有： （a）马德隆常数 ；2ln2 （b）结合能; 2 00 2ln21 1 4 Ne U R Rn 证明：（a）一维原子链，正负离子的距离为 a，相距为的两个离子间的 相互作用势能： (R 为邻近间距总离子间的相互作用 n ij ij ij r b r q ru 4 )( 2 Rar jij 势能) 0 2 , 11 42 )( 2 jj n j n j ji ij a b RaR qN ru N U 为离子晶格的马德隆常数 1 j j a u . 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 j a u 20 . 432 )1ln( 432 xxx xx 令 1x. 4 1 3 1 2 1 12ln 2ln2u (b) 利用平衡条件 0 0 R dR du n RNq b n 1 0 2 2ln ) 1 (2ln2)( 1 02 n n nR R R NqRu ) 1 1 ( 2ln2 )( 0 2 0 nR Nq Ru 8.相距r的两惰性气体原子，其相互作用能可以写为(雷纳德琼斯势): 126 ( )4u r rr 式中, 与 为两参数。试证明：由N个惰性气体原子结合成的具有 面心立方结构的晶体，其总的互作用能可表示为 126 ( )2(12. 13)(14. 15)U rN rr 式中R是最近邻距离。 解：由 N 个惰性气体原子结合成的晶体，总的互作用势能应等于晶 体内所有原子对之间的勒纳德琼斯势之和。今选取原子 i 作为参 考原子，并用 R 表示最近邻原子间的距离，则参考原子 i 与其它任 一原子 j 之间的距离，如图所示。=/ i ji j arR 参考原子 i 与其它原子间的互作用势能 126 ()4 i j jj i ji j u Ru r r Rr R 21 式中求和号上一撇表示求和时 ij 。若忽略表面原子同体内原子对 互作用能贡献的差别，则总互作用能为 126 ()4 2 j i ji j N U R r Rr R 126 -12-6 ()2 i ji j jj u RNaa RR 126 126 2NAA Rr 式中 2 N 的是原子对数。下面分别计算 ； -12 12i j j Aa -6 6i j j Aa 从上图看出，其它原子 j 和参考原子 i 的距离等有关数据可列表如 下： 原 子 号 码 原子 坐标 到原点 的距离 同类 项数 6 j i j M a 12 j i j M a 1 0 2 1 2 1 1R12 0012112 6 . 0012112 12 . 2001 R2 6 750026 6 . 094026 12 . 3 1 2 1 2 1R3 24 8890324 6 . 0330324 12 . 4101 R4 12 1880412 6 . 00290412 12 . 5 2 3 0 2 1R5 24 1920524 6 . 00150524 12 . 22 6111 R6 8 037068 6 . 0002068 12 . 7 2 3 1 2 1 R7 48 1400748 6 . 00040748 12 . 利用上表的数据可求得 -6 6 12. 000, 7500. 88914. 2 i j j Aa 若计入更多的项可得其精确值为 14.45。 -12 12 12. 13 i j j Aa 可见，由 N 个惰性气体原子结合成的面心立方晶体总的互作用能为 126 ( )2(12. 13)(14. 15)U rN rr 五、计算题（共五、计算题（共 3535 道题）道题） 1.已知氯化锂的如下数值：1）点阵能；2）形成热192/kcalm olA ；3）锂原子的电离势；4）锂的升华97/kcalm olB5. 29VC 热；5）氯分子的离解热。38/kcalm olD58/kcalm olE 试计算氯原子的电子亲和势F。 解：考虑 1mol固态的锂和与之反应的半摩尔氯气，以形成氯化锂。用 表示阿伏加德罗常数，这种反应可分成如下几个步骤完成： 0 N 固汽 +DLiLi + 汽00 +NC+N个电子LiLi 23 2 11 C l +E 22 C l - 00 C l +N个电子+NFC l +- 固 +C l+ALiLi C l 上述各式左右两边分别相加，得到 固20固0 11 C l+C l +D +NC +ELi+NF+A 22 LiC l (1) 另一方面 (2) 固2固 1 Li+C lLi+B 2 C l 由(1) (2)两式得 00 1 NF=B-A+D +NC +E 2 在上述运算中各量必须采用同一单位，将卡换成电子伏： 1/ 3 1/ 3 3 023 0 1/ 3 2310 3 00 58. 5 2. 16/ 226. 022102. 16 2. 24102. 8210 2 M RgcmC N m VN R 12 11. 610eVerg 代入题给数据和，得到 23 0 6. 02210/Nm ol F=4.07V 即氯原子的电子亲和能是 4.07V。 2.实验测得 NaCl 的晶体密度，试求 NaCL 中离子键的平 3 2. 16/gcm 24 衡间距 0 R 。 解：当离子间的平衡距离为时 0 R ，可认为每一个离子平均占有体积 等于 3 0 R 。因为Na和CL的原子量分别为 23 和 35.5，那么 0 N 对 CLNa 离子对的质量应为M=23+35.5=58.5(g)，这些离子所占体 积，因此晶体的密度为 3 00 2VN R 3 00 2 MM VN R 所以 1/ 3 1/ 3 023 0 58. 5 226. 022102. 16 M R N 1/ 3 2310 2. 24102. 8210m 3.立方 ZnS 的晶格常数a=5.41，试计算其结合能Eb（焦耳/摩尔） 。 A 解：闪锌矿=1.6381 n=5.4 1 摩尔晶体内分子数NA=6.1023个/mol，含离子数为 2NA=N),( SZn 库仑米 米法垃 1910 12 0 0 2 10602 . 1 1041 . 5 /10854 . 8 ) 1 1 ( 4 eR nR eN UE A ob 4.导出 NaCl 型离子晶体中排斥势指数的下列关系式： (SI 单位) 4 00 2 418 1 kR n e 其中 k 为体变模量，设已知 NaC 晶体的，求 102 0 2.4 10/,0.281kN mRnm NaCl 的 n=? 解：NaCl 晶体排斥势指数的关系，设晶体有 N 个元胞。 25 则晶体的内能：) 6 ( 2 nn r B r A N r b r e NU 其中：，对于 NaCl 结构， （为元胞的体积） 2 eA 2 6bB 3 2Nrr 3 2r drNrdr 2 6 0 2221 0000 1 0 66 r n dudu drduNAnB dVdr dvNrdrNrrr 在为平衡位置处： 0 r 1 0 1 n r nA B 由 4 0 2 2 2 0 2 2 18 1 18 1 00 r en dr ud Nrdr ud rk rr （如取 SI） 1 18 2 4 0 e kr n 1 184 2 4 00 e kkr n 对于 NaCl、CsCl、ZnS 结构1.747、1.762、1.638a 210 /104 . 2mNknmr281 . 0 0 可求n 5已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 nm r b r a rU)( 求：（1）晶体平衡时两原子间的距离；（2）平衡时的二原子间的结合能。 解：(1)平衡时 0 1 0 1 0 0 nm r bnramr r u 得 am bn r mn 0 mn am bn r 1 )( 0 (2)平衡时 把 r0表示式代入 u(r) u(r0)= mn n mn m am bn b am bn a )()( mn m n mn mn n m mn b am n a bn m )()( 6.写出离子晶体结合能的一般表达式，求出平衡态时的离子间距。 解：设晶体含有 N 个原子( 注意：教材二中是假设 NaCl 晶体含有 N 个原胞， 即含有 2N 个原子) ，则形成 N/2 个离子对，考虑到每对离子的作用，晶 体结合能的一般表达式为 26 2 0 6 ( )()() 242 nn NqbNAB U r rrrr 平衡态时有 0 21 00 ( ) (0)0 2 n r dU rNAnB drrr 所以设平衡态时的离子间距为 r0，则有 21 00 0 n AnB rr 求得 1 1 0 n nB r A 另外，将其代入结合能公式式即得出平衡态时离子晶体的结合能。 7.设两原子间的互作用能可由 ( ) mn u r rr 表述。若m m=2,n n=10，而且两原子构成稳定的分子，其核间距离为 ，离解能为 4eVeV。试计算： 10 310m 1) 和 ； 2)使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距； 3)使原子间距比平衡间距减少 10%时所需要的压力。 解：按题给 210 u r rr 平衡时， 8 0 310rrcm 12 0 ()46. 410u reVerg 27 (1). (1) 0210 00 u r rr 0 311 00 210 0 r u r rrr 由(2)式解得 8 0 1 5 r 代入(1)式 0222 000 4 55 u r rrr 因而得 12 2 8 0 2 0 104 . 6103 4 5 4 5 rur 227 102 . 7cmerg 1088 8 8278 0 1045 . 9 103102 . 7 5 1 5 1 cmergr (2).要破坏分子系统，外力必须克服原子间的最大引力。当原子的 28 距