青山区2018-2019九(上)期中数学题(解析版)

青山区 20182019 学年九年级上学期期中考试数学试题姓名:_一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）A4 B5 C1 D1次方程 4x25x10 的常数项为：1故选：D【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握各部分名称是解题关键2 下列图形中，是中心对称图形的是()A B C D【分析】根据中心对称图形的概念求解 解：A是中心对称图形；B不是中心对称图形； C不是中心对称图形；D不是中心对称图形； 故选：A【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合3抛物线 y5(x2)26 的顶点坐标是()A(2，6)B(2，6)C(2，6)D(2，6)【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标 解：y5(x2)26 是抛物线解析式的顶点式，顶点坐标为(2，6)故选：D【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式 ya(xh)2k 中，顶点坐标是(h，k)是解决问题的关键4. 用配方法解一元二次方程 x26x50，此方程可化为()A(x3)24B(x3)214C(x9)24D(x9)214【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得解：x26x5，x26x959，即(x3)214， 故选：B【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键5. 把抛物线 yx21 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线()Ay(x3)21 By(x3)23 Cy(x3)21 Dy(x3)23【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式解：由题意得原抛物线的顶点为(0，1)，平移后抛物线的顶点为(3，1)，新抛物线解析式为 y(x3)21， 故选：C【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点6. 如图，O 是ABC 的外接圆，ACO45，则B 的度数为()A30B35C40D45【分析】先根据 OAOC，ACO45可得出OAC45，故可得出AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论 解：OAOC，ACO45，OAC45，AOC180454590，B AOC45 故选：D【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键7. 如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到EDC若点 A，D，E 在同一条直线上，ACB20，则ADC 的度数是()A55B60C65D70【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可 解：将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到EDCDCEACB20，BCDACE90，ACCE，ACD902070，点 A，D，E 在同一条直线上，ADCEDC180，EDCEDCE180，ADCE20，ACE90，ACCEDACE90，EDAC45在ADC 中，ADCDACDCA180， 即 4570ADC180，解得：ADC65， 故选：C【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答8. 某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的 2500 元降到了 1280 元， 设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程() A2500(1x)21280B2500(1x)21280C1280(1x)22500D1280(1x)22500【分析】本题可先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程解：依题意得：第一次降价的售价为：2500(1x)，则第二次降价后的售价为：2500(1x)(1x)2500(1x)2，2500(1x)21280 故选：B【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，要注意题意指明的是降价，应该是(1x)而不是(1x)9. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面上升 1m，则水面宽为()A mB2mC2mD2 m【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案 解：如图：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点， 则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米， 抛物线顶点 C 坐标为(0，2)，通过以上条件可设顶点式 yax22，其中 a 可通过代入 A 点坐标(2，0)，到抛物线解析式得出：a0.5，所以抛物线解析式为 y0.5x22，若水面上升 1my110.5x22x水面宽为 2m故选：C【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键10. 如图，在等腰ABC 中，BAC120，ABAC2，点 D 在边 BC 上，CD ，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转(其中 0360)到 CE，连接AE，以 AB，AE 为边作 ABFE，连接 DF，则 DF 的最大值为()A B C2 D 2 【分析】作平行四边形 ABPC，连接 PA 交 BC 于点 O，连接 PF解直角三角形求得 PD，由四边形 PCEF 是平行四边形，推出 PFEC，推出点F 的运动轨迹是以 P 为圆心为半径的圆，由此即可解决问题； 解：作平行四边形 ABPC，连接 PA 交 BC 于点 O，连接 PF四边形 ABPC 是平行四边形，ABBC，四边形 ABPC 是菱形，PABC，ABAC2 ，ABC120，BAO60，OAOP ，OBOC3，CD ，OD2 ，PD ，ABPCPE，ABPCPE，四边形 PCEF 是平行四边形，PFCECD ，点 F 的运动轨迹是以 P 为圆心为半径的圆，DF 的最大值 ， 故选：B【点评】本题考查旋转变换、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会正确寻找点 F 的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接写在答题卷指定的位置.11. 在平面直角坐标系中，点(3，4)关于原点对称的点的坐标是 (3，4) 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答 解：点(3，4)关于原点对称的点的坐标是(3，4)故答案为：(3，4)【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数12. 抛物线 yx22xm 与 x 轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为yx22x【分析】根据判别式的意义得到(2)24m0，然后解不等式组求出 m的范围，再在此范围内写出一个 m 的值即可 解：根据题意得到(2)24m0，解得 m1，若 m 取 0，抛物线解析式为 yx22x 故答案为 yx22x【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：对于二次函数 yax2bxc(a，b，c 是常数，a0)，b24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：b24ac0时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点13. 已知 4 是方程 x2c0 的一个根，则方程的另一个根是 4【分析】可将该方程的已知根 4 代入两根之和公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根解：设方程的另一个根为 x2， 则 4x20，解得：x24， 故答案为：4【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根时，x1x2 ，x1x2 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91设每个支干长出 x 个小分支，则可得方程为x2x191【分析】由题意设每个支干长出 x 个小分支，因为主干长出 x 个(同样数目)支干，则又长出 x2 个小分支，则共有 x2x1 个分支，即可列方程解：设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x2x191 故答案为 x2x191【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键15. 如图，在O 中，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 E 在上，CFAE 于点 F，若点 F 四等分弦 AE，且 AE8，则O 的面积为 20【分析】如图，连接 AC，EC首先证明 CFEF2，利用勾股定理求出 AC 即可解决问题；解：如图，连接 AC，ECAB、CD 是互相垂直的两条直径，AOC90，AEC AOC45，CFAE，CFE90，FCEFEC45，EFCF，点 F 四等分弦 AE，且 AE8，EF AE2，CF2，AF6，AC 2，OAOC，AOC90，OAOC2 ，O 的面积为(2)220， 故答案为 20【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型16. 已知二次函数 yax22ax3a23(其中 x 是自变量)，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，且2x1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为 1【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上 a0，然后由2x1 时，y 的最大值为 9，可得 x1 时，y9，即可求出 a解：二次函数 yax22ax3a23(其中 x 是自变量)，对称轴是直线 x1，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，a0，2x1 时，y 的最大值为 9，x1 时，ya2a3a239，3a23a60，a1，或 a2(不合题意舍去)故答案为：1【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断三、解下列各题(本大题共 8 小题，共 72 分)下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17(8 分)解方程：(1)x22 x0；(2)x22x50【分析】(1)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)先求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可 解：(1)x22 x0，x(x2 )0， x0，x20， x10，x22 ；(2)x22x50b24ac2241(5)24，x ，x11 ，x21 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键， 解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等18(8 分)如图，ABC 中，C90，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90，得到DEC(其中点 D、E 分别是 A、B 两点旋转后的对应点)（1） 请画出旋转后的DEC；（2） 试判断 DE 与 AB 的位置关系，并证明你的结论【分析】(1)根据要求画出DCE 即可；(2)利用“8 字型”证明AFEDCE 即可解决问题； 解：(1)旋转后的DEC 如图所示(2)结论：DEAB理由：延长 DE 交 AB 于点 F由旋转不变性可知：AD，ACBDCE90，AEFDEC，AFEDCE90，DEAB【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是熟练掌握利用“8 字型”证明角相等， 属于中考常考题型19(8 分)如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积(图中阴影部分)是 32cm2，求剪去的小正方形的边长【分析】设剪去的小正方形的边长为 xcm，则方盒的底面为长(102x)cm，宽为(62x)cm 的长方形，根据方程形的面积公式结合方盒的底面积是 32cm2， 即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论解：设剪去的小正方形的边长为 xcm， 根据题意得：(102x)(62x)32，整理得：x28x70，解得：x17，x2176，x17 舍去答：剪去的小正方形的边长为 1cm【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键x2102y343520(8 分)已知二次函数 yax2bxc(a0)中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：（1） 求二次函数的解析式；（2） 求该函数图象与 x 轴的交点坐标；（3） 不等式 ax2bxc30 的解集是 x2 或 x0【分析】(1)由表格中的数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2） 求出 y0 时 x 的值，即可得出答案；（3） 根据表格得出 ax2bxc3 时 x 的值，再根据二次函数的性质即可得出不等式 ax2bxc30 的解集解：(1)由题意，得 c3将点(2，5)，(1，4)代入，得解得，二次函数的解析式为 yx22x3；(2)当 y0 时，x22x30， 解得：x3 或 x1，该函数图象与 x 轴的交点坐标(3，0)，(1，0)；(3)由表格可知，ax2bxc3，即 ax2bxc30 的解为 x2 或 0，a10，抛物线开口向上，不等式 ax2bxc30 的解集是 x2 或 x0 故答案为 x2 或 x0【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质以及抛物线与 x 轴的交点；求出二次函数的解析式是解决问题的关键21(8 分)如图，以AOB 的顶点 O 为圆心，OB 为半径作O，交 OA 于点 E，交 AB 于点 D，连接 DE，DEOB，延长 AO 交O 于点 C，连接 CB(1)求证： ；(2)若 AD4，AECE，求 OC 的长【分析】(1)先根据圆周角定理可得：EDC90，由平行线的性质得：OBCD，最后由垂径定理可得结论；(2)如图 2，根据中位线定理可得 EFAD，OF DE，证明四边形 EFBD是平行四边形，则 BFDE，设 OFx，则 BFDE2x，OCOB3x，根据 DF2CF2，列方程得结论（1） 证明：如图 1，连接 CD 交 OB 于 F，CE 是直径，EDC90，DEOB，EDCOFC90， 即 OBCD，；（2） 解：如图 2，连接 CD 交 OB 于 F，连接 EF，由(1)得：DEOB，OBCD，点 F 是 CD 的中点，AECE，EFAD，EF AD2，O 是 CE 的中点，F 是 CD 的中点，OF DE，EFBD，DEBF，四边形 EFBD 是平行四边形，BFDE，设 OFx，则 BFDE2x，OCOB3x，BCBDEF2 ，DF2CF2，解得：x1，x0，x1，OC3x3【点评】此题主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定， 三角形的中位线，解本题的关键是作出辅助线，是一道比较基础的中考常考题22(10 分)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40 元，规定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 本，销售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价销售设每天销售量为 y 本，销售单价为 x元（1） 请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；（2） 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元？（3） 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w元最大？最大利润是多少元？【分析】(1)售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，则售单价每上涨(x44)元，每天销售量减少 10(x44)本，所以 y30010(x44)，然后利用销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%确定 x 的范围；（2） 利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x40)(10x740)2400，然后解方程后利用 x 的范围确定销售单价；（3） 利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w(x40)(10x740)，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到 x52 时 w 最大，从而计算出 x52 时对应的 w 的值即可解：(1)y30010(x44)，即 y10x740(44x52)；(2)根据题意得(x40)(10x740)2400，解得 x150，x264(舍去)，答：当每本足球纪念册销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元；(3)w(x40)(10x740)10x21140x2960010(x57)22890，当 x57 时，w 随 x 的增大而增大， 而 44x52，所以当 x52 时，w 有最大值，最大值为10(5257)228902640，答：将足球纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640 元【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围也考查了一元二次方程的应用23(10 分)已知，在正方形 ABCD 中，AB5，点 F 是边 DC 上的一个动点，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90至ABE，点 F 的对应点 E 落在 CB 的延长线上，连接 EF（1） 如图 1，求证：DAFFECAEF；（2） 将ADF 沿 AF 翻折至AGF，连接 EG如图 2，若 DF2，求 EG 的长；如图 3，连接 BD 交 EF 于点 Q，连接 GQ，则 SQEG 的最大值为 【分析】(1)利用平行线的性质，旋转不变性证明DAFFEC45即可解决问题；(2)如图 2 中，连接 BF由AEGAFB(SAS)，可得 EGBF，利用勾股定理求出 BF 即可；如图 3 中，作 FHCD 交 BD 于 H，QMBC 于 M，连接 BF，BG，设 BF 交EG 于点 O首先证明 EFBG，推出 SEQGSEBQ，设 DFEBx，则 CF5x，再证明 QM 是EFC 的中位线，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（1） 证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形，ADBC，DAEAEC180，ABE 是由ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到，EAF90，AEAF，AEF45，DAFEAFAEFFEC180，DAFFEC45，DAFFECAEF（2） 解：如图 2 中，连接 BF四边形 ABCD 是正方形，ABBCCD5，C90，DF2，CF3，DAFFAGBAE，EAGFAB，AEAF，AGAB，AEGAFB(SAS)，EGBF，在 RtBCF 中，BF，EGBF 解：如图 3 中，作 FHCD 交 BD 于 H，QMBC 于 M，连接 BF，BG，设BF 交 EG 于点 OEGBF，BFFB，FGEB，EFGFEB(SSS)，GEFEFB，同法可证FBGEGB，EOFBOG，EFBFBG，EFBG，SEQGSEBQ，设 DFEBx，则 CF5x，FHBE，FHDFEB，FHQEBQ，HQFEQB，FHQEBQ(AAS)，FQEQ，QMCF，EMMC，QMCF(5x)，SEQGSE BQx (5x) (x25x) (x )2 ，0，x 时，EQG 的面积最大，最大值为， 故答案为【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，平行线的判定和性质，二次函数的应用等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题24(12 分)已知，抛物线 yx2bxc 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A 和点B(其中点 A 在 y 轴左侧，点 B 在 y 轴右侧)，对称轴直线 x交 x 轴于点 H（1） 若抛物线 y x2bxc 经过点(4，6)，求抛物线的解析式；（2） 如图 1，ACB90，点 P 是抛物线 yx2bxc 上位于 y 轴右侧的动点，且 SABPSABC，求点 P 的坐标；（3） 如图 2，过点 A 作 AQBC 交抛物线于点 Q，若点 Q 的纵坐标为c， 求点 Q 的坐标【分析】(1)根据抛物线的对称轴方程公式求得 b 的值，然后将点(4，6)代入函数解析式求得 c 的值即可；（2） 由限制性条件 SABPSABC，可以得到点 P 与点 C 的纵坐标的绝对值相等，所以根据二次函数图象上点的