《双曲线及其标准方程》

双曲线及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识二、教材分析1重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程2难点：双曲线的标准方程的推导三、教学过程(一)复习提问1椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a|F1F2|2椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)(二)双曲线的概念引入：这是世界著名的建筑物埃菲尔铁塔。当年法国工程师埃菲尔在设计这座铁塔的时候，人们对它嗤之以鼻、不屑一顾，多年以后，埃菲尔铁塔以其简洁而又壮阔的气势征服了全世界的人们，成为法国标志性的建筑。在它简洁而又壮阔的气势背后，是什么东西在支撑着它呢？ 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形这样作出的曲线就叫做双曲线2设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？3定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距 (三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a(3)代数方程(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导)由双曲线定义，2c2a 即ca，所以c2-a20设c2-a2=b2(b0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2这就是双曲线的标准方程两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a0，b0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2(四)练习与例题1求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；3 已知方程 表示双曲线，求m的取值范围4. 已知方程 ，求它的焦点坐标5.思考：由教师提问：平面内与两定点F1、F2之间距离差的绝对值为常数2a（2a不小于F1F2）的点的轨迹是什么 (五)小结1定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹3图形(见图2-25)：4焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)5a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2五、生活中的数学工业生产或制冷工艺过程中产生大量的废热，如果不及时散热将会影响机器正常工作，甚至产生严重后果。而冷却塔就是这样的一种导热设备。冷却塔的作用是将挟带废热的冷却水在塔内与空气进行热交换，使