2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013江西）已知集合M=1，2，zi，i为虚数单位，N=3，4，MN=4，则复数z=（）A2iB2iC4iD4i考点：交集及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值解答：解：根据题意得：zi=4，解得：z=4i故选C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2013江西）函数y=的定义域为（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，1考点：函数的定义域及其求法菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用分析：由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项解答：解：由题意，自变量满足，解得0x1，即函数y=的定义域为0，1）故选B点评：本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题3（5分）（2013江西）等比数列x，3x+3，6x+6，的第四项等于（）A24B0C12D24考点：等比数列的性质菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项解答：解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=3，故此等比数列的前三项分别为3，6，12，故此等比数列的公比为2，故第四项为24，故选A点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题4（5分）（2013江西）总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D01考点：简单随机抽样菁优网版权所有专题：图表型分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01故选：D点评：本题主要考查简单随机抽样在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的5（5分）（2013江西）（x2）5的展开式中的常数项为（）A80B80C40D40考点：二项式定理菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计分析：利用（x）5展开式中的通项公式Tr+1=x2（5r）（2）rx3r，令x的幂指数为0，求得r的值，即可求得（x）5展开式中的常数项解答：解：设（x）5展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1=x2（5r）（2）rx3r=（2）rx105r，令105r=0得r=2，（x）5展开式中的常数项为（2）2=410=40故选C点评：本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题6（5分）（2013江西）若S1=x2dx，S2=dx，S3=exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1考点：微积分基本定理菁优网版权所有专题：导数的概念及应用分析：先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可解答：解：由于S1=x2dx=|=，S2=dx=lnx|=ln2，S3=exdx=ex|=e2e且ln2e2e，则S2S1S3故选：B点评：本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力属于基础题7（5分）（2013江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）AS=2*i2BS=2*i1CS=2*iDS=2*i+4考点：程序框图菁优网版权所有专题：图表型分析：题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案解答：解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈 2 5 是第二圈 3 6 是第三圈 4 9 是第四圈 5 10 否故输出的i值为：5，符合题意故选C点评：本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果8（5分）（2013江西）如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）A8B9C10D11考点：平面的基本性质及推论菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值解答：解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8故选A点评：本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力9（5分）（2013江西）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）ABCD考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率菁优网版权所有专题：压轴题；直线与圆分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值解答：解：由y=，得x2+y2=1（y0）所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则1k0，直线l的方程为y0=，即则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为则=令，则，当，即时，SABO有最大值为此时由，解得k=故答案为B点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题10（5分）（2013江西）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧的长为x（0x），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD考点：函数的图象菁优网版权所有专题：压轴题；函数的性质及应用分析：由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案解答：解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=时，此时y=AB+BC+CA=3=2；当x=时，FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正AED中，AE=ED=DA=1，y=EB+BC+CD=AB+BC+CA（AE+AD）=321=22如图又当x=时，图中y0=+（2）=22故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确故选D点评：本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题二第卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11（5分）（2013江西）函数y=最小正周期T为考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期解答：解：y=sin2x+2=sin2xcos2x+=2（sin2xcos2x）+=2sin（2x）+，=2，T=故答案为：点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键12（5分）（2013江西）设，为单位向量且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果解答：解：、为单位向量，且 和 的夹角等于，=11cos=+3，=2，=（+3）（2）=2+6=2+3=5在上的射影为 =，故答案为 点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题13（5分）（2013江西）设函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，则f（1）=2考点：导数的运算；函数的值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f（1）解答：解：函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，f（x）=+1，故f（1）=1+1=2故答案为：2点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型14（5分）（2013江西）抛物线x2=2py（p0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p=6考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=，准线方程与双曲线联立可得：，解得x=，因为ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，即，解得p=6故答案为：6点评：本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力三第卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分本题共5分15（5分）（2013江西）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为cos2sin=0考点：抛物线的参数方程；简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=cos，y=sin代换求得极坐标方程解答：解：由（t为参数），得y=x2，令x=cos，y=sin，代入并整理得cos2sin=0即曲线C的极坐标方程是cos2sin=0故答案为：cos2sin=0点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=cos，y=sin16（2013江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为0，4考点：绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用分析：利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可解答：解：不等式|x2|1|1的解集，就是1|x2|11的解集，也就是0|x2|2的解集，0|x2|2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0x4所以不等式的解集为0，4故答案为：0，4点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键四第卷解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2013江西）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题：解三角形分析：（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围解答：解：（1）由已知得：cos（A+B）+cosAcosBsinAcosB=0，即sinAsinBsinAcosB=0，sinA0，sinBcosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）a+c=1，即c=1a，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即b2=a2+c2ac=（a+c）23ac=13a（1a）=3（a）2+，0a1，b21，则b1点评：此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键18（12分）（2013江西）正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T考点：数列的求和；等差数列的通项公式菁优网版权所有专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列分析：（I）由Sn2可求sn，然后利用a1=s1，n2时，an=snsn1可求an（II）由b=，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明解答：解：（I）由Sn2可得，（Sn+1）=0正项数列an，Sn0Sn=n2+n于是a1=S1=2n2时，an=SnSn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，而n=1时也适合an=2n（II）证明：由b=点评：本题主要考查了递推公式a1=s1，n2时，an=snsn1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用19（12分）（2013江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计分析：（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）=（2）两向量数量积的所有可能情形有2，1，0，1X=2时有2种情形X=1时有8种情形X=1时，有10种情形X的分布列为： X21 01 PEX=点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的应用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解20（12分）（2013江西）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）利用直角三角形的判定得到BAD=，且ABE=AEB=由DABDCB得到EABECB，从而得到FED=FEA=，所以EFAD且AF=FD，结合题意得到FG是PAD是的中位线，可得FGPA，根据PA平面ABCD得FG平面ABCD，得到FGAD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，）和=（1，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值解答：解：（1）在DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，AE=BD，可得BAD=，且ABE=AEB=DABDCB，EABECB，从而得到FED=BEC=AEB=EDA=EAD=，可得EFAD，AF=FD又PAD中，PG=GD，FG是PAD是的中位线，可得FGPAPA平面ABCD，FG平面ABCD，AD平面ABCD，FGAD又EF、FG是平面CFG内的相交直线，AD平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），D（0，0），P（0，0，）=（，0），=（，），=（，0）设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得y1=，z1=，可得=（1，），设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得y2=，z2=2，可得=（1，2），cos，=因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于|cos，|=点评：本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面与平面所成角的余弦值着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题21（13分）（2013江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x01），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得 由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x1）代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=， 在方程中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，=k注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有=k所以k1+k2=+=+（+）=2k 代入得k1+k2=2k=2k1又k3=k，所以k1+k2=